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八年级数学下册第九章二次根式
第一讲 二次根式的性质
知识点1: 二次根式的意义
定义：形如的式子叫做二次根式.“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做“被开方数”.
关注要点：①从形式上看，二次根式必须有二次根号；②二次根式的被开方数可以是一个具体的数，也可以是代数式；③二次根式定义中a≥0是定义的一个组成部分，不能省略；④二次根根式与算术平方根有着内在的联系，同样也具有双重非负性.
【例1】若二次根式有意义，则可以取下列各数中的（ ）
A.-2 B.0 C.2 D.4
解答：依题意，得x﹣3≥0， 解得，x≥3．故选：D．
配题1：x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） （2）
配题2：若，则（ ）
A．-15 B．-9 C．9 D．15
知识点2: 二次根式的性质
（1） 一个非负数的算术平方根的平方，仍等于这个非负数.
（2） 任何实数a的平方的算术平方根等于a的绝对值.
【例2】化简：(1)=______. (2)=_______.
【例3】若成立，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
配题3：计算:= ； = ； = ；= .
配题4：若ab＜0，则二次根式化简为（ ）
A． B． C． D．
配题5：(2015·常州期中)把中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
（3） 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
【例4】化简：(1)= (2)=
(3)=
配题6：（2018·曲阜期中）k，m，n为三个整数，若，，，则下列关于k，m，n的大小关系，正确的是（ ）
A．k＜m=n B．m=n＜k C．n＜k＜m D．m＜k＜n
（4） 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
【例5】化简：(1)= (2)=
(3)= (4)=
配题7：（2017·济宁期末）如果，那么x的取值范围是 .
知识点3：最简二次根式
最简二次根式满足的条件：（1）被开方数中不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
【例6】下列各式不是最简二次根式的是（　　）
A. B． C． D．
【例7】化简下列二次根式：
（2） （3）
配题8：下列各式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
配题9：下列根式中，最简二次根式是（ 　）
A. B. C. D.
配题10：化简下列二次根式：
（1） （2）
配题11：将化为最简二次根式得__________.
知识点4：二次根式的乘法法则
乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
即（≥0，≥0）
关注要点：①二次根式的乘法法则是由二次根式的性质逆运用得出来；②乘法的运算法则在二次根式中仍然适用.
【例8】计算：（1） 解：
（2） 解：
配题12：计算：（1）= ；（2）= ；
（3） （4）
知识点5：二次根式的除法法则
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）
【例9】化简的结果是（　　）
A．9 B．3 C．3 D．2
配题13：计算：(1) （2） （3）
配题14：计算：=
配题15：（2016·泉州中考）计算：(π-3)0+|-2|-+（-1）-1
【新知巩固】
1.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.如果是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A.的实数 B.的实数 C.的实数 D.且的实数
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4.若是整数，则正整数n的最小值是 .
5.当x 时，=2－x成立，计算= ．
6.若x－8=9x，则x的取值范围是 ．
7.已知x＜0，那么的结果等于（ ）
A．x B．－x C．3x D．－3x
8.计算：（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
9.已知：满足，求的值.
10.已知、两实数在数轴上对应位置如图所示，化简
【课后练习】
1.等式=成立的条件是_________．
2.计算：4÷2的结果是（ ）
A．2x B．x C．6x D．x
3.计算：
(1) (2)÷ (3)
4÷2 (5)
4.若，求的值.
5.若－3≤x≤2时，试化简│x－2│++ .
第二讲 二次根式的加减与混合运算
知识点1：同类二次根式
定义：把几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
关注要点：①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数可以互不相同，但也是同类二次根式；③判断同类二次根式时，首先要把它们都化成最简二次根式，然后看被开方数是否相同.
【例1】下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
配题1：下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
配题2：试判断下列各式中哪些是同类二次根式.
知识点2：二次根式加减法
法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并.
【例2】下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【例3】计算：（1） （2）
配题3：（1） （2）
知识点3：二次根式的混合运算
【例4】计算：(1) (2)
配题4：计算： (1) (2)
(3) (4)
【新知巩固】
1.（1）下列二次根式中，与能合并的是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ， 。
（3）若最简根式与是同类二次根式，求 的值。
2.把下列各式分母有理化
（1） （2） （3） （4） （5）
3.计算：（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【拓展训练】
1.若 ， ，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
2.若+=，则－=_________．
3.设4－的整数部分为，小数部分为b，则－的值为（ ）
A．1－ B． C．1+ D．－
4.化简求值:（－2+b）÷（－），其中=9，b=4．
5.计算：
（1） （2）
课后作业
1.下列二次根式：、、、 中与是同类二次根式的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
2.计算：＝_________．
3.已知,,则= .
4.化简时，甲的解法==+，
乙的解法是==+，以下判断正确的是（ ）
A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确
C．甲、乙的解法都正确； D．甲、乙的解法都不正确
5.已知长方形的长A= ，B=
（1）求该长方形的周长；
（2）若另一个正方形，其面积与该长方形面积相等，试计算该正方形的周长.
第一讲 二次根式的性质
知识点1: 二次根式的意义
【例1】解答：依题意，得x﹣3≥0， 解得，x≥3．故选：D．
配题1：（1）x≤1/6 （2）x≥1且x≠2 配题2：D
知识点2: 二次根式的性质
【例2】(1)2 (2)-a 【例3】B
配题3： 5 ； 28 ； a ；π-3.14 配题4： B 配题5：A
【例4】(1)45 (2)3 (3)24 配题6： D
【例5】(1) (2) (3) (4) 配题7： 1≤x＜2
知识点3：最简二次根式
【例6】解：，因此该选项不是最简二次根式．故选A．
【例7】(1) (2) (3) 2b
配题8：C 配题9：B 配题10：(1) (2) 配题11：
知识点4：二次根式的乘法法则
【例8】 解：（1） （2）
配题12：（1）； （2）12 ； （3）x2y2 ； （4）6a2
知识点5：二次根式的除法法则
【例9】解： 故选B．
配题13：（1）2； （2）； （3）-4ab 配题14： 配题15：0
【新知巩固】
A；2. C；3. B ；4. 6 ；5. ＜2 π-3 ； 6. x≤0 ；7. D ；
8.（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
9. 4 ；10. 1
【课后练习】
X＞3 ；2. C ；3.(1)1- (1)3 (3) (4) (5) ；4. ；5. 10-x .
第二讲 二次根式的加减与混合运算
知识点1：同类二次根式
【例1】B 配题1： C 配题2：（ ）
知识点2：二次根式加减法
【例2】 C.原式=（3﹣1）=2，故本选项正确；
【例3】（1） （2） 配题3：（1） （2）
知识点3：二次根式的混合运算
【例4】（1）4- （2）﹣4 配题4： (1) (2) 3 (3) 13 (4)
【新知巩固】
1.（1）D ； （2）0 2 ； （3）1
2. （1） （2） （3） （4） （5）
3.（1） （2） （3） （4） （5） （6）
（7） （8）
拓展训练
1.A 2.±1 3.A 4. 1 5. （1） （2）
课后作业
1.B 2. 3. 4.C 5. （1） （2） 8
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