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7.3万有引力的成就
一、“称量”地球的质量
（一）“称量”地球的质量
1、(2019·枣庄高一检测)1798年，英国物理学家卡文迪许做了一项伟大的实验，他把这项实验说成是“称量地球的质量”，在这个实验中首次测量出了(　　)
A．地球表面附近的重力加速度
B．地球的公转周期
C．月球到地球的距离
D．引力常量
解析：选D　在这个实验中首次测量出了万有引力常量，故选D。
2、假设有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(　　)
A. B．4倍 C．16倍 D．64倍
解析：选D　由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，又ρ＝ρ地，则＝，得R＝4R地，故＝·＝64。
3、将物体由赤道向两极移动，则(　　)
A．它的重力减小 B．它随地球转动的向心力增大
C．它随地球转动的向心力减小 D．向心力方向、重力的方向都指向地心
解析：选C　地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，选项D错误。物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，选项A、B错误，C正确。
（二）重力加速度
1、设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为(　　)
A．1　　　　　　　 B. C. D.
解析：选D　设地球的质量为M，物体的质量为m，由万有引力定律得地面上：G＝mg0①离地心4R处：G＝mg②由①②式得＝2＝，故选项D正确。
2、在地球表面附近自由落体的加速度为g，同步卫星距地面的高度大约是地球半径的6倍，则同步卫星所在处的重力加速度大约是(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　在地球表面附近有G＝mg，在距离地面为6倍地球半径的高处有G＝mg′，解得g′＝，故选项C正确。
3、已知地球的质量为M，月球的质量为m，月球绕地球的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于(　　)
A. B. C. D.r3
解析：选B　由mg＝G得g＝；又m·r＝mg得g＝r，故选项B正确。
4、假设某小行星的半径为r＝16 km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为(　　)
A．400g B.g C．20g D.g
解析：选B　由地球表面物体的重力等于万有引力得G＝mg，又M＝πR3ρ，得g＝，则＝＝，即g行＝g，故B正确。
5、近几年我国在深海与太空探测方面有了重大发展。2015年1月5日“蛟龙号”载人潜水器在西南印度洋“龙旅”热液区完成两次下潜科考任务，2016年8月16日1时40分，我国将世界首颗“量子卫星”发射升空。若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体(质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零)。“蛟龙”号下潜深度为d，“量子卫星”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“量子卫星”所在处的重力加速度之比为(　C　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选C 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝，由于地球的质量为：M＝πR3ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g＝πGρR。根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”所在处的重力加速度为：g′＝πGρ(R－d)，所以有：＝。设“量子卫星”的加速度为a，则G ＝ma，a＝，所以有：＝，得：＝，故C正确，ABD错误。故选C。
6、据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　　)
A．0.5　　　　 B．2　
C．3.2 D．4
解析：选B　[在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．即G地＝G同样在行星表面有G行＝G以上二式相比可得＝×＝×＝＝2故该行星的半径与地球的半径之比约为2
故选B.]
7、北京时间2019年4月10日21时，在全球七大城市同时发布由“事件视界望远镜”观测到位于室女A星系(M87)中央的超大质量黑洞的照片，如图所示。若某黑洞半径R约为45 km，质量M和半径R满足的关系为＝，(其中c为光速，c＝3.0×108 m/s，G为引力常量)，则估算该黑洞表面重力加速度的数量级为(　　)
A．1010 m/s2 B．1012 m/s2
C．1014 m/s2 D．1016 m/s2
解析：选B　黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m物体有：G＝mg，又有＝，联立解得
g＝，代入数据得重力加速度的数量级为1012 m/s2。故B正确。
二、计算天体的质量
（一）计算地球的质量
1、人造卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为v，轨道半径为r，已知引力常量为G，根据万有引力定律，可算出地球的质量为(　　)
