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2020年中考数学冲刺难点突破
二次函数问题
专题三
二次函数中的相似三角形综合问题
1、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．
①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；
②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.
【分析】（1）应用待定系数法问题可解；
（2）①通过分类讨论研究△APQ和△CDO全等
②由已知求点D坐标，证明DN∥BC，从而得到DN为中线，问题可解
【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得
，
解得：
，
∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；
（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，
当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，
∴tan∠QAP=tan∠DCO，
，
∴，
∴OD=，
∴点D坐标为（-，0）.
由对称性，当点D坐标为（，0）时，
由点B坐标为（4，0），
此时点D（，0）在线段OB上满足条件．
②∵OC=3，OB=4，
∴BC=5，
∵∠DCB=∠CDB，
∴BD=BC=5，
∴OD=BD-OB=1，
则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，
连DN，CM，
则DN=DM，∠NDC=∠MDC，
∴∠NDC=∠DCB，
∴DN∥BC，
∴，
则点N为AC中点．
∴DN时△ABC的中位线，
∵DN=DM=BC=，
∴OM=DM-OD=
∴点M（，0）
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合
2、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.
（1）求的值；
（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析.
【思路引导】
（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；
（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；
（3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.
【解析】
解：（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，∴轴，∴，
∵抛物线的对称轴是直线，∴OE=1，∴，∴
∴将点代入函数表达式得：，∴；
（2）设，
①点在轴上方时，，如图2，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵，∴，解得：或（舍），∴；
②点在轴下方时，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴点与点关于直线对称，∴；
（3）①当点为时，若存在点P，使∽，则∠PBQ=∠COA=90°，
由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在；
②当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在.
综上所述，不存在满足条件的点，使∽.
【方法总结】
本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.
3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
【答案】(1)
y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。
【思路引导】
(1)利用待定系数法进行求解即可得；
(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根据PD⊥y轴，可得点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD与Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.
【解析】
(1)由题意，得，
解得：，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即，
解得m3＝，m4＝4，
∴P3(，)，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).
【方法总结】
本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.
4、如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
【解析】
解：（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴直线AC的解析式为．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，）．
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为（m，）．
∴PM=PE－ME=（）－（）=．
∴PM=（0＜m＜3）．
（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．
∴△PCM为直角三角形．
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．
5、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；
⑵求证：△ABC是直角三角形；
⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.
【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，
即y=-x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得
,
解得或
,
∴B（2，0），C（-1，-3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，
则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=
，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有或，
当时，则有
，即|x||-x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|-x+2|=，即-x+2=±
，解得x=
或x=
，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，
∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，
此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（
，0）或（
，0）或（-1，0）或（5，0）．
6、如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与点B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，设B、P两点的距离为x，△DEP的面积为y
（1）求出tan∠PBF；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围
（3）当△DEP与△BCD相似时，求△DEP的面积
【答案】（1）；（2）；（3）当∠DEP=90°时，面积为；当∠PDE=90°时，面积为
【解析】
(1)∵四边形ABCD是矩形,
又
即
又
,即
如图,作垂足为H,则
又
设则,
,
又
由勾股定理得：
=
又
当△DEP与△BCD相似时,
只有两种情况:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°
①当∠DEP=90°,
∵∠DPE+∠PDE=90°即
∠PDE=∠CBD
∴BE=DE
设CE=a,则BE=DE=4-a
在Rt△DEC中,勾股定理得
解之
则,
又∵△BCD的面积=4
②当∠EDP=90°,如图2,
7、如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，且＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；
（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、、或
【解析】
解：（1）令＝得，＝，
∴，
∴＝＝，
∴，
代入抛物线表达式得：
＝，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，
由抛物线得：，
设，的面积为，
则，，，，
∴＝，
S，
∵，
∴当＝时，有最大值是，
∴的最大面积是，此时点的坐标是，
（3）存在点，使得与相似．有两种可能情况：①；②，
由抛物线得：，对称轴为直线＝，
∴＝，＝，＝，
①若，则，
∴，
解得＝，
∴点的坐标是或，
若点的坐标是，
则直线为：＝，
解方程组，
得：，（不合题意，舍去），
此时满足条件的点的坐标为，
若点的坐标是，
同理可求得满足条件的点的坐标为，
②若，
同理也可求得满足条件的点的坐标为，
满足条件的点的坐标为，
综上所述，存在满足条件的点，点的坐标为：
、、或．
8、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，其中2a＝b>0>c，且a＋b＋c＝0.
