2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》课后巩固提升训练(word版含答案)

资源下载
  1. 二一教育资源

2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》课后巩固提升训练(word版含答案)

资源简介

2021年度北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》课后巩固提升训练(附答案)
1.在等腰三角形中,有一个角是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是(  )
A.25°
B.25°或40°
C.25°或
35°
D.40°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,以点B为圆心,BC为半径作弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD的度数是(  )
A.18°
B.36°
C.72°
D.108°
3.如图,点P在∠AOB的平分线上,PC⊥OA于点C,∠AOB=30°,点D在边OB上,且OD=DP=2.则线段PC的长度为(  )
A.3
B.2
C.1
D.
4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点D,CD=2,P为AB上一动点,则PD的最小值为(  )
A.2
B.3
C.4
D.无法确定
5.已知实数x,y满足,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是(  )
A.20或16
B.20
C.16
D.以上答案均不对
6.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=8,则△ABC的周长为(  )
A.8
B.10
C.18
D.20
7.如图,OP是∠AOB的平分线,点C,D分别在角的两边OA,OB上,添加下列条件,不能判定△POC≌△POD的选项是(  )
A.PC⊥OA,PD⊥OB
B.OC=OD
C.∠OPC=∠OPD
D.PC=PD
8.如图,已知∠ACB=60°,PC=12,点M,N在边CB上,PM=PN.若MN=3,则CM的长为(  )
A.3
B.3.5
C.4
D.4.5
9.如图,在Rt△ABC中,CD、CE分别是斜边上的中线、高线.若∠A=25°,则∠DCE的大小为(  )
A.50°
B.40°
C.30°
D.25°
10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=52°,BE为AC边上的中线,AD平分∠BAC,交BC边于点D,过点B作BF⊥AD,垂足为F,则∠EBF的度数为(  )
A.19°
B.33°
C.34°
D.43°
二.填空题(共6小题)
11.在△ABC中,AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8,则△ABC的面积为 
 .
12.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,DE⊥BC,BD平分∠ABC,AD=6cm,BC=15cm,△BDC的面积为 
 cm2.
13.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=6.沿DE折叠,使得点A与点B重合,则折痕DE的长为 
 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N.再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,若CD=5,AB=18,则△ABD的面积是 
 .
15.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为 
 .
16.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= 
 .
三.解答题(共9小题)
17.如图,点C、E、B、F在一条直线上,AB⊥CF于B,DE⊥CF于E,AC=DF,AB=DE.求证:CE=BF.
18.如图在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:∠B=∠C.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F.
求证:DE=DF.
20.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=7,AC=25,BC=24,三条角平分线相交于点P,求点P到AB的距离.
21.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点E,且AC=15cm,△BCE的周长等于25cm.
(1)求BC的长;
(2)若∠A=36°,并且AB=AC.求证:BC=BE.
22.如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,分别交AB、AC于点D、点E,连接BE.
(1)若△BEC的周长是14cm,BC=5cm,求AB的长;
(2)若∠A=42°,求∠CBE的度数.
23.已知:如图△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,DE⊥AC.
(1)求证:AE=EC;
(2)若DE=2,求BC的长.
24.△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点P在BC边上运动(P不与B、C重合),连接AP,作∠APQ=∠B,PQ交AB于点Q.
(1)如图1,当PQ∥CA时,判断△APB的形状并说明理由;
(2)在点P的运动过程中,△APQ的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BQP的度数;若不可以,请说明理由.
25.如图,在平面直角坐标系中,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与y轴交于点C.
(1)若∠A=∠AOC,求证:∠B=∠BOC;
(2)延长AB交x轴于点E,过O作OD⊥AB,且∠DOB=∠EOB,∠OAE=∠OEA,求∠A度数;
(3)如图,OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点P,当△ABO绕O点旋转时(斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C),在(2)的条件下,试问∠P的度数是否发生改变?若不变,请求其度数;若改变,请说明理由.
参考答案
1.解:当50°为底角时,
∵∠B=∠ACB=50°,
∴∠BCD=90°﹣50°=40°;
当50°为顶角时,
∵∠A=50°,
∴∠B=∠ACB=65°,
∴∠BCD=90°﹣65°=25°.
故选:B.
2.解:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
又∵BC=BD,
∴∠BDC=∠BCD=72°,
∴∠DBC=36°,
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=72°﹣36°=36°,
故选:B.
3.解:过P作PE⊥OB于E,
∵点P在∠AOB的平分线上,PC⊥OA,
∴PC=PE,∠AOP=∠BOP,
∵OD=DP,
∴∠BOP=∠DPO,
∴∠AOP=∠DPO,
∴PD∥OA,
∴∠PDE=∠AOB,
∵∠AOB=30°,
∴∠PDE=30°,
∵∠PEO=90°,DP=2,
∴PE=DP=1,
∴PC=1,
故选:C.
4.解:当DP⊥AB时,根据垂线段最短可知,此时DP的值最小.
由作图可知:AE平分∠BAC,
∵DC⊥AC,DP⊥AB,
∴DP=CD=2,
∴PD的最小值为2,
故选:A.
5.解:根据题意得

