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三轮冲刺复习：二次函数实际应用（一）
1．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？
2．中考前，某校文具店以每套5元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过7元，在几天的销售中发现每天的销售数量y（套）和售价x（元）之间存在一次函数关系，绘制图象如图．
（1）y与x的函数关系式为　
　（并写出x的取值范围）；
（2）若该文具店每天要获得利润80元，则该套文具的售价为多少元？
（3）设销售该套文具每天获利w元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大？最大利润是多少？
3．一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．
（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为　
　．
（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入＝租出收入﹣租出汽车维护费）
（3）在（2）的条件下，若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．
4．某商场销售一种商品，若将50件该商品按标价打八折销售，比按原标价销售这些商品少获利200元．
（1）求该商品的标价为多少元；
（2）已知该商品的进价为每件12元，根据市场调査：若按（1）中标价销售，该商场每天销售100件；每涨1元，每天要少卖5件．那么涨价后要使该商品每天的销售利润最大，应将销售价格定为每件多少元？最大利润是多少？
5．童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖10件，已知该款童装每件成本30元，设降价后该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件，
（1）降价后，当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元？（2）当每件售价定为多少元时，一星期的销售利润最大，最大利润是多少？
6．某商场经调研得出某种商品每天的利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2+bx﹣75，其图象如图所示．
（1）求a与b的值；
（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（参考公式：当x＝时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值）
（3）销售单价定在多少时，该种商品每天的销售利润为21元？结合图象，直接写出销售单价定在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于21元？
7．某店只销售某种进价为40元/kg的产品，已知该店按60元kg出售时，每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加10kg．
（1）若单价降低2元，则每天的销售量是　
　千克，每天的利润为　
　元；若单价降低x元，则每天的销售量是　
　千克，每天的利润为　
　元；（用含x的代数式表示）
（2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？
（3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
8．小明家要改造部分农田种植蔬菜．经调查，平均每亩改造费用是900元，添加滴灌设备等费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，以上两项费用3年内不需增加；每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，这项费用每年均需开支．设改造x亩，每亩蔬菜年均销售金额为k元，除上述费用外，没有其他费用．
（1）设当年收益为y元，求y与x的函数关系式；
（2）若k＝1500，如果按3年计算，是否改造面积越大收益越大？改造面积为多少时可以得到最大收益？
（3）若20≤x≤60时，按3年计算，能确保改造的面积越大收益也越大，求k的取值范围．
注：收益＝销售金额﹣（改造费+滴灌设备等费+种子、人工费）
9．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．
（1）求出y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
10．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为20m，宽为15m的长方形空地上修建一条宽为a（m）的甬道，余下的部分铺设草坪建成绿地．
（1）甬道的面积为　
　m2，绿地的面积为　
　m2（用含a的代数式表示）；
（2）已知某公园公司修建甬道，绿地的造价W1（元），W2（元）与修建面积S之间的函数关系如图2所示．
①园林公司修建一平方米的甬道，绿地的造价分别为　
　元，　
　元．
②直接写出修建甬道的造价W1（元），修建绿地的造价W2（元）与a（m）的关系式；
③如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道宽度不少于2m且不超过5m，那么甬道宽为多少时，修建的甬道和绿地的总造价最低，最低总造价为多少元？
参考答案
1．解：（1）由题意得：
y＝（40+x﹣30）（180﹣5x）＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤15且x取整数）
（2）对称轴：x＝﹣＝﹣＝13，
∵a＝﹣5＜0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴当x＝13时，y最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645，
∴售价＝40+13＝53元
