资源简介 2021年度北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》课后巩固提升训练(附答案)1.在等腰三角形中,有一个角是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是( )A.25°B.25°或40°C.25°或35°D.40°2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点B为圆心,BC为半径作弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD的度数是( )A.18°B.36°C.72°D.108°3.如图,点P在∠AOB的平分线上,PC⊥OA于点C,∠AOB=30°,点D在边OB上,且OD=DP=2.则线段PC的长度为( )A.3B.2C.1D.4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点D,CD=2,P为AB上一动点,则PD的最小值为( )A.2B.3C.4D.无法确定5.已知实数x,y满足,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对6.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=8,则△ABC的周长为( )A.8B.10C.18D.207.如图,OP是∠AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是( )A.PC⊥OA,PD⊥OBB.OC=ODC.∠OPC=∠OPDD.PC=PD8.如图,已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN=3,则CM的长为( )A.3B.3.5C.4D.4.59.如图,在Rt△ABC中,CD、CE分别是斜边上的中线、高线.若∠A=25°,则∠DCE的大小为( )A.50°B.40°C.30°D.25°10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=52°,BE为AC边上的中线,AD平分∠BAC,交BC边于点D,过点B作BF⊥AD,垂足为F,则∠EBF的度数为( )A.19°B.33°C.34°D.43°二.填空题(共6小题)11.在△ABC中,AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8,则△ABC的面积为 .12.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,DE⊥BC,BD平分∠ABC,AD=6cm,BC=15cm,△BDC的面积为 cm2.13.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=6.沿DE折叠,使得点A与点B重合,则折痕DE的长为 .14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N.再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,若CD=5,AB=18,则△ABD的面积是 .15.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 .16.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= .三.解答题(共9小题)17.如图,点C、E、B、F在一条直线上,AB⊥CF于B,DE⊥CF于E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.18.如图在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:∠B=∠C.19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F.求证:DE=DF.20.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=7,AC=25,BC=24,三条角平分线相交于点P,求点P到AB的距离.21.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点E,且AC=15cm,△BCE的周长等于25cm.(1)求BC的长;(2)若∠A=36°,并且AB=AC.求证:BC=BE.22.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,分别交AB、AC于点D、点E,连接BE.(1)若△BEC的周长是14cm,BC=5cm,求AB的长;(2)若∠A=42°,求∠CBE的度数.23.已知:如图△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,DE⊥AC.(1)求证:AE=EC;(2)若DE=2,求BC的长.24.△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点P在BC边上运动(P不与B、C重合),连接AP,作∠APQ=∠B,PQ交AB于点Q.(1)如图1,当PQ∥CA时,判断△APB的形状并说明理由;(2)在点P的运动过程中,△APQ的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BQP的度数;若不可以,请说明理由.25.如图,在平面直角坐标系中,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与y轴交于点C.(1)若∠A=∠AOC,求证:∠B=∠BOC;(2)延长AB交x轴于点E,过O作OD⊥AB,且∠DOB=∠EOB,∠OAE=∠OEA,求∠A度数;(3)如图,OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点P,当△ABO绕O点旋转时(斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C),在(2)的条件下,试问∠P的度数是否发生改变?若不变,请求其度数;若改变,请说明理由.参考答案1.解:当50°为底角时,∵∠B=∠ACB=50°,∴∠BCD=90°﹣50°=40°;当50°为顶角时,∵∠A=50°,∴∠B=∠ACB=65°,∴∠BCD=90°﹣65°=25°.故选:B.2.解:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,又∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD=72°,∴∠DBC=36°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=72°﹣36°=36°,故选:B.3.解:过P作PE⊥OB于E,∵点P在∠AOB的平分线上,PC⊥OA,∴PC=PE,∠AOP=∠BOP,∵OD=DP,∴∠BOP=∠DPO,∴∠AOP=∠DPO,∴PD∥OA,∴∠PDE=∠AOB,∵∠AOB=30°,∴∠PDE=30°,∵∠PEO=90°,DP=2,∴PE=DP=1,∴PC=1,故选:C.4.解:当DP⊥AB时,根据垂线段最短可知,此时DP的值最小.由作图可知:AE平分∠BAC,∵DC⊥AC,DP⊥AB,∴DP=CD=2,∴PD的最小值为2,故选:A.5.解:根据题意得,解得,(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:4、4、8,不能组成三角形;(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:4、8、8,能组成三角形,周长为4+8+8=20.故选:B.6.解:∵在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.∴MN是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∵△ADC的周长为10,∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10,∵AB=8,∴△ABC的周长为:AC+BC+AB=10+8=18.故选:C.7.解:A.PC⊥OA,PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°,根据AAS判定定理成立,B.OC=OD,根据SAS判定定理成立,C.