(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c
＝0的一个根；
(2)证明：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A在第三象限；
(3)直线y＝
x＋m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，D两点．设抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴与x轴相交于E，如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF＝S△ADE，求此时抛物线的表达式．
【解析】
(1)利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；
(2)确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；
(3)借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值．
解：(1)ax2＋bx＋c
＝0的一个根为1(或者－3)；
(2)证明：∵b
＝2a，∴对称轴x为＝－＝－1，将b＝2a代入a＋b＋c＝0，得c＝－3a.
∵a＝b>0>c，∴b2－4ac>0，∴<0，
∴顶点A在第三象限；
(3)∵b
＝2a，c＝－3a，
∴x＝＝，
∴x1＝－3，x2＝1，
∴函数表达式为y＝ax2＋2ax－3a，
∵直线y＝
x＋m与x轴、y轴分别相交于B，C，两点，则OB＝OC＝|m|，
∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，这时直线y＝x＋m与对称轴x＝－1的夹角∠BAE＝45°.
又∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC与△ADF相似，顶点A只可能对应△BOC中的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴是x＝－1，设对称轴x＝－1与OF交于点G，
∵直线y＝x＋m过顶点A，∴m＝1－4a，
∴直线表达式为y＝x＋1－4a，解方程组解得
这里的(－1，4a)即为顶点A，点即为点D的坐标，
D点到对称轴x＝－1的距离为－1－(－1)＝，AE＝|－4a|＝4a，
S△ADE＝××4a＝2，即它的面积为定值．
这时等腰直角三角形ADF的面积为1，∴底边DF
＝2，而x＝－1是它的对称轴，这时D，C重合且在y轴上，由－1＝0，∴a＝1，此时抛物线的表达式y＝x2＋2x－3
8、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(3，0)，直线y＝－x＋3恰好经过B，C两点．
(1)写出点C的坐标；
(2)求出抛物线y＝x2＋bx＋c的表达式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．
【解析】
(1)由直线y＝－x＋3可求出点C坐标；
(2)由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；
(3)作辅助线AE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．
解：(1)y＝－x＋3与y轴交于点C，故C(0，3)；
(2)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点B，C，
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
∴对称轴为直线x＝2，点A(1，0)；
(3)由y＝x2－4x＋3，
可得D(2，－1)，A(1，0)；
∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，CB＝3.
如答图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF＝AB＝1.
过点A作AE⊥BC于点E.
∴∠AEB＝90°.
可得BE＝AE＝，CE＝2.
在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，
∵∠ACE＝∠APF，
∴△AEC∽△AFP.
∴＝，＝，
解得PF＝2.
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为(2，2)或(2，－2)．
9、如图所示，若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为M，点O为坐标原点．
(1)当x1＝c＝2，a＝时，求x2与b的值；
(2)当x1＝2c时，试问△ABM能否等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．
解：(1)设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，
把a＝，c＝2代入，得x2＋bx＋2＝0，
∵x1＝2是它的一个根，
∴×22＋2b＋2＝0，解得b＝－，
∴方程为x2－x＋2＝0，
∴另一个根为x2＝3；
(2)当x1＝2c时，x2＝＝，
此时b＝－a(x1＋x2)＝－，4ac＝－2b－1，
∵M，
当△ABM为等边三角形时＝AB，
即＝，
∴b2＋2b＋1＝(1＋2b＋1)，
解得b1＝－1，b2＝2－1(舍去)，
此时4ac＝－2b－1，即2c＝，A，B重合，
∴△ABM不可能为等边三角形；
(3)∵△BPO∽△PAO，
∴＝，即x1x2＝c2＝，
∴ac＝1，a＝，
由S1＝S2得c＝＝－c，
∴b2＝4a·2c＝8ac＝8，
∴b1＝－2，b2＝2(舍去)，
方程可变形为x2－2x＋c＝0，
∴x1＝＝＝(－1)c，
x2＝＝(＋1)c，
∵x1＜x2，x1＝mc，
∴mc＝(－1)c，∴m＝－1.