A.　　　　　　　　　 B. C. D.
解析：选A　设地球质量为M，卫星质量为m，由G＝m，可得M＝，故选项A正确。
2、[多选]一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选AC　根据G＝mr，得M＝，则选项A正确、B错误；在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，选项C正确，选项D错误。
3、(多选)要计算地球的质量，除已知的一些常数外还需知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有哪些(　　)
A．已知地球半径R
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
D．已知地球公转的周期T′及运转半径r′
解析：选ABC 设相对于地面静止的某一物体质量为m，地球的质量为M，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得G＝mg，解得M＝，所以选项A正确；设卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得＝m，即M＝，所以选项B正确；再根据T＝，得M＝＝＝，所以选项C正确；若已知地球公转的周期T′及运转半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D错误．
4、利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
解析：选D 由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有G＝m0g，可得M＝；由万有引力提供人造卫星的向心力，有G＝m1，v＝，联立得M＝；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有G＝m22r，可得M＝，故根据A、B、C三项的数据均可计算出地球的质量。同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，可求出太阳的质量，但不可求出地球的质量，故选D。
（二）计算其它天体的质量
1、“嫦娥三号”携带“玉兔”探测车在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，“嫦娥三号”离月球表面4 m高时最后一次悬停，确认着陆点。若总质量为m的“嫦娥三号”在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　设月球的质量为M，由G＝mg和F＝mg，解得M＝，选项A正确。
2、月球表面重力加速度是地球表面重力加速度的，若已知月球半径约为1.72×103 km，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，地球表面重力加速度为9.8 m/s2。试估算月球质量的数量级为(　　)
A．1016 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
解析：选C　根据G＝mg可得M＝，则M月＝＝ kg＝7.2×1022 kg，选项C正确
3、“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为(　　)
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
解析：选D 天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：＝，得M＝，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7.4×1022kg，选项D正确．
4、土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)
A．5×1017 kg　　　　　　　 B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
解析：选B　根据万有引力提供向心力可知G＝mr，得M＝。代入数据可得M＝5×1026 kg(能估算出数量级即可)。
5、通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是(　　)
A．卫星的质量和轨道半径
B．卫星的运行周期和角速度
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的速度和角速度
解析：选D.根据G＝m，可知，卫星的质量可以约去，只知道半径不能求出冥王星质量，故A错误；卫星的运行周期和角速度关系是T＝，也就是说知道周期，就知道了角速度，其实只知道一个量，根据G＝mω2r可知，卫星的质量可以约去，只知道角速度或周期不能求出冥王星质量，所以知道卫星的运行周期和角速度或卫星的质量和角速度，没法计算出冥王星的质量，故B、C错误；卫星围绕冥王星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，已知卫星的速度和角速度，则轨道半径r＝，根据G＝mωv，即可求解冥王星质量M，故D正确．
6、一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
解析：选B　根据N＝mg，得g＝，根据万有引力提供向心力得：G＝m＝mg，解得：M＝，故B正确。
7、一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　　)
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
解析：选A　取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A。
8、若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，则该星球的质量是地球质量的(　　)
A． B．3倍
C．27倍 D．9倍
解析：选C 根据万有引力等于重力，列出等式G＝mg，得g＝G，其中M是任一星球的质量，r是从星球表面到星球球心的距离。根据密度与质量关系得M＝ρ·πr3，则得g＝Gρ·πr，星球的密度跟地球密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，所以星球的半径是地球半径的3倍，再根据M＝ρ·πr3得，星球的质量是地球质量的27倍，故选C。
9、过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)
A.　　 B．1
C．5 D．10
解析：选B. 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝mr可得M＝，该中心恒星的质量与太阳的质量之比＝)·,T2)＝×≈1，故B项正确．
10、若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　　)
