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20202021学年下学期全国百强名校
“领军考试”高三数学(理科)
202104
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答
案标号。回答非选择题时,将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题
卡上
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有
项是符合题目要求的
1.设i为虚数单位,若复数z=(3+2)1-1)2,则z
4+6i
B.4-6i
C.6+4i
D.6-4i
2.设全集U=R,集合A={x|x2-4x-5≥0},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=
A.{-1,0,42}B.{0,2}
C.{2,-1,0,D.{-2,-10
3.已知正四棱锥P-BCD的底面正方形的中心为O,若高PO=,∠PAO=45°,则该
四棱锥的表面积是
4+2√2
B.4+42
C.4+2
D.4+43
4.我国明代数学家程大位曾提出过几个有关放羊的有趣数学问题其中有一道题类似这样记
载有7个人每人赶着一群羊到野外去放养每人放养的羊(单位:头)的数量恰好构成一个
等差数列{a}的前七项;若吗+a+a3=30,2a2+5=a1,则这7个人一共放养的总羊群的头
数是
A.110
B.112
C.114
D.116
5.已知x为实数向量a=(-1,2),b=(x,-1),C=2a+b,若b⊥c,则x=
A.1或3
B.-3或-1
C.-3或1
D.-1或3
6.在平面直角坐标系xO中过点(Ob)作一倾斜角为135的直线l与圆x2+y2-4x=0
交于AB两点若|B=2√2,则实数b=
A.0或-2
B.0或4
C.0或-4
D.2或4
高三理数第1页共4页
7已知6∈(
230,且3cos26+4cos6+1=0,则sin20+sin0=
22
B
10√2
9
9
8,从2016年1月1日起,“全面二孩”政策在全国范围内实施,许多年轻夫妇都积极地响应
国家号召,在六年内生育了二胎,因此在有两个孩子的每户家庭中,若按孩子的性别来进行
分类,共会出现三类家庭,分别为:“两个男孩型”家庭,“一男一女孩型”家庭,“两个
女孩型”家庭.M市消费者协会为了解有两个孩子家庭的某些日常生活消费指数从该市
有两个孩子(假设每胎只生一个小孩,科学研究证明每胎生男生女机会均等)的家庭中随机
地抽取600户进行调查统计,则估计其中是“一男一女孩型”家庭的户数为
150
B.200
C.300
D.400
9.已知(2+a2)1+x)(a∈R)的展开式中x的系数是-8,则x的系数为
B.15
C.12
D.-15
10.已知函数f(x)=Aco(ax+2)(A>0,>0),若f(x)在区间[O,2r]上有且仅有4个
零点和1个最大值点,则O的取值范围是
23
B.已1.23
312
1212
126
1.已知正三棱柱AC-4BC的六个顶点均在球O的球面上,o为上底面△BC的外接圆若
QQ的面积为4x,且侧面矩形AB的面积为45,则球O的体积为
48丌
36n
D.32丌
A.64丌
12.若函数f(x)=4-x2-2log4(x2+1),则不等式f(ix)+3/(m3)+8≤0的解集为
x
A.(0,
e
JU[G
B.
e
C
+
D.(0,e
填空题:本题共4小题,每小题5分,共20
分
x+y-6≤0
1.已知实数x,y满足约束条件{2x-y+320,则z=3x+y的最大值是
x-2y-3≤0
1.若函数f(x)=xe2+ax-2(其中a为实数,e是自然对数的底数)的图象经过点(,e),
则曲线y=f(x)在点(Of(O)处的切线方程为
高三理数第2页共4贾20202021学年下学期全国百强名校
“领军考试”高三数学参考答案(理科)
6-10
BDCBA
案】16
案
4√85
答案
答案
案
项
);(2)Tn=2(
(12分
解析】(1)
得4a
时,得4a1=3S1+4
4;(2分)又
②得
对n≥2成立;(4分)由等比数列的定义知数列{an}是以4为首项4为公比的等比数
4"为所求通项公式.(6分
答案
略(详见下面证明)(5分);(2)所成的锐
的大小为(12分)
解析】(1)证明:在正四棱柱ABCD-ABCD中,易知BC1⊥侧面AA4BB
C,是平面BCE内两相交直纟
所以得BE⊥平
(4分)又因为BE
BCE,故得平
CE.(5分)
(2)设
C1E与平
E所成的锐
角的大小为6
棱
B,
C
DA,DC,DD两两互相
D为坐标原
理数参考答案第1页
点,DA,DC,DD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xz,如图所示,(6分)因为E是棱A的中
AB=2,从而知正四棱
底面是边长为2的正方形,设AE=EA=t
B.C.E
BB=2t
即得
t2+4)=(21)2,解得t=2(取正),即侧棱长BR=4.(8分)于是可得D(0,0,4),E(2,0,2)
(2,2,4),C1(0,2,4),B(2,2,0);设平面BC1E的法向量为n=(x,y,2),由第(1)问可知向量BE为平
面BC1E的
向
故
(0,-2,2);(9分)设平面CDE
为n2=(a,b,c)
)C=2b=
C=(0,2,0),则
得
所以
有
cos
b∈(0,-),所以
BCE与
C1DE所成的锐
人
分
答案】(1)甲至
题的概率
2)X的数学期
被录
解析】(1)依题意
少能解出两道题的概率P=C3(
、)+C(3)3。20(4分)
题意知
的所有
为0,1,2,3.则P(X=0)=(1-1-=)(1-)
(X
6
(X=3)
故X的数学期望EX
分
(3)设Y表
试中能解出题的道数
机变量Y服从二项分布,即
(3,-).知Y的数学期
E(Y)=3·=2.因为E(Y)>E(X),故
被录取.(12分)
√2
答案
方程为x
解析】(1)设A(x,)B(x2,y2).依题意,知直线AB的方程为y=xtan45
将它亻
物线H的方程中,并整理得x2-2mx-2p=0.(2分)由韦
其
理数参考答案第
0对
弦长
得|A
p2+2p-24=0且p>0,解得p
抛物线H的方程为x2
设C(x3,y3),D(x4,y4),由(1)易得F(0,2),则依题意知E(O,-2).而kk2=
kk
C,D两
线l
t(t≠0
于是
),代入①式整理
2
②.将l的方程x=2y-21
y
入H的方程x2=8y中,化简得y2-(2+2)y
韦达定理得
△=(21+2)-4>0且t≠0,解得t
t≠0:将③式代入②式化简得kk2
分
时
得
(9分)当
t<0时,令kk2=f(D
f(t
0对t∈(
恒成立,从而知f(t)在
递增,所以kk2=f()>f(一)
分
得kk,的取值
为
答案】(1)当a≥1时,f(x)
极
时,f(x)有2个极值点;当a≤0时,f(x)有1个极
所求取值范围为
解析】(1)由于函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)
分
恒成立
在
值点.(3分)②当Δ
方程g(x
两个根分别
不合题意),且当0
f(x)
)在(0
)上递减,在
f(x)有一个极
点,无极大值
且当0
时,f(
)上均递增
理数参考答案第

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