解得,
(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:4、4、8,
不能组成三角形;
(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:4、8、8,
能组成三角形,周长为4+8+8=20.
故选:B.
6.解:∵在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.
∴MN是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∵△ADC的周长为10,
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10,
∵AB=8,
∴△ABC的周长为:AC+BC+AB=10+8=18.
故选:C.
7.解:A.PC⊥OA,PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°,根据AAS判定定理成立,
B.OC=OD,根据SAS判定定理成立,
C.∠OPC=∠OPD,根据ASA判定定理成立,
D.PC=PD,根据SSA无判定定理不成立,
故选:D.
8.解:过点P作PD⊥CB于点D,
∵∠ACB=60°,PD⊥CB,PC=12,
∴DC=6,
∵PM=PN,MN=3,PD⊥OB,
∴MD=ND=1.5,
∴CM=6﹣1.5=4.5.
故选:D.
9.解:∵在Rt△ABC中,CD是斜边上的中线,
∴CD=AD=AB,
∴∠DCA=∠A=25°,
∴∠CDE=∠A+∠DCA=50°,
∵CE是斜边上的高线,
∴CE⊥AB,
∴∠CED=90°,
∴∠DCE=90°﹣50°=40°,
故选:B.
10.解:∵∠ABC=90°,BE为AC边上的中线,
∴∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣52°=38°,BE=AC=AE,
∴∠BAC=∠ABE=38°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAF=∠BAC=19°,
∴∠BOF=∠BAD+∠ABE=19°+38°=57°,
∵BF⊥AD,
∴∠BFO=90°,
∴∠EBF=90°﹣∠BOF=90°﹣57°=33°;
故选:B.
11.解:如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,
∵CD=3,AB=6,
∴AD=DB=3,
∴CD=AD=DB,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠1+∠3=90°,
∴△ABC是直角三角形,
∴AC2+BC2=AB2=36,
又∵AC+BC=8,
∴AC2+2AC?BC+BC2=64,
∴2AC?BC=64﹣(AC2+BC2)=64﹣36=28,
又∵S△ABC=AC?BC,
∴S△ABC==7.
12.解:∵在△ABC中,∠A=90°,DE⊥BC,BD平分∠ABC,AD=6cm,
∴AD=DE=6cm,
∵BC=15cm,
∴△BDC的面积是BC×DE=×15cm×6cm=45cm2,
故答案为:45.
13.解:由题意可得,BE平分∠ABC,DE=CE
又∠A=30°,AC=6
可得DE=AE
∴DE=(6﹣DE)
则DE=2.
故答案为2.
14.解:作DE⊥AB于E,
由基本尺规作图可知,AD是△ABC的角平分线,
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=DC=5,
∴△ABD的面积=×AB×DE=×5×18=45,
故答案为45.
15.解:∵DE是BC边上的垂直平分线,
∴BE=CE.
∵△EDC的周长为24,
∴ED+DC+EC=24,①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,
∴(AB+AC+BC)﹣(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)﹣(AE+DC+AC)﹣DE=12,
∴BE+BD﹣DE=12,②
∵BE=CE,BD=DC,
∴①﹣②得,DE=6.
故答案为:6.
16.解:∵正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,
∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,
∵∠CAE=15°,
∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.
∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,
∴AE=2AD=8.
故答案为8.
17.证明:∵AB⊥CF,DE⊥CF,
∴∠ABC=∠DEF=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
∴BC=EF.
∴BC﹣BE=EF﹣BE.
即:CE=BF.
18.解:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
∵D是BC的中点,
∴BD=CD(3分)
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∵DE=DF,