A. B. C. D.
解析：选A 由G＝mr得M∝，则＝·＝，A正确。
11、20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
解析：选D　飞船在Δt时间内的加速度a＝，所以飞船的质量m＝＝；绕星球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力：G＝mr，又v＝，整理得M＝，故D正确。
（二）求密度
1、地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有mg＝G，又地球质量M＝ρV＝πR3ρ。代入上式化简可得地球的平均密度ρ＝。
2、若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为(　　)
A．　 B．　 C．　 D．
解析：选B 设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则G＝m()2R，所以行星的质量为M＝行星的平均密度ρ＝＝＝，B项正确。
3、2018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
解析：选C 脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝ρ·πr3，整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×
1015 kg/m3。
4、假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　由万有引力定律可知：G＝mg0，在地球的赤道上：G－mg＝m2R，地球的质量：M＝πR3ρ，联立三式可得：ρ＝，B正确。
5、地球半径是R，地球表面的重力加速度是g，引力常量是G.忽略地球自转的影响．如认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度ρ的表达式为(　　)
A．ρ＝ B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝
解析：选D 地球表面重力与万有引力相等有：G＝mg，可得地球质量为：M＝；地球的体积为：V＝πR3，所以地球的密度为：ρ＝＝，D项正确．
6、(多选)2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子，正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　)
A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
解析：选ACD　由ρ＝，V＝π3，得ρ＝，D正确；由G＝mg0，ρ＝，V＝π3，联立解得ρ＝，A正确；根据近地卫星的周期与中心天体密度的关系ρ＝可知，C正确。
7、近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)(　　)
A．ρ＝kT B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
解析：选D　根据万有引力定律得G＝mR，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝＝，选项D正确。
8、已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景 中，能根据测量的数据求出月球密度的是(　　)
A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T
C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运动的周期T
D．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T
解析：选B　 根据选项A的条件，可求出月球上的重力加速度g，由g＝可以求出月球质量和月球半径的平方比，＝，无法求出密度，选项A错误；根据选项B的条件，由＝m2R，可求出月球质量和月球半径的立方比，＝，而月球密度为ρ＝＝＝，选项B正确；根据选项C的条件，无法求月球的质量，因而求不出月球的密度，选项C错误；根据选项D的条件，由＝m2·(R＋H)，可求出＝，虽然知道H的大小，但仍然无法求出月球质量和月球半径的立方比，选项D错误．
9、[多选]2019年1月3日，嫦娥四号成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地冯·卡门撞击坑的预选着陆区。它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥四号离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息可求出(　　)
A．月球的平均密度为
B．嫦娥四号绕月运行的速度为
C．月球的平均密度为
D．嫦娥四号绕月运行的速度为
解析：选AD　“嫦娥四号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得：M＝，月球的平均密度为：ρ＝＝＝，故A正确，C错误；月球表面任意一物体重力等于万有引力mg＝G，则有：GM＝gR2，“嫦娥四号”绕月运行时，万有引力提供向心力G＝m，得：v＝，联立解得：v＝，故B错误；“嫦娥四号”绕月运行的速度为v＝，故D正确。
三、发现未知天体
1、(多选)下面说法中正确的是(　　)
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．天王星的运动轨道偏离是根据万有引力定律计算出来的，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
解析：选ACD 人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现，天王星的运行轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，于是认为天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏差。英国的亚当斯和法国的勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新行星的轨道，后来用类似的方法发现了冥王星。故A、C、D正确，B错误。
2、下列说法正确的是(　　)
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
解析：选D　由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．
