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2019-2020学年辽宁省沈阳市和平区九下期中数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
下列计算结果正确的是
A．
B．
C．
D．
如图，线段
的两个端点的坐标分别为
，，以原点
为位似中心，在第一象限内将线段
扩大为原来的
倍，得到线段
，则线段
的中点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
不等式组
的解集在数轴上可表示为
A．
B．
C．
D．
若分式方程
有增根，则实数
的取值是
A．
或
B．
C．
D．
或
如图，直线
过
，
两点，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
或
D．
如图，
是
的直径，
是弦，，，则阴影部分的面积是
A．
B．
C．
D．
如图，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，与反比例函数
的图象交于点
，点
在直线
上，连接
，，若
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
如图，对角线
将正方形
分成两个等腰三角形，点
，
将对角线
三等分，且
，点
在正方形的边上，则满足
的点
的个数是
A．
B．
C．
D．
将矩形
按如图所示的方式折叠，，，
为折痕，若顶点
，，
都落在点
处，且点
，，
在同一条直线上，同时点
，，
在另一条直线上，则
的值为
A．
B．
C．
D．
如图，是二次函数
图象的一部分，下列结论中：①
；②
；③
有两个相等的实数根；④
．其中正确结论的序号为
A．①②
B．①③
C．②③
D．①④
二、填空题（每题3分，共18分）
因式分解：
．
某车队有
位司机：，，，，，，，．
月份用车耗去的汽油费用如下表，根据表中的数据作出统计图，以便更清楚地对每个人的耗油费用进行比较，那么应用最恰当的统计图是
．（在“条形统计图”“扇形统计图”“折线统计图”选取）
在一个不透明的袋子中放有
个球，其中有
个白球，这些球除颜色外完全相同，若每次把球充分搅匀后，任意摸岀——球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在
左右，则
的值约为
．
已知矩形
，
为
的中点，
为
上一点，连接
，，若
，，，则
的长为
．
如图，在矩形
中，，，
为
的中点，，
分别是边
，
上的动点，且
，连接
，
交于点
，若
，则
．
如图，四边形
中，，，，，，，
分别为边
及射线
上的动点，，
面积的最小值
．
三、解答题（共9题，满分82分）
计算：．
某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调査，并根据调査结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为
种型号）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)
该班共有
名学生．其中穿
型校服的学生有
名．
(2)
在条形统计图中，请把空缺部分直接补充完整．
(3)
在扇形统计图中，请计算
型校服所对应的扇形圆心角是
．
(4)
求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．
在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的
张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取
张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的
张牌的数字之和为偶数的概率．
某厂准备生产甲、乙两种商品共
万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知
件甲种商品与
件乙种商品的销售额相同，
件甲种商品比
件乙种商品的销售额多
元．
(1)
甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)
若甲、乙两种商品的销售总额不低于
万元，则至少销售甲种商品多少万件？
如图，
是
的直径，
是
的弦，，
与
的延长线交于点
，点
在
上，且
．
(1)
求证：直线
是
的切线．
(2)
若
，，
．
如图，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
．将线段
先向右平移
个单位长度、再向上平移
个单位长度，得到对应线段
，反比例函数
的图象恰好经过
，
两点，连接
，．
(1)
，
；
(2)
求反比例函数的表达式；
(3)
点
在
轴正半轴上，点
是反比例函数
的图象上的一个点，若
是以
为直角边的等腰直角三角形时，点
的坐标
．
如图，平面直角坐标系中，，以
为边在第一象限作正方形
，动点
从
点出发，以每秒
个单位的速度沿着
的路线向
点匀速运动（
不与
，
重合）；过点
作
，
与路线
相交于
，设运动时间为
秒．
(1)
填空：当点
在
上时，
（用含
的代数式表示）．
(2)
当点
在
上时（含点
），是否存在点
，使
为等腰三角形，
．
(3)
在直线
的运动过程中，过点
作
，垂足为
，矩形
与
重叠部分的面积为
时，求
的值．
请回答下列各题：
(1)
证明推断：如图（），在正方形
中，点
，
分别在边
，
上，
于点
，点
，
分别在边
，
上，．
①求证：．
②推断：
的值为
．
(2)
类比探究：如图（），在矩形
中，（
为常数）．将矩形
沿
折叠，使点
落在
边上的点
处，得到四边形
，
交
于点
，连接
交
于点
．试探究
与
之间的数量关系，并说明理由．
(3)
拓展应用：在（）的条件下，连接
，当
时，若
，，求
的长．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
直线
与该抛物线的交点为
，（点
在点
的左侧）．
(1)
求该抛物线的表达式及点
的坐标．
(2)
点
关于
轴的对称点为点
，点
的坐标为
，若四边形
的面积为
，求点
到
的距离
．
(3)
在（）的条件下，直线
与直线
交于点
，与
轴交于点
，与
轴交于点
；在直线
上，射线
上和射线
上分别有动点
，，；
周长最小值
．
答案
1.
【答案】C
2.
【答案】A
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】B
9.
【答案】B
10.
【答案】D
11.
【答案】
12.
【答案】条形统计图
13.
【答案】
14.
【答案】
或
15.
【答案】
16.
【答案】
17.
【答案】
18.
【答案】
(1)
；
(2)
补全统计图如图所示：
(3)
(4)
型和
型出现的次数最多，都是
次，
故众数是
和
；
共有
个数据，第
，
个数据都是
，
故中位数是
．
19.
【答案】列表得：所有等可能的情况有
种，抽取的
张牌的数字之和为偶数的情况有
种，
则
．
20.
【答案】
(1)
设甲种商品的销售单价
元，乙种商品的销售单价
元，依题意有解得答：甲种商品的销售单价
元，乙种商品的销售单价
元．
(2)
设销售甲种商品
万件，依题意有解得答：至少销售甲种商品
万件．
21.
【答案】
(1)
连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线
是
的切线．
(2)
22.
【答案】
(1)
；
(2)
由（）知，，
，
由平移可得：点
，．
将点
，
分别代入
，得
反比例函数的解析式为
．
(3)
或
23.
【答案】
(1)
(2)
存在；
或
或
(3)
①当
时，如图
，
由题意知
，
则
，
，
，，
，
则
，
，
当
时，
取得最大值
．
②当
时，如图
，
，，
，
，，
，
，
，
（舍）或
（舍）
综上，当
时，
取得
．
24.
【答案】
(1)
①
四边形
是正方形，
，．
．
，
．
．
，
．
②
(2)
如图（）中，作
于
．
，
，
，，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
．
(3)
如图
中，作
交
的延长线于
．
，，
，
，
可以假设
，，，
，，
，
，
或
（舍弃），
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
25.
【答案】
(1)
抛物线
与
轴交于
，
两点，
解得：
该抛物线的解析式为：，
令
，则
．
．
(2)
抛物线的对称轴为直线
，
直线
与该抛物线的交点为
，，
点
，
关于直线
对称，
设
，则
，
点
关于轴的对称点为点
，
，
点
直线
上，
轴，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
设直线
与
轴交于点
．
四边形
的面积为
，
，
，
，
，
解得：，，
，
，
即
，
中，
，
四边形
的面积为
，
，，
即点
到
的距离
为
．
(3)

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