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2020-2021学年北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转同步单元练
一、单选题
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．在平面直角坐标系中，把点A（﹣2，2）平移到点A'（﹣5，2），其平移方法是（　　）
A．向上平移3个单位
B．向下平移3个单位
C．向左平移3个单位
D．向右平移3个单位
3．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上．已知∠A=33°，∠B=30°，则∠ACE的大小是（　　　）
A．63°
B．58°
C．54°
D．52°
4．下面四个图案中,不能由基本图案(图中阴影部分)旋转得到的是
(
)
A．
B．
C．
D．
5．现有一条长方形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的长方形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．要让风车能在风口处平稳旋转，风车必须做成中心对称图形，且不是轴对称图形．下列粘贴方法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，等腰的直角顶点为，且轴，等腰中，，将与组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转则第次旋转结束时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10cm，将△ABC沿AC方向平移cm得到△DEF，则两个三角形重叠部分△DGC的面积为（　　）
A．cm2
B．cm2
C．cm2
D．cm2
8．如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（
）
A．点O与的距离为4
B．
C．S四边形AOBO′
D．
9．如图，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△，则点P的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，等边三角形的边长为2，点O是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点O旋转分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
11．如图，将RtABC(∠BAC=65?)绕点A顺时针旋转到的位置，使得点C，A，在同一直线上，则旋转角度为_____
12．如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=85°，则∠A=_________．
13．在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（5，b）关于原点对称，则ab＝___．
14．如图，将等腰直角按如图所示放置，然后绕O点逆时针旋转至的位置，点B的横坐标为，则点的坐标为_______．
15．如图，在等边中，，点O在边上，且，点P是边上的一动点．连结，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点D恰好落在边上，则的长为______．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，有一个△ABC，顶点的坐标分别是A（－2，4），B（－5，1），C（－1，1）．
（1）将△ABC绕原点O旋转90°得到△A1B1C1，请在平面直角坐标系中作出△A1B1C1，并写出△A1B1C1的顶点坐标；
（2）作出△ABC向下平移5个单位后得到的△A2B2C2
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为．
（1）把三角形向下平移4个单位长度，再以轴为对称轴对称，得到三角形，请你画出三角形并直接写出点，，的坐标；
（2）求三角形的面积．
18．若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯．
（1）求地毯的长是多少米？
（2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？
19．在中，，，将绕点顺时针旋转一个角度得到，点、的对应点分别是、．
（1）若边恰好经过点，如图1，求的大小；
（2）当时，如图2，设与交于点，求证：是中点．
20．已知等边△ABC的边长为6，点D在BC上，且BD=2，点E是AB上的动点．连接DE，将DE绕点E逆时针旋转60°到EF位置，连接DF；CF．
（1）求△DEF周长的最小值；
（2）求AD的长；
（3）当点E在AB运动时，△CDF的面积是否发生变化，若不变求出这个面积的值；若变化，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）．已知a，b满足．
（1）①求出A，B两点的坐标；
②如图1，点P为△AOB三个内角角平分线的交点，且AB=5，求点P的坐标；
（2）如图2．若点C为点A关于y轴对称的点，△DBE是将△ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，连接AD、CE交于点F．求证：BF平分∠CFD．
（3）在（2）的基础上继续绕点B旋转使得D、B、C三点共线，若，求∠CFD的度数（用含的式子表示）．
参考答案
1．A
解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．旋转180°，与原图形不能够完全重合不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．旋转180°，与原图形不能够完全重合不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．旋转180°，与原图形不能够完全重合不是中心对称图形，故此选项不合题意；
2．C
解：把点A（﹣2，2）平移到点A'（﹣5，2），其平移方法是向左平移3个单位，
故选：C．
3．C
解：∵，
，
∴，
∵绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴∠ACB=∠DCE，
∴，
∴，
∴
4．D
A.可由一个基本花瓣绕其中心经过7次旋转，每次旋转45度得到；
B.
可由一个基本菱形绕其中心经过5次旋转，每次旋转
60度得到；
C.
可由一个基本花瓣绕其中心旋转180度得到；
D.
不能由基本图案旋转得到；
5．A
解：A．是中心对称图形，绕着小孔平稳旋转，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．符合题意；
B．既是中心对称又是轴对称，不符合题意；
C．只是轴对称图形，不能绕小孔旋转，不符合题意；
D．只是轴对称图形，不能绕小孔旋转，不符合题意；
6．A
解：由题意可得：，
∴C点坐标为（-9，3）
∵将与组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转
∴经过4次旋转后，点C回到初始位置，
∵2021=4×505+1，
∴第2021次旋转结束时，点C到达第一次旋转时的位置，即
故选：A
7．A
解：∵等腰直角ΔABC中，∠B=90°，AB=BC=10cm
，
∴∠A=∠BCA=45°，
AC=
又∵将
ΔABC沿AC方向平移4cm得ΔDEF
，
∴∠A=∠EDF，AD=4cm，DG=CG
∴CD=AC-AD=
∴∠DGC=90°
∵
CD=
∴
DG=CG=6
∴
S△DGC=
DG?CG=
×6×6=18cm2
8．D
解：如图，连接OO′，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故A正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故B正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，
故C正确；
如图2
将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，
同理可得S△AOC+S△AOB=6+，
故D错误；
故选D．
9．B
解：∵将以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到，
∴点A的对应点为点，点C的对应点为点，
如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为，
∴旋转中心P的坐标为．
10．D
解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE＋∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE＋∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
故①正确；
∴，
故②正确；
∵△BOD≌△COE，
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═S△ABC＝××22＝，
故③正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD＋BE＋DE＝CE＋BE＋DE＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝
，
∴△BDE周长的最小值＝2＋×＝3，
∴④正确．
故选：D．
11．115?