3、关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法正确的是(　　)
A．天王星、海王星都是运用万有引力定律，经过大量计算以后发现的
B．18世纪时人们发现太阳的第七颗行星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是人们推测出在这颗行星的轨道外还有一颗行星
C．太阳的第八颗行星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经过大量计算而发现的
D．以上说法都正确
解析：选B　天王星是在1781年被发现的，而卡文迪许测出万有引力常量的值是在1789年，在此之前人们还不能用万有引力定律做具有实际意义的计算，A错误，B正确；太阳的第八颗行星是在1846年被发现的，而牛顿发现的万有引力定律于1687年发表在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，C错误．
4、牛顿时代的科学家们围绕万有引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述不符合史实的是 (　　)
A．开普勒研究了第谷的行星观测记录，提出了开普勒行星运动定律
B．牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律
C．卡文迪许在实验室中比较准确地测出了引力常量G的数值
D．根据天王星的观测资料，哈雷利用万有引力定律计算出了海王星的轨道
解析：选D 开普勒总结出了行星运动的三大规律，选项A正确；牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律，选项B正确；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许在实验室中比较准确地测出了引力常量G的数值，选项C正确；英国人亚当斯和法国人勒维耶根据万有引力定律推测出海王星的轨道和位置，柏林天文台年轻的天文学家伽勒和他的助手根据勒维耶计算出来的新行星的位置，发现了第八颗新的行星——海王星，选项D错误．
四、天体运动的分析与计算
1、如图所示，“天宫二号”在距离地面393km的近圆轨道运行。已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球质量M＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6.4×103 km。由以上数据可估算(　　)
A．“天宫二号”质量
B．“天宫二号”运行速度
C．“天宫二号”受到的向心力
D．地球对“天宫二号”的引力
解析：选B　根据万有引力提供向心力，即＝m，可知v＝ ，所以选项B正确；由上式可知“天宫二号”的质量在等式两边消去，即无法求得“天宫二号”的质量，即选项A错误；因为不知“天宫二号”的质量所以受到的向心力、引力都无法求解，所以A、C、D错误。
2、如图所示，是按一定比例尺绘制的太阳系五颗行星的轨道，可以看出，行星的轨道十分接近圆，由图可知(　　)
A．火星的公转周期小于地球的公转周期
B．水星的公转速度小于地球的公转速度
C．木星的公转角速度小于地球的公转角速度
D．金星的向心加速度小于地球的向心加速度
解析：选C　根据万有引力提供圆周运动向心力有：＝m2r＝m＝mrω2＝ma可得：公转周期T＝，火星的轨道半径大于地球，故其公转周期大于地球，A错误；公转速度v＝，水星的轨道半径小于地球，故其公转速度大于地球，B错误；公转角速度ω＝，木星的公转轨道大于地球，故其公转角速度小于地球，C正确；向心加速度a＝，金星的轨道半径小于地球的轨道半径，故金星的向心加速度大于地球的向心加速度，D错误．
3、(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的(　　)
A．线速度v＝ B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π D．向心加速度a＝
解析：选AC　探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2R＝mR，可得a＝，v＝，ω＝，T＝2π ，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则G＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝，T＝2π，所以B错误，C正确．
4、据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的 (　　)
A．轨道半径之比约为 B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为
解析：选　B 由公式G＝m()2r，可得通式r＝，则＝＝，从而判断A错、B对；再由G＝ma得通式a＝G，则＝·＝＝，所以C、D皆错．
5、火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法中正确的是(　　)
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的大
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
解析：选　B　由G＝mg得g＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，A项错误；由G＝m()2r得T＝2π，公转轨道半径大的周期长，B项对；由v＝判断轨道半径大的线速度小，C项错；公转向心加速度a＝G，可以判断火星的向心加速度小，D项错．
五、双星问题
1、(多选)两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样它们就不会因引力作用而吸引在一起，则下述物理量中，与它们的质量成反比的是(　　)
A．线速度 B．角速度
C．向心加速度 D．转动半径
解析：选ACD 双星由相互间的万有引力提供向心力，从而使双星做匀速圆周运动，不会因相互间的吸引力而靠在一起，双星做圆周运动的向心力大小相等，等于相互间的万有引力，即m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝，故D项正确；又v＝ωr，得＝，故A项正确；又a＝ω2r，得＝，故C项正确．
2、我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图6?4?2所示)．由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S1的质量为(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
解析：选A双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有G＝m2(r－r1)，解得m1＝.A对．