10、如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过?ABCD的顶点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将?ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当t为何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
原图　　　　　
备用图
【解析】
(1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的表达式；
(2)由平行四边形的对称性可知直线l必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E点坐标，进而可求直线l的表达式，结合二次函数表达式确定点F的坐标．作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，列出PM关于t的表达式，最后利用三角形的面积得S△PFE关于t的表达式，利用二次函数的最值求得t值，从而使问题得以解决；
(3)分两种情形讨论：①若∠P1AE＝90°，作P1G⊥y轴，易得P1G＝AG，由此构建一元二次方程求t的值；②若∠AP2E＝90°，作P2K⊥x轴，AQ⊥P2K，则△P2KE∽△AQP2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t的值．
解：(1)将点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋c，结得
得
则抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵直线l将?ABCD分割为面积相等的两部分，∴必过其对称中心.
由点A，D知，抛物线对称轴为x＝1，∴E(3，0)，
设直线l的表达式为y＝kx＋m，代入点和(3，0)，得
解得
∴直线l的表达式为y＝－x＋.
由解得xF＝－.
如答图①，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH.
点P的纵坐标为yP＝－t2＋2t＋3，
点M的纵坐标为yM＝－t＋.
∴PM＝yP－yM＝－t2＋2t＋3＋t－
＝－t2＋t＋.
则S△PFE＝S△PFM＋
S△PEM＝PM·FN＋PM·EH
＝PM
·(FN＋
EH)
＝＝－＋×
∴当t＝时，△PFE的面积最大，最大值的立方根为
＝.
(3)由图可知∠PEA≠90°.
①若∠P1AE＝90°，如答图②，作P1G⊥y轴，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
∴∠P1AG
＝∠AP1G＝45°，∴P1G＝AG.∴t＝－t2＋2t＋3－3，即－t2＋t＝0，
解得t＝1或0(舍去)．
②若∠AP2E＝90°，作P2K⊥x轴，AQ⊥P2K，
则△P2KE∽△AQP2，
∴＝，
∴＝，即t2－t－1＝0，
解得t＝或＜－(舍去)．
综上可知t＝1或符合题意．
11、如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连结BC，CD.设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连结CD.是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
原图　　　　　
备用图
【解析】
(1)先求出直线y＝x＋2与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，再将点A，B的坐标代入抛物线的函数表达式即可求解；
(2)①过点C作CH⊥BD交BD于点H，则CH是△CDE与△BCE的高线，所以＝，分别过点D，B作DM∥y轴、BN⊥x轴，DM交AC于点M，BN交AC于点N，则＝.由抛物线的函数表达式求出点B的坐标，进而可求出点N的坐标，得到BN的长；设D，表示出点M的坐标为，可得DM＝－t2－2t，于是转化为关于t的二次函数，从而求得最大值；
②分三种情形求解：(Ⅰ)∠DFC＝2∠BAC；(Ⅱ)∠CDF＝2∠BAC；(Ⅲ)∠FCD＝2∠BAC.情形(Ⅰ)通过判断∠BAC的度数确定是否存在；情形(Ⅱ)可通过作∠BAC关于
轴的对称图形构成出2∠BAC，再过点C作平行线求解；情形(Ⅲ)在x轴负半轴取点P，使CP＝AP，构成出2∠BAC再求解．
解：(1)在y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4.
∴C(0，2)，A(－4，0)．
代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得b＝－，c＝2.
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－x＋2.
(2)如答图①，过点C作CH⊥BD于点H，
则S1＝DE·CH，S2＝BE·CH.
∴＝.
过点D作DM∥y轴，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，则DM∥BN.
∴＝.
在y＝－x2－x＋2中，当y＝0时，－x2－x＋2＝0，解得x＝－4或1.
∴B(1，0)．当x＝1时，y＝x＋2＝.
∴N，BN＝.
设D，则M.
∴DM＝－t2－t＋2－＝－t2－2t.
∴＝＝－(t＋2)2＋.
∴当t＝－2时，取最大值.
②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2.
＝＝，＝.
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB.
∴∠ACO＝∠ABC.