答：当售价为53元时，可获得最大利润2645元．
（3）由题意得：﹣5x2+130x+1800＝2145
解之得：x＝3或23（不符合题意，舍去）
∴售价＝40+3＝43元．
答：售价为43元时，每周利润为2145元．
2．解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
把（5.5，90）和（6，80）代入y＝kx+b得，，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣20x+200（5≤x≤7）；
故答案为：y＝﹣20x+200；
（2）根据题意得，（x﹣5）（﹣20x+200）＝80，
解得：x1＝6，x2＝9（不合题意舍去），
答：该套文具的售价为6元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣5）（﹣20x+200）＝﹣20x2+300x﹣1000，
当x＝﹣＝﹣＝7.5，
∵7.5＞7，
∴当x＝7时，文具店每天的获利最大，最大利润是（7﹣5）（﹣20×7+200）＝120（元），
答：销售单价应为7元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是120元．
3．解：（1）根据题意得，y与x满足一次函数关系，设y＝kx+b，
则，
解得：，
即每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为：y＝﹣x+50；
故答案为：y＝﹣x+50；
（2）设公司获得的日收益为w，
则w＝（x﹣30）（﹣x+50）
＝﹣x2+60x﹣1500；
（3）z＝w﹣12（10﹣y）＝﹣x2+56x﹣1020＝﹣（x﹣84）2+1332（x≥120），
∵当x＞84时，z随x的增大而减小，
∴当x＝120时，z取得最大值，最大值＝﹣（120﹣84）2+1332＝900，
答：将每辆汽车的日租金定为120元，才能使公司获得最大日收益，公司的最大日收益是900元．
4．解：（1）设该商品的标价为a元，
由题意可得：
50a＝50×0.8a+200，
解得：a＝20；
答：该商品的标价为20元；
（2）设该商品每天的销售利润为y元，销售价格定为每件x元，
由题意可得：
y＝[100﹣5（x﹣20）]（x﹣12）
＝﹣5x2+260x﹣2400；
＝﹣5（x﹣26）2+980，
所以销售单价为26元时，商品的销售利润最大，最大利润是980元．
5．解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
6．解：（1）y＝ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，
解得：；
（2）∵y＝﹣x2+20x﹣75＝﹣（x﹣10）2+25，
∴当x＝10时，y最大＝25．
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；
（3）根据题意，当y＝21时，得：﹣x2+20x﹣75＝21，
解得：x1＝8，x2＝12，
∴x＝8
或
x＝12即销售单价定在8元或12元时，该种商品每天的销售利润为21元；
故销售单价在8≤x≤12时，销售利润不低于21元．
7．解：（1）若单价降低2元，则每天的销售量是100+2×10＝120千克，每天的利润为（60﹣2﹣40）×120＝2160元；
若单价降低x元，则每天的销售量是100+10x千克，每天的利润为（20﹣x）（100+10x）元；
故答案为：120、2160、100+10x、（20﹣x）（100+10x）；
（2）根据题意得：（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：每千克应降价4元或6元．
（3）该店每天的总利润y与降价x元的函数关系式为：
y＝（60﹣x﹣40）（100+10x）
＝﹣10x2+100x+2000
＝﹣10（x﹣5）2+2250，
当x＝5时，y最大，最大值为2250，
答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．
8．解：（1）y＝kx﹣（900k+18x2+600x）＝﹣18x2+（k﹣1500）x
（2）设3年内每年的平均收益为z：
∴z＝1500x﹣（300x+6x2+600x）＝﹣6x2+600x
＝﹣6（x﹣50）2+15000
∴z与x是二次函数关系，是开口向下的抛物线．
∴不是改造面积越大收益越大．改造面积为50亩时可以得到最大收益．
（也可以算三年总收益：z＝4500x﹣18x2﹣900x﹣1800x）
（3）∵z＝kx﹣（300x+6x2+600x）
＝﹣6x2+（k﹣900）x
＝﹣6（x﹣）2+，
∴z与x是二次函数关系，是开口向下的抛物线．
∵若20≤x≤60时，确保改造的面积越大收益也越大，
即，z随x的增大而增大．
∴≥60
∴k≥1620
∴k的取值范围是k≥1620．
9．解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），
∴，
解得，
∴y2＝﹣x2+x．
（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，
∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，
∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．
10．解：（1）甬道的面积为15am2，绿地的面积为（300﹣15a）m2；
故答案为：15a、（300﹣15a）；
（2）①园林公司修建一平方米的甬道，绿地的造价分别为＝80元，＝70元．
②W1＝80×15a＝1200a，
W2＝70（300﹣15a）＝﹣1050a+21000；
③设此项修建项目的总费用为W元，
则W＝W1+W2＝1200a+（﹣1050a+21000）＝150a+21000，
∵k＞0，
∴W随a的增大而增大，
∵2≤a≤5，
∴当a＝2时，W有最小值，W最小值＝150×2+21000＝21300，
答：甬道宽为2米时，修建的甬道和绿地的总造价最低，最低总造价为21300元；
故答案为：①80、70；

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