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第4章 因式分解
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
1．下列多项式中能用平方差公式分解的是（　　）
（1）﹣a2+b2 （2）﹣x2﹣y2 （3）49x2y2﹣4 （4）16m3﹣25n2p2．
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（2）（3）
2．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．12a2b＝3a?4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 D．ax﹣ay＝a（x﹣y）
3．多项式﹣6m3n﹣3m2n2+12m2n3分解因式时应提取的公因式为（　　）
A．3mn B．﹣3m2n C．3mn2 D．﹣3m2n2
4．下列各因式分解正确的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
5．3.1416×7.5944+3.1416×（﹣5.5944）的值是（　　）
A．6.1632 B．6.2832 C．6.5132 D．5.3692
6．下列因式分解中，正确的有（　　）
①4a﹣a3b2＝a（4﹣a2b2）；②x2y﹣2xy+xy＝xy（x﹣2）；③﹣a+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b﹣c）；④9abc﹣6a2b＝3abc（3﹣2a）；⑤x2y+xy2＝xy（x+y）
A．0个 B．1个 C．2个 D．5个
7．对多项式3x2﹣3x因式分解，提取的公因式为（　　）
A．3 B．x C．3x D．3x2
8．给出下面四个多项式：①3x2﹣xy﹣2y2；②x2+x﹣y2﹣y；③x7﹣xy6；④x3+y3，其中以代数式x﹣y为因式的多项式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下列因式分解正确的是（　　）
A．（x﹣y）3﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y）2
B．（x﹣y）2﹣（x﹣y）3＝（x﹣y）2（x﹣y+1）
C．（x﹣y）2﹣（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y+1）
D．（x﹣y）2﹣（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y﹣0）＝（x﹣y）2
二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）
10．已知a﹣b＝2，ab＝18，则代数式a2b﹣ab2的值是　 　．
11．分解因式：x4﹣2x2y2+y4＝　 　．
12．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　 　，从右向左的变形是　 　
13．多项式：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是　 　．
14．已知a﹣2b＝﹣2，则代数式﹣2a2+8ab﹣8b2的值为　 　．
15．分解因式：4x2﹣2xy＝　 　．
16．分解因式：16m2﹣4＝　 　．
17．因式分解：ma+mb+mc＝　 　．
三、解答题（本题共计7小题，共计69分，）
18．分解因式：
（1）3x2﹣27；
（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；
（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．
19．分解因式：（n2﹣n+1）（n2﹣n+3）+1．
20．分解因式：
（1）2m2﹣12m+18
（2）（x+y）2+2（x+y）+1．
21．分解因式：
（1）m3﹣4m2+4m；
（2）a（a﹣1）+a﹣1．
22．因式分解：
（1）a（x+y﹣z）﹣b（z﹣x﹣y）﹣c（x﹣z+y）；
（2）ax（a﹣b+1）﹣ay（a﹣b+1）﹣az（b﹣a﹣1）；
（3）（b﹣a）（z﹣y﹣x）﹣（a﹣b）（2x+y﹣z）﹣（a﹣b）?（y﹣2x）．
23．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　 　．
（4）请利用以上规律计算：（1+2x）3．
24．我们知道，任意一正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝，例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4．因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是最佳分解，所以F（12）＝．
（1）求F（36）的值；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为整数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的数所得的差为54，那么我们称这个数t为“吉祥数”．
①写出所有的“吉祥数”t；
②求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．

参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．下列多项式中能用平方差公式分解的是（　　）
（1）﹣a2+b2 （2）﹣x2﹣y2 （3）49x2y2﹣4 （4）16m3﹣25n2p2．
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（2）（3）
【分析】利用平方差公式的特点，分别分析得出即可．
【解答】解：（1）﹣a2+b2 ＝（b﹣a）（b+a）；
（2）﹣x2﹣y2 无法因式分解，
（3）49x2y2﹣4＝（7xy+2）（7xy﹣2）；
（4）16m3﹣25n2p2，无法因式分解，
故选：A．
2．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．12a2b＝3a?4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1 D．ax﹣ay＝a（x﹣y）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A不是多项式的转化，故A不是因式分解；
B 整式的乘法，故B不是因式分解；
C 没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D 提取公因式a，故D是因式分解，
故选：D．
3．多项式﹣6m3n﹣3m2n2+12m2n3分解因式时应提取的公因式为（　　）
A．3mn B．﹣3m2n C．3mn2 D．﹣3m2n2
【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解答】解：多项式﹣6m3n﹣3m2n2+12m2n3应提取的公因式为﹣3m2n．
故选：B．
4．下列各因式分解正确的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