(Ⅰ)∵tan∠BAC＝＝≠1，
∴∠BAC≠45°.∴∠DFC≠2∠CAB.
(Ⅱ)当∠DCF＝2∠CAB时，如答图②，作点C关于x轴的对称点G，连结AG，则∠CAB＝∠GAB，G(0，－2)．
∴∠CAG＝2∠CAB.
设直线AG的函数表达式为y＝kx＋d(k≠0)．
把A(－4，0)，G(0，－2)代入，得
解得k＝－，d＝－2.
∴直线AG的函数表达式为y＝－x－2.过点C作CD∥AG交第二象限内的抛物线于点D，则∠DCF＝∠CAG＝2∠CAB，且直线CD的函数表达式为y＝－x＋2.
由－x＋2＝－x2－x＋2，解得x1＝0(舍去)，x2＝－2.
∴点D的横坐标为－2.
(Ⅲ)当∠CDF＝2∠CAB时，如答图③，在x轴负半轴上取点P，使CP＝AP.
∴∠CAB＝∠ACP，∴∠CPO＝∠CAB＋∠ACP＝2∠CAB.设OP＝m，则CP＝AP＝4－m.
在Rt△OCP中，由勾股定理，得OP2＋OC2＝CP2.
∴m2＋22＝(4－m)2.解得m＝，即OP＝.
∴tan∠CDF＝tan∠CPO＝＝.
∴＝.
过点F作QK∥x轴交y轴于点K，过点D作DQ∥y轴交QK于Q，则∠Q＝∠FKC＝90°，∠CFK＋∠FCK＝90°，＝.
∴＝，即FK＝2KC.∵DF⊥AC，∴∠CFK＋∠DFQ＝90°.
∴∠FCK＝∠DFQ.又∵∠Q＝∠FKC，
∴△FKC∽△DQF.
∴＝＝＝.
设QF＝3n，则KC＝4n，FK＝8n，DQ＝6n，OK＝2－4n.∴D(－11n，2＋2n)，代入y＝－x2－x＋2，得
2＋2n＝－×(－11n)2－x(－11n)＋2.解得n1＝0(不合题意，舍去)，n2＝.
∴－11n＝－，即点D的横坐标为－.
综上诉述，点D的横坐标为－2或－.
12、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
y＝x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋，－4)或(3－，－4)．
【思路引导】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为-4，令y=-4即可解决问题．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2?3x?8；
∵y＝x2?3x?8＝
(x?3)2?
，
∴抛物线的对称轴为直线x=3．
又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）．
∴点B的坐标为（8，0），
设直线L的函数表达式为y=kx．
∵点D（6，-8）在直线L上，
∴6k=-8，解得k=-
，
∴直线L的函数表达式为y=-x，
∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4，
∴点E的坐标为（3，-4）；
（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，
∴x2-3x-8=-4，解得x=3±
，
∴点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）．
【方法总结】
本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题2020年中考数学冲刺难点突破
二次函数问题
专题三
二次函数中的相似三角形综合问题
1、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．
①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；
②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．
2、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.
（1）求的值；
（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.
4、如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
5、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；
⑵求证：△ABC是直角三角形；
⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与点B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，设B、P两点的距离为x，△DEP的面积为y
（1）求出tan∠PBF；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围
（3）当△DEP与△BCD相似时，求△DEP的面积
7、如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，且＝．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；
（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，其中2a＝b>0>c，且a＋b＋c＝0.
(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c
＝0的一个根；
(2)证明：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A在第三象限；
(3)直线y＝
x＋m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，D两点．设抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴与x轴相交于E，如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF＝S△ADE，求此时抛物线的表达式．
8、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(3，0)，直线y＝－x＋3恰好经过B，C两点．
(1)写出点C的坐标；
(2)求出抛物线y＝x2＋bx＋c的表达式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．
9、如图所示，若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为M，点O为坐标原点．
(1)当x1＝c＝2，a＝时，求x2与b的值；
(2)当x1＝2c时，试问△ABM能否等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．
10、如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过?ABCD的顶点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将?ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当t为何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
原图　　　　　
备用图
11、如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连结BC，CD.设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连结CD.是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
原图　　　　　
备用图
12、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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