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变量间的相关关系、统计案例
一、单选题
1．观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的图是(　　)
A．①②　　
B．①④　　
C．③④　　
D．②③
2．(2021·广西柳州模拟)根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到了回归方程＝bx＋a，则(　　)
A．a>0，b>0　　
B．a<0，b>0
C．a>0，b<0　　
D．a<0，b<0
3．(2021·吉林长春模拟)2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2013年编号为1,2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析)，得到回归直线＝13.743x＋3
095.7，其相关指数R2＝0.981
7，给出下列结论，其中正确的个数是(　　)
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强　②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个　③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3
192个
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
4．(2021·沧州七校联考)通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是(　　)
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5．(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)某饮料店5天的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间的数据如下表：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
若x与y之间是线性相关关系，且y关于x的线性回归方程是＝－x＋m，则实数m的值是(　　)
A．3　　
B．2.8　　
C．2.6　　
D．2.4
6．(2021·西北狼联盟质检)广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)
广告费x
2
3
4
5
6
销售额y
29
41
50
59
71
由上表可得回归方程＝10.2x＋，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为(　)
A．118.2万元　　
B．111.2万元
C．108.8万元　　
D．101.2万元
7．(2021·“四省八校”联考)具有线性相关关系的两个变量x、y的取值如下表
x
1
2
3
4
5
y
5
t
m
10
12
其回归直线＝x＋经过点(3,8)的一个充分不必要条件是(　　)
A．t＋m＝13　　
B．t＝m＝6
C．t＝m＝7　　
D．t＝6，m＝7
8．(2021·广东新高考适应性测试)在一项调查中有两个变量x和y，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，则选项中适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是(　　)
A．y＝a＋bx　　
B．y＝c＋d
C．y＝m＋nx2　　
D．y＝p＋qcx(q>0)
二、多选题
9．(2021·山东日照联考)某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是(　　)
A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
10．(2021·山东烟台期末)某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算K2的观测值k≈4.762，则可以推断出(　　)
满意
不满意
男
30
20
女
40
10
P(k2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．在犯错概率不超过5%的前提下认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
三、填空题
11．关于独立性检测，K2越大，则“X与Y有关系”这种判断犯错的概率
.
12．(2021·吉林市五地六校适应性考试)公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：
月份x
1
2
3
4
利润y/万元
5
6
6.5
8
利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为　
　.
13．(2021·黑龙江大庆实验中学模拟)通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
根据上表数据，当a≠0时，下列函数：
①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是(只需写出序号即可)
.
四、解答题
14．(2021·唐山模拟)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1～8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用x
2
3
6
10
13
21
15
18
产品销量y
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明；(系数精确到0.001)
(2)建立y关于x的回归方程＝x＋(系数精确到0.01)，如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元．(结果精确到0.01)
参考数据：
(xi－11)(yi－3)＝74.5，
(xi－11)2＝340，
(yi－3)2＝16.5，≈18.44，＝4.06，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1,2,3，…，8.
参考公式：(i)样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝.
(ii)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－
.
15．(2021·山东潍坊期末)读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体．读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况．随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人．
(1)求n，p的值；
(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？
非读书之星
读书之星
总计
男
女
10
55
总计
(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的分布列和期望E(X)．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
16．(2021·四川攀枝花统考)某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x(单位：元/件)及相应月销量y(单位：万件)，对近5个月的月销售单价xi和月销售量yi(i＝1,2,3,4,5)的数据进行了统计，得到如下表数据：
月销售单价xi(元/件)
9
9.5
10
10.5
11
月销售量yi(万件)
11
10
8
6
5
(1)建立y关于x的回归直线方程；
(2)该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：(1)中得到的回归直线方程是否理想？
(3)根据(1)的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时(销售单价不超过11元/件)，公司月利润的预计值最大？
17．(2021·山东潍坊五县市联考)某公园管理人员为提升服务效能，随机调查了近三个月(每个月按30天计)中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据如下表(单位：天)
　　　　锻炼人次质量等级　　
[0,100]
(100,200]
(200,300]
1(优)
3
13
20
2(良)
4
10
12
3(轻度污染)
6
6
8
4(中度污染)
7
1
0
若某天的空气质量等级为1或2，则称为这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称为这天“空气质量差”．
(1)估计该公园一天的“空气质量好”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
人次≤200
人次＞200
空气质量好
空气质量差
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
18．(2020·百校联盟(全国Ⅰ卷)教质监)为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类，统计如下所示．
(1)是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？
(2)在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望E(X).