【分析】根据平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，分别进行分解即可．
【解答】解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，故原式分解错误；
B、﹣x2+（﹣2）2＝﹣（x﹣2）（x+2），故原式分解错误；
C、（x+1）2＝x2+2x+1，不是因式分解，故此选项错误；
D、x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）分解正确，故此选项正确；
故选：D．
5．3.1416×7.5944+3.1416×（﹣5.5944）的值是（　　）
A．6.1632 B．6.2832 C．6.5132 D．5.3692
【分析】观察3.1416×7.5944+3.1416×（﹣5.5944）式子发现7.5944﹣5.5944等于一个整数．因而利用乘法的分配律，首先提取公因数3.1416，再求值．
【解答】解：3.1416×7.5944+3.1416×（﹣5.5944），
＝3.1416（7.5944﹣5.5944），
＝2×3.1416，
＝6.2832．
故选：B．
6．下列因式分解中，正确的有（　　）
①4a﹣a3b2＝a（4﹣a2b2）；②x2y﹣2xy+xy＝xy（x﹣2）；③﹣a+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b﹣c）；④9abc﹣6a2b＝3abc（3﹣2a）；⑤x2y+xy2＝xy（x+y）
A．0个 B．1个 C．2个 D．5个
【分析】根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：在①中，还能继续运用平方差公式，最后结果为：a（2+ab）（2﹣ab）；
在②中，显然漏了一项，最后结果应为xy（x﹣1）；
在③中，注意各项符号的变化，最后结果应为：﹣a（1﹣b+c）；
在④中，显然两项的公因式应为：3ab；
在⑤中，正确运用了提公因式法．故正确的有一个．
故选：B．
7．对多项式3x2﹣3x因式分解，提取的公因式为（　　）
A．3 B．x C．3x D．3x2
【分析】原式利用提公因式法分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：3x2﹣3x＝3x（x﹣1），
则对多项式3x2﹣3x因式分解，提取的公因式为3x，
故选：C．
8．给出下面四个多项式：①3x2﹣xy﹣2y2；②x2+x﹣y2﹣y；③x7﹣xy6；④x3+y3，其中以代数式x﹣y为因式的多项式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先将四个多项式分解因式，根据分解的结果，找到有因式x﹣y的多项式即可作出判断．
【解答】解：①3x2﹣xy﹣2y2＝（3x+2y）（x﹣y）；
②x2+x﹣y2﹣y＝（x+y）（x﹣y）+（x﹣y）＝（x+y+1）（x﹣y）；
③x7﹣xy6＝x（x6﹣y6）＝x（x3+y3）（x3﹣y3）＝x（x+y）（x2﹣xy+y2） （x﹣y）（x2+xy+y2）；
④x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）．
故有因式x﹣y的多项式有3个．
故选：C．
9．下列因式分解正确的是（　　）
A．（x﹣y）3﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y）2
B．（x﹣y）2﹣（x﹣y）3＝（x﹣y）2（x﹣y+1）
C．（x﹣y）2﹣（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y+1）
D．（x﹣y）2﹣（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y﹣0）＝（x﹣y）2
【分析】根据提公因式法，提取公因式后整理即可．
【解答】解：A、应为（x﹣y）3﹣（x﹣y）＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣1]，有漏项，错误；
B、应为（x﹣y）2﹣（x﹣y）3＝（x﹣y）2（﹣x+y+1），错误；
C、（x﹣y）2﹣（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y+1），正确；
D、应为（x﹣y）2﹣（y﹣x）＝（x﹣y）（x﹣y+1），错误．
故选：C．
二．填空题
10．已知a﹣b＝2，ab＝18，则代数式a2b﹣ab2的值是　36　．
【分析】首先把a2b﹣ab2利用提取公因式法分解因式，然后代入所求代数式，即可求解．
【解答】解：∵a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），
而a﹣b＝2，ab＝18，
∴a2b﹣ab2＝18×2＝36．
故答案为：36．
11．分解因式：x4﹣2x2y2+y4＝　（x+y）2（x﹣y）2　．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x4﹣2x2y2+y4
＝（x2﹣y2）2
＝（x+y）2（x﹣y）2．
故答案为：（x+y）2（x﹣y）2．
12．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　整式乘法　，从右向左的变形是　因式分解　
【分析】根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解．
【解答】解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
从左向右的变形是两个整式相乘，故是整式乘法；
从右向左的变形是因式分解，
故答案为：整式乘法、因式分解．
13．多项式：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是　（x﹣y）　．
【分析】根据公因式的定义：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数解答．
【解答】解：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是（x﹣y）．
故答案为：（x﹣y）．
14．已知a﹣2b＝﹣2，则代数式﹣2a2+8ab﹣8b2的值为　﹣8　．
【分析】先把代数式﹣2a2+8ab﹣8b2进行因式分解，再把a﹣2b＝﹣2整体代入即可．
【解答】解：﹣2a2+8ab﹣8b2＝﹣2（a2﹣4ab+4b2）
＝﹣2（a﹣2b）2，
∵a﹣2b＝﹣2，
∴原式＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8，
故答案为﹣8．
15．分解因式：4x2﹣2xy＝　2x（2x﹣y）　．
【分析】直接提取公因式2x即可．
【解答】解：4x2﹣2xy＝2x（2x﹣y），
故答案为：2x（2x﹣y）．
16．分解因式：16m2﹣4＝　4（2m+1）（2m﹣1）　．
【分析】原式提取4，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝4（4m2﹣1）＝4（2m+1）（2m﹣1），
故答案为：4（2m+1）（2m﹣1）
17．因式分解：ma+mb+mc＝　m（a+b+c）　．