∠OPC=∠OPD,根据ASA判定定理成立,D.PC=PD,根据SSA无判定定理不成立,故选:D.8.解:过点P作PD⊥CB于点D,∵∠ACB=60°,PD⊥CB,PC=12,∴DC=6,∵PM=PN,MN=3,PD⊥OB,∴MD=ND=1.5,∴CM=6﹣1.5=4.5.故选:D.9.解:∵在Rt△ABC中,CD是斜边上的中线,∴CD=AD=AB,∴∠DCA=∠A=25°,∴∠CDE=∠A+∠DCA=50°,∵CE是斜边上的高线,∴CE⊥AB,∴∠CED=90°,∴∠DCE=90°﹣50°=40°,故选:B.10.解:∵∠ABC=90°,BE为AC边上的中线,∴∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣52°=38°,BE=AC=AE,∴∠BAC=∠ABE=38°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAF=∠BAC=19°,∴∠BOF=∠BAD+∠ABE=19°+38°=57°,∵BF⊥AD,∴∠BFO=90°,∴∠EBF=90°﹣∠BOF=90°﹣57°=33°;故选:B.11.解:如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,∵CD=3,AB=6,∴AD=DB=3,∴CD=AD=DB,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠1+∠3=90°,∴△ABC是直角三角形,∴AC2+BC2=AB2=36,又∵AC+BC=8,∴AC2+2AC?BC+BC2=64,∴2AC?BC=64﹣(AC2+BC2)=64﹣36=28,又∵S△ABC=AC?BC,∴S△ABC==7.12.解:∵在△ABC中,∠A=90°,DE⊥BC,BD平分∠ABC,AD=6cm,∴AD=DE=6cm,∵BC=15cm,∴△BDC的面积是BC×DE=×15cm×6cm=45cm2,故答案为:45.13.解:由题意可得,BE平分∠ABC,DE=CE又∠A=30°,AC=6可得DE=AE∴DE=(6﹣DE)则DE=2.故答案为2.14.解:作DE⊥AB于E,由基本尺规作图可知,AD是△ABC的角平分线,∵∠C=90°,DE⊥AB,∴DE=DC=5,∴△ABD的面积=×AB×DE=×5×18=45,故答案为45.15.解:∵DE是BC边上的垂直平分线,∴BE=CE.∵△EDC的周长为24,∴ED+DC+EC=24,①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,∴(AB+AC+BC)﹣(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)﹣(AE+DC+AC)﹣DE=12,∴BE+BD﹣DE=12,②∵BE=CE,BD=DC,∴①﹣②得,DE=6.故答案为:6.16.解:∵正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,∵∠CAE=15°,∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,∴AE=2AD=8.故答案为8.17.证明:∵AB⊥CF,DE⊥CF,∴∠ABC=∠DEF=90°.在Rt△ABC和Rt△DEF中,,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴BC=EF.∴BC﹣BE=EF﹣BE.即:CE=BF.18.解:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,∵D是BC的中点,∴BD=CD(3分)在Rt△BDE和Rt△CDF中∵DE=DF,DB=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)(6分)∴∠B=∠C(8分)19.证明:法一:连接AD.∵AB=AC,点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC(三线合一性质),∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F.∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).证法二:在△ABC中,∵AB=AC∴∠B=∠C(等边对等角)…(1分)∵点D是BC边上的中点∴BD=DC…(2分)∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F∴∠BED=∠CFD=90°…(3分)在△BED和△CFD中∵,∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).20.解:过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,∵点P是△ABC三条角平分线的交点,∴PD=PE=PF∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=PD?AB+PE?BC+PF?AC=PD?(AB+BC+AC)=PD?(7+25+24)=28PD又∵∠ABC=90°,∴S△ABC=AB?BC=×7×24=7×12∴7×12=28PD,∴PD=3答:点P到AB的距离为3.21.(1)解:∵AB的垂直平分线MN交AB于点D,∴AE=BE,∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,∵AC=15cm,∴BC=25﹣15=10cm;(2)证明:∵∠A=36°,AB=AC,∴∠C=(180°﹣∠A)=(180°﹣36°)=72°,∵AB的垂直平分线MN交AB于点D,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A,由三角形的外角性质得,∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°,∴∠BEC=∠C,∴BC=BE.22.解:(1)由作法可知MN是AB的垂直平分线,∴EA=EB,∵△BEC的周长是14cm,BC=5cm,∴BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=14cm,∴AB=AC=14﹣5=9(cm);(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠A=42°,∴∠ABC=∠ACB=69°,∵MN是AB的垂直平分线,∴EA=EB,∴∠A=∠ABE=42°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=69°﹣42°=27°.23.(1)证明:∵AB=AC,∠C=30°,∴∠B=30°,∠BAC=120°,∵AB⊥AD,∴∠DAC=30°,∴∠DAC=∠C,∴DA=DC,∵DE⊥AC,∴AE=EC;(2)∵∠C=30°,DE⊥AC,∴DC=2DE=4,∵AB⊥AD,∠B=30°,∴BD=2DC=8,∴BC=12.24.解:(1)△APB是直角三角形,理由如下:∵AB=AC,∠B=30°,∴∠C=30°=∠B=∠APQ,∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠C,∴∠APB=60°,∴∠BAP=90°,∴△APB是直角三角形;(2)当AQ=QP时,∴∠QAP=∠APQ=30°,∴∠BQP=∠QAP+∠APQ=60°,当AP=PQ时,则∠AQP=∠PAQ=75°,∴∠BQP=105°,当AQ=AP时,则∠AQP=∠APQ=30°,∵P不与B、C重合,∴不存在,综上所述:∠BQP=105°或60°.25.解:(1)∵△AOB是直角三角形,∴∠A+∠B=90°,∠AOC+∠BOC=90°.∵∠A=∠AOC,∴∠B=∠BOC;(2)∵∠A+∠ABO=90°,∠DOB+∠ABO=90°,∴∠A=∠DOB,即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA.∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°,∴∠DOB=30°,∴∠A=30°;(3)∠P的度数不变,∠P=30°,∵∠AOM=90°﹣∠AOC,∠BCO=∠A+∠AOC,∵OF平分∠AOM,CP平分∠BCO,∴∠FOM=∠AOM=(90°﹣∠AOC)=45°﹣∠AOC,∠PCO=∠BCO=(∠A+∠AOC)=∠A+∠AOC.∴∠P=180°﹣(∠PCO+∠FOM+90°)=45°﹣∠A=30° 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