不合格
合格
男生
14
16
女生
10
20
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
一、单选题
1．观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的图是(　C　)
A．①②　　
B．①④　　
C．③④　　
D．②③
[解析]　由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．
2．(2021·广西柳州模拟)根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到了回归方程＝bx＋a，则(　C　)
A．a>0，b>0　　
B．a<0，b>0
C．a>0，b<0　　
D．a<0，b<0
[解析]　画出散点图，易知选C．
3．(2021·吉林长春模拟)2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2013年编号为1,2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析)，得到回归直线＝13.743x＋3
095.7，其相关指数R2＝0.981
7，给出下列结论，其中正确的个数是(　D　)
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强　②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个　③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3
192个
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
[解析]　由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又R2＝0.981
7趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当x＝7时，得估计值为3
191.9≈3
192，故③正确．故选：D.
4．(2021·沧州七校联考)通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是(　C　)
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
A.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5．(2021·河南商丘、周口、驻马店联考)某饮料店5天的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间的数据如下表：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
若x与y之间是线性相关关系，且y关于x的线性回归方程是＝－x＋m，则实数m的值是(　B　)
A．3　　
B．2.8　　
C．2.6　　
D．2.4
[解析]　据题意，得＝＝0，＝＝2.8.又y关于x的线性回归方程是＝－x＋m，所以2.8＝－1×0＋m，所以m＝2.8，故选B.
6．(2021·西北狼联盟质检)广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)
广告费x
2
3
4
5
6
销售额y
29
41
50
59
71
由上表可得回归方程＝10.2x＋，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为(　B　)
A．118.2万元　　
B．111.2万元
C．108.8万元　　
D．101.2万元
[解析]　由表格中数据可得，＝4，＝50，
∴50＝4×10.2＋
，解得
＝9.2，
∴回归方程为
＝10.2x＋9.2，
∴当x＝10时，
＝10.2×10＋9.2＝111.2，
即预测广告费10万元时销售额约为111.2万元，故选B.
7．(2021·“四省八校”联考)具有线性相关关系的两个变量x、y的取值如下表
x
1
2
3
4
5
y
5
t
m
10
12
其回归直线＝x＋经过点(3,8)的一个充分不必要条件是(　D　)
A．t＋m＝13　　
B．t＝m＝6
C．t＝m＝7　　
D．t＝6，m＝7
[解析]　回归直线过样本点中心，又直线过点(3,8)，∴＝8，即t＋m＝13，又t＝6，m＝7?t＋m＝13，∴选D.
8．(2021·广东新高考适应性测试)在一项调查中有两个变量x和y，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，则选项中适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是(　B　)
A．y＝a＋bx　　
B．y＝c＋d
C．y＝m＋nx2　　
D．y＝p＋qcx(q>0)
[解析]　散点图呈曲线状，A错误，函数递增且增速越来越慢，故选B.
二、多选题
9．(2021·山东日照联考)某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是(　AC　)
A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
[解析]　根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，他的阅读表达成绩排名靠后．故选AC．
10．(2021·山东烟台期末)某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算K2的观测值k≈4.762，则可以推断出(　ACD　)
满意
不满意
男
30
20
女
40
10
P(k2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．在犯错概率不超过5%的前提下认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
[解析]　由表易知男生比女生对食堂服务满意率低，故B错，又K2＝≈4.8>3.841，∴ACD正确．
三、填空题
11．关于独立性检测，K2越大，则“X与Y有关系”这种判断犯错的概率
越小
.
12．(2021·吉林市五地六校适应性考试)公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：
月份x
1
2
3
4
利润y/万元
5
6
6.5
8
利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为　＝0.95x＋4　.
[解析]　设线性回归方程为＝
x＋，
因为＝，＝，
由题意可得，解得
＝0.95，＝4，
即＝0.95x＋4.故答案为＝0.95x＋4.
13．(2021·黑龙江大庆实验中学模拟)通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
根据上表数据，当a≠0时，下列函数：
①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是(只需写出序号即可)
②
.
[解析]　根据表格提供数据可知，y随x先变小，后变大，即至少有递减和递增两个过程，而①③对应的函数为单调函数，不符合题意．②为二次函数，有递减和递增两个区间，a>0时，能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系．故答案为：②.