【分析】通过观察可知公因式为m，将原式中的公因式提取出来即可解出此题．
【解答】解：ma+mb+mc＝m（a+b+c）．
故答案为：m（a+b+c）．
三．解答题（共7小题）
18．分解因式：
（1）3x2﹣27；
（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2；
（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．
【分析】利用提公因式法、公式法进行因式分解即可．
【解答】解：（1）3x2﹣27＝3（x2﹣9）＝3（x﹣3）（x+3）；
（2）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2＝[2+3（x﹣y）]2＝（2+3x﹣3y）2；
（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy＝8x2﹣16y2﹣7x2﹣xy+xy＝x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）．
19．分解因式：（n2﹣n+1）（n2﹣n+3）+1．
【分析】将n2﹣n看作整体，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（n2﹣n+1）（n2﹣n+3）+1
＝（n2﹣n）+4（n2﹣n）+4
＝（n2﹣n+2）2．
20．分解因式：
（1）2m2﹣12m+18
（2）（x+y）2+2（x+y）+1．
【分析】（1）首先提取2，再利用完全平方公式分解因式得出即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（1）2m2﹣12m+18＝2（m2﹣6m+9）＝2（m﹣3）2；
（2）（x+y）2+2（x+y）+1＝（x+y+1）2．
21．分解因式：
（1）m3﹣4m2+4m；
（2）a（a﹣1）+a﹣1．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式整理后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝m（m2﹣4m+4）
＝m（m﹣2）2；
（2）原式＝a2﹣a+a﹣1
＝a2﹣1
＝（a+1）（a﹣1）．
22．因式分解：
（1）a（x+y﹣z）﹣b（z﹣x﹣y）﹣c（x﹣z+y）；
（2）ax（a﹣b+1）﹣ay（a﹣b+1）﹣az（b﹣a﹣1）；
（3）（b﹣a）（z﹣y﹣x）﹣（a﹣b）（2x+y﹣z）﹣（a﹣b）?（y﹣2x）．
【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式变形后，提取公因式即可；
（3）原式变形后，提取公因式即可．
【解答】解：（1）原式＝a（x+y﹣z）+b（x+y﹣z）﹣c（x+y﹣z）
＝（x+y﹣z）（a+b﹣c）；
（2）原式＝ax（a﹣b+1）﹣ay（a﹣b+1）+az（a﹣b+1）
＝a（a﹣b+1）（x﹣y+z）；
（3）原式＝（a﹣b）（x+y﹣z）﹣（a﹣b）（2x+y﹣z）﹣（a﹣b）?（y﹣2x）
＝（a﹣b）（x+y﹣z﹣2x﹣y+z﹣y+2x）
＝（a﹣b）（x﹣y）．
23．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是　提公因式法　，共应用了　2　次；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　2019　次，结果是　（1+x）2020　；
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　（1+x）n+1　．
（4）请利用以上规律计算：（1+2x）3．
【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论；
（2）结合（1）和阅读材料即可得结论；
（3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
（4）利用规律进而得出答案即可．
【解答】解：（1）阅读因式分解的过程可知：
上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）原式＝（1+x）2020，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020，
故答案为：2019，（1+x）2020；
（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]
＝（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1；
（4）（1+2x）3＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）2＝8x3+12x2+6x+1．
24．我们知道，任意一正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝，例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4．因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是最佳分解，所以F（12）＝．
（1）求F（36）的值；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为整数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的数所得的差为54，那么我们称这个数t为“吉祥数”．
①写出所有的“吉祥数”t；
②求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
【分析】（1）36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，由已知可求F（36）＝1；
（2）①由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10y+x﹣10x﹣y＝9（y﹣x）＝54，则y﹣x＝6，可求t为39，28，17；
②39＝1×39＝3×13，F（39）＝；28＝1×28＝2×14＝4×7，F（39）＝；17＝1×17，F（17）＝；即可求F（t）的最大值．
【解答】解：（1）36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，
∵36﹣1＞18﹣2＞12﹣3＞9﹣4＞6﹣6，
∴F（36）＝1；
（2）①由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10y+x﹣10x﹣y＝9（y﹣x）＝54，
∴y﹣x＝6，
∵1≤x≤y≤9，
∴y＝9，x＝3或y＝8，x＝2或y＝7，x＝1，
∴t为39，28，17；
②39＝1×39＝3×13，
∴F（39）＝；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴F（39）＝；
17＝1×17，
∴F（17）＝；
∴F（t）的最大值．

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