3、双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.T　　　　　 B.T
C.T D.T
解析：选B 双星间的万有引力提供向心力．设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.对质量为m的恒星：G＝m()2·r.对质量为M的恒星：G＝M()2(L－r)．
得G＝·L，即T2＝.则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝T，选项B正确．
四、计算体
1、在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量G的数值。卡文迪许的实验常被称为是“称量地球质量”的实验，因为由G的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。
(1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为m1、m2且球心相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；
(2)若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量及地球平均密度的表达式。
解析：(1)根据万有引力定律得F＝G
得G＝。
(2)设地球质量为M，质量为m的任一物体在地球表面附近满足G＝mg
得GM＝R2g
解得地球的质量M＝
地球的体积V＝πR3
解得地球的平均密度ρ＝。
答案：(1)　(2)M＝　ρ＝
2、地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R。
[思路点拨]　忽略地球自转的影响时，物体在地面及地球上空某处受到的重力都可以认为等于地球对它的万有引力。
[解析]　不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力。设地球质量为M，物体质量为m，则
在地面：mg＝G在h高处：mg′＝G
解得：＝。
[答案]　
3、火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为50 kg。求：
(1)在火星上宇航员所受的重力为多少？
(2)宇航员在地球上可跳1.5 m高，他在火星上可跳多高？(取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2)
解析：(1)由mg＝G，得g＝。
在地球上有g＝，
在火星上有g′＝，
所以g′＝ m/s2，
那么宇航员在火星上所受的重力
mg′＝50× N≈222.2 N。
(2)在地球上宇航员跳起的高度为1.5＝，
在火星上宇航员跳起的高度h＝，
联立以上两式得h＝3.375 m。
答案：(1)222.2 N　(2)3.375 m
4、已知引力常量G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)，日地中心的距离r＝1.49×1011 m。
(1)试估算太阳的质量；
(2)若万有引力常量未知，而已知地球质量m＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6.4×106 m，地球表面重力加速度g＝9.8 m/s2，试求出太阳质量。
[思路点拨]　
(1)试分析地球绕太阳的运动满足的规律：
①地球绕太阳做匀速圆周运动。
②地球绕太阳的公转周期为1年。
(2)若不考虑地球自转，地面上的物体所受重力等于物体和地球间的万有引力。
[解析]　(1)由牛顿第二定律和万有引力定律，有
G＝m2r，可得M＝，
其中M是太阳的质量，r是地球绕太阳公转半径，T是地球公转周期，m是地球质量，
则M＝kg
≈1.97×1030 kg。
(2)已知G＝m2r①
对地球表面的物体有m′g＝G，即Gm＝gR2②
由①②得
M＝
＝ kg
≈1.96×1030 kg。
[答案]　(1)1.97×1030 kg　(2)1.96×1030 kg
5、如图所示是月亮女神、嫦娥1号绕月亮做圆周运动时某时刻的图片，用R1、R2、T1、T2分别表示月亮女神和嫦娥1号的轨道半径及周期，用R表示月亮的半径。
(1)请用万有引力知识证明：它们遵循＝＝k，其中k是只与月球质量有关而与卫星无关的常量；
(2)再经多少时间两卫星第一次相距最远；
(3)请用嫦娥1号所给的已知量，估测月球的平均密度。
解析：(1)设月球的质量为M，对任一卫星均有
G＝mR
得＝＝＝k(常量)。
(2)两卫星第一次相距最远时有－＝π
解得t＝。
(3)对嫦娥1号有G＝mR2
M＝πR3ρ
解得ρ＝。
答案：(1)见解析　(2)　(3)
6、有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫做“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
解析：(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G＝m2r，
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π ，
则两天体绕太阳的公转周期之比＝。
答案：(1)　(2)
7、设地球是一均匀球体，其自转周期为T，同一物体在两极点时测得其重力为G1，当在赤道时测得其重力为G2，已知引力常量为G，试求出地球平均密度的表达式．
解析 在两极点，万有引力与重力相等；而在赤道上因万有引力与物体随地球自转所需向心在同一直线上，故重力大小为万有引力与向心力之差，利用万有引力定律和向心力公式，设法得到地球质量与地球体积的比值．
设地球质量为M，则地球的平均密度为
ρ＝＝＝， ①
设物体质量为m，则由题意得G1＝G， ②
G2＝G－mR， ③
由②减去③式得G1－G2＝mR， ④
由②除以④式得＝·， ⑤
联立①⑤两式可得地球的平均密度ρ＝.
答案
8、地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a＝3.37×10－2 m/s2，赤道上的重力加速度g＝9.77 m/s2，试问：
(1)质量为m 的物体在地球赤道上所受地球的万有引力为多大？
(2)要使在赤道上的物体由于地球的自转而“飘”起来(完全失重)，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？
解析 (1)在赤道上，F万＝ mg＋F向＝mg＋ma＝9.803 7m.
(2)在赤道上F万＝m(g＋a)，完全失重飘起来，所以F万＝mωR，
又因为a＝ω2R，所以＝＝＝≈17.　
答案 (1)9.803 7m　(2)17倍

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