解：∵∠BAC=65?
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=25°
∵C，A，B1在同一条直线上，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠BAB1=∠C+∠B=115°．
12．60°
解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′＝35°，∠A'DC＝85°
∴∠A′＝60°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A＝∠A′，
∴∠A＝60°．
13．10
解：∵点A（a，2）与点B（5，b）关于原点对称，
∴a=-5，b=-2，
∴ab＝﹣5×（﹣2）＝10，
14．（?，）．
解：如图，过点A′作A′H⊥y轴于点H，
∵点B的横坐标为，
∴OB＝，
∵等腰直角绕点O逆时针旋转90°得到，
∴OB′＝OB＝，为等腰直角三角形，
∴A′H＝OH＝OB′＝，
∴点A′的坐标为（?，），
15．8
解：∵AC=12，AO=4，
∴OC=8，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，如图所示，
∴OD=OP，∠POD=60°，
∵∠AOP+∠APO+∠A=180°，∠AOP+∠COD+∠POD=180°，
∴∠AOP+∠APO=120°，∠AOP+∠COD=120°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP和△CDO中，
，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=CO=8，
16．
（1）解：两种情况：
①如图所示，△ABC绕原点O顺时针旋转90°，△即为所求，△的顶点坐标为（4，2），（1，5），（1，1）．
②如图所示，△ABC绕原点O逆时针旋转90°，得到△即为所求，△的顶点坐标为A1（－4，－2），B1（－1，－5），C1（－1，－1）．
（2）如图所示，△即为所求．
17．
解：（1）如图所示：三角形即为所求；
、、；
（2）三角形的面积为：．
18．
（1），
，
，
∴地毯的长为7m；
（2）地毯的面积为，
∴铺这个楼梯所需的花费为（元）．
19．
（1）解：如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：设与交于点，连接（如图2），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即是中点．
20
解：（1）当DE⊥AB时DE最小，即△DEF周长最小，
由旋转的性质得，DE=EF，∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴，
∴=，
∴△DEF周长的最小值为3；
（2）作AG⊥BC于G，
∵等边△ABC的边长为6，
∴，
∴DG=3-2=1，，
∴=（或）；
（3）△CDF的面积不变化，作DM⊥AB于M，作FN⊥BC于N，
∵∠B=60°，
∴∠BDM=30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠EDM+∠FDN=180°-30°-60°=90°，
∵∠DFN+∠FDN=90°，
∴∠EDM=∠DFN．
在△DEM和△FDN中
，
∴△DEM≌△FDN，
∴NF=DM，
由（1）可知，DM=，
∴NF=．
∵BC=6，BD=2，
∴CD=4，
∴．
21．
解：（1）①∵，
∴a+3=0，b-4=0，
∴a=-3，b=4，
∴A(-3，0)，B(0，4)；
②∵点P为△AOB三个内角角平分线的交点，且AB=5，
∴∠DBP=∠EBP，∠FOP=∠EOP，∠DAP=∠FAP，
从P点分别向AB、BO、AO作垂线，分别交D、E、F，如下图所示，
∴DP=PE=PF，
在△BDP和△BEP中，，
∴△BDP≌△BEP，
同理可得△PFO≌△PEO，△PDA≌△PFA，
设PF=x，则DP=PE=x，
∴，
即，
解得：x=1，
又∵点P在第二象限，
∴P点坐标为：(-1，1)；
（2）①∵点C为点A关于y轴对称的点，
∴AB=BC，
在△BDA和△BCE中，
∵△DBE是将△ABC绕点B顺时针旋转后所得图形，
∴△DBE≌△ABC，
∴BD=AB=BE=BC，∠DBE=∠ABC，
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA，即∠DBA=∠EBC，
∴△BDA≌△BCE，
∴∠BAF=∠BEC，
在△EFB和△AFB中，AB=EB，BF=BF，∠BAF=∠BEC，
∴△EFB≌△AFB，
∴BF平分∠CFD；
②如图，连接BF，
由题可知，∠BFC=∠ECA，
∴∠BFC=180°-∠FBC-∠BCF
=180°-（∠ABC+∠FBA）-∠BCF
=180°-∠ABC-（∠BCF+∠FBA）
=180°-∠ABC-（∠BCF+∠FCA）
=180°--（90°-）
=，
∴∠CFD=．
试卷第1页，总3页

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