DB=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)(6分)
∴∠B=∠C(8分)
19.证明:
法一:连接AD.
∵AB=AC,点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC(三线合一性质),
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F.
∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).
证法二:在△ABC中,
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角)
…(1分)
∵点D是BC边上的中点
∴BD=DC
…(2分)
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F
∴∠BED=∠CFD=90°…(3分)
在△BED和△CFD中
∵,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).
20.解:过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,
PF⊥AC于F,
∵点P是△ABC三条角平分线的交点,
∴PD=PE=PF
∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=PD?AB+PE?BC+PF?AC
=PD?(AB+BC+AC)=PD?(7+25+24)=28PD
又∵∠ABC=90°,
∴S△ABC=AB?BC=×7×24=7×12
∴7×12=28PD,
∴PD=3
答:点P到AB的距离为3.
21.(1)解:∵AB的垂直平分线MN交AB于点D,
∴AE=BE,
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC,
∵AC=15cm,
∴BC=25﹣15=10cm;
(2)证明:∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠C=(180°﹣∠A)=(180°﹣36°)=72°,
∵AB的垂直平分线MN交AB于点D,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A,
由三角形的外角性质得,∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°,
∴∠BEC=∠C,
∴BC=BE.
22.解:(1)由作法可知MN是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
∵△BEC的周长是14cm,BC=5cm,
∴BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=14cm,
∴AB=AC=14﹣5=9(cm);
(2)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠A=42°,
∴∠ABC=∠ACB=69°,
∵MN是AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
∴∠A=∠ABE=42°,
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=69°﹣42°=27°.
23.(1)证明:∵AB=AC,∠C=30°,
∴∠B=30°,∠BAC=120°,
∵AB⊥AD,
∴∠DAC=30°,
∴∠DAC=∠C,
∴DA=DC,
∵DE⊥AC,
∴AE=EC;
(2)∵∠C=30°,DE⊥AC,
∴DC=2DE=4,
∵AB⊥AD,∠B=30°,
∴BD=2DC=8,
∴BC=12.
24.解:(1)△APB是直角三角形,
理由如下:∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=30°=∠B=∠APQ,
∵PQ∥AC,
∴∠BPQ=∠C,
∴∠APB=60°,
∴∠BAP=90°,
∴△APB是直角三角形;
(2)当AQ=QP时,
∴∠QAP=∠APQ=30°,
∴∠BQP=∠QAP+∠APQ=60°,
当AP=PQ时,则∠AQP=∠PAQ=75°,
∴∠BQP=105°,
当AQ=AP时,则∠AQP=∠APQ=30°,
∵P不与B、C重合,
∴不存在,
综上所述:∠BQP=105°或60°.
25.解:(1)∵△AOB是直角三角形,
∴∠A+∠B=90°,∠AOC+∠BOC=90°.
∵∠A=∠AOC,
∴∠B=∠BOC;
(2)∵∠A+∠ABO=90°,∠DOB+∠ABO=90°,
∴∠A=∠DOB,即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA.
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°,
∴∠DOB=30°,
∴∠A=30°;
(3)∠P的度数不变,∠P=30°,
∵∠AOM=90°﹣∠AOC,∠BCO=∠A+∠AOC,
∵OF平分∠AOM,CP平分∠BCO,
∴∠FOM=∠AOM=(90°﹣∠AOC)=45°﹣∠AOC,∠PCO=∠BCO=(∠A+∠AOC)=∠A+∠AOC.
∴∠P=180°﹣(∠PCO+∠FOM+90°)
=45°﹣∠A
=30°

展开更多......

收起↑

资源预览