资源简介

5．3　分式的加减法
第1课时　同分母分式的加减




1．了解并掌握同分母分式的加减法则；
2．会用同分母分式的加减法则进行同分母分式加减运算．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　　　


一、情境导入
大约公元250年前后，古希腊数学家丢番图在形容如何将42表示成两个数的平方和时，得出了一组答案，这两个数都是分母为b，分子比是4∶3的分数．你能根据这些条件，求出这两个数来吗？
二、合作探究
探究点一：同分母分式的加减运算
计算：
(1)－；
(2)＋；
(3)－.
解析：根据同分母分式加减法的法则，把分子相加减，分母不变．注意(1)，(3)两小题属于同分母分式的减法运算，减式的分子要变号．
解：(1)原式＝＝＝－；
(2)原式＝＝＝－a－1；
(3)原式＝＝＝－1.
方法总结：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整式．
探究点二：分式的符号法则
计算：
(1)＋；
(2)＋－.
解析：(1)先把第二个分式的分母y－x化为－(x－y)，再把分子相加减，分母不变；
(2)先把第二个分式的分母a－b化为－(b－a)，再把分子相加减，分母不变．
解：(1)原式＝－
＝
＝＝＝x＋y；
(2)原式＝－－
＝
＝＝＝－2.
方法总结：分式的分母互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．





三、板书设计
1．同分母分式加减法法则：±＝.
2．分式的符号法则：＝，＝＝－.

本节课通过同分母分数的加减法类比得出同分母分式的加减法．易错点一是符号，二是结果的化简．在教学中，让学生参与课堂探究，进行自主归纳，并对易错点加强练习．从而让学生对知识的理解从感性认识上升到理性认识.















第2课时　异分母分式的加减




1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；(重点)
2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)
　　　　　　　　　　　　　　　


一、情境导入
小学我们学习过异分母分数的加减法，如＋＝＋＝，那么如何计算－呢？
二、合作探究
探究点一：分式的通分
【类型一】 最简公分母
分式与的最简公分母是________．
解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．
方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．
【类型二】 分母是单项式分式的通分
通分．
(1)，；
(2)，；
(3)，，.
解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．
解：(1)最简公分母是2b2d，＝，＝；
(2)最简公分母是6a2bc2，＝，＝；
(3)最简公分母是10xy2z2，＝，＝，＝－.
方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．
【类型三】 分母是多项式分式的通分
通分．
(1)，；
(2)，.
解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．
解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，
＝，
＝；
(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，
＝，＝.
方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．
探究点二：异分母分式的加减法
【类型一】 异分母分式的加减法运算
计算：
(1)－；
(2)＋a＋2；
(3)－＋.
解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．
解：(1)原式＝－
＝－
＝＝；
(2)原式＝＝＝2a；
(3)原式＝－＋＝＝.
方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．
【类型二】 分式的混合运算
计算：
(1)(－)÷；
(2)÷(－a－3)．
解：(1)原式＝[－]÷
＝(－)÷＝·＝－；
(2)原式＝÷(－)
＝÷
＝·
＝－.
方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．
探究点三：分式运算的化简求值
【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值
先化简，再求值：(＋)÷，其中x＝1，y＝－2.
解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．
解：原式＝·＝，
当x＝1，y＝－2时，原式＝＝－.
方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．
【类型二】 先化简，再选择字母的值求分式的值
先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：·－.
解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．
解：原式＝·－
＝－
＝
＝－.
当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)
方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．
【类型三】 整体代入求值
已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求－·的值．
解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．
解：－·＝－·＝－＝＝.
∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝＝.
方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．
探究点四：运用分式解决实际问题
有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？
解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．
解：设两次航行的路程都为s.
第一次所用时间为＋＝，
第二次所用时间为＋＝，
∵b＞a，∴b2＞a2，
∴v2－b2＜v2－a2，
∴＞.
∴第一次的时间要短些．
方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．



三、板书设计
1．分式的通分
2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．
3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．

对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式．在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟.

展开更多......

收起↑