四、解答题
14．(2021·唐山模拟)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1～8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促销费用x
2
3
6
10
13
21
15
18
产品销量y
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明；(系数精确到0.001)
(2)建立y关于x的回归方程＝x＋(系数精确到0.01)，如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元．(结果精确到0.01)
参考数据：
(xi－11)(yi－3)＝74.5，
(xi－11)2＝340，
(yi－3)2＝16.5，≈18.44，＝4.06，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1,2,3，…，8.
参考公式：(i)样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝.
(ii)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－
.
[解析]　根据数据绘制散点图如下，
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且逐步上升，所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系：
(1)由题可知＝11，＝3，
将数据代入r＝，
得r≈＝≈0.995.
因为y与x的相关系数近似为0.995，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．(需要突出“很强”，“一般”或“较弱”，否则不给分)
(2)将数据代入
＝，
得
＝＝0.219，
＝－
＝3－0.219×11≈0.59，
所以y关于x的回归方程为＝0.22x＋0.59.
由＝0.22x＋0.59>6，解得x>24.59，
即至少需要投入促销费用24.59万元．
15．(2021·山东潍坊期末)读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体．读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况．随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人．
(1)求n，p的值；
(2)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？
非读书之星
读书之星
总计
男
女
10
55
总计
(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X，求X的分布列和期望E(X)．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解析]　(1)由频率分布直方图可知，p＝0.01，
所以n＝＝100.
(2)因为n＝100，
所以“读书之星”有100×0.25＝25，
从而2×2列联表如下图所示：
非读书之星
读书之星
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算得
K2＝＝≈3.030，
因为3.030<3.841，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关．
(3)将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为，
由题意可知X～B，
所以P(X＝0)＝C)0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
故E(X)＝3×＝.
16．(2021·四川攀枝花统考)某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x(单位：元/件)及相应月销量y(单位：万件)，对近5个月的月销售单价xi和月销售量yi(i＝1,2,3,4,5)的数据进行了统计，得到如下表数据：
月销售单价xi(元/件)
9
9.5
10
10.5
11
月销售量yi(万件)
11
10
8
6
5
(1)建立y关于x的回归直线方程；
(2)该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：(1)中得到的回归直线方程是否理想？
(3)根据(1)的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时(销售单价不超过11元/件)，公司月利润的预计值最大？
[解析]　(1)因为
＝(11＋10.5＋10＋9.5＋9)
＝10，
＝(5＋6＋8＋10＋11)＝8.
所以＝＝－3.2，
所以＝8－(－3.2)×10＝40，
所以y关于x的回归直线方程为：＝－3.2x
＋40.
(2)当x＝7时，＝－3.2×7＋40＝17.6，
则|17.6－18|＝0.4<0.5，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．
(3)设销售利润为M，则M＝(x－5)(－3.2x＋40)(5M＝－3.2x2＋56x－200，
所以x＝8.75时，M取最大值，
所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．
17．(2021·山东潍坊五县市联考)某公园管理人员为提升服务效能，随机调查了近三个月(每个月按30天计)中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据如下表(单位：天)
　　　　锻炼人次质量等级　　
[0,100]
(100,200]
(200,300]
1(优)
3
13
20
2(良)
4
10
12
3(轻度污染)
6
6
8
4(中度污染)
7
1
0
若某天的空气质量等级为1或2，则称为这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称为这天“空气质量差”．
(1)估计该公园一天的“空气质量好”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
人次≤200
人次＞200
空气质量好
空气质量差
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
[解析]　(1)由数据得“空气质量好”的天数共为3＋13＋20＋4＋10＋12＝62，
∴P＝＝.
该公园一天的“空气质量好”的概率为.
(2)根据所给数据，得到下面的2×2列联表
人次≤200
人次＞200
空气质量好
30
32
空气质量差
20
8
∴K2＝≈4.147.
由于4.147>3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与当天的空气质量有关．
18．(2020·百校联盟(全国Ⅰ卷)教质监)为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类，统计如下所示．
(1)是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？
(2)在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望E(X).
不合格
合格
男生
14
16
女生
10
20
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
[解析]　(1)完善列联表如下所示：
不合格
合格
合计
男生
14
16
30
女生
10
20
30
合计
24
36
60
∴K2＝≈1.111<2.706，
故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．
(2)依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，
故X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.

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