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几何概型
一、单选题
1．(2021·辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发现一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得＝x＋1.5其中数据(1，y1)因书写不清楚，只记得y1是[0,3]上的一个值，则该数据对应的残差(残差＝真实值－预测值)的绝对值不大于0.5的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
2．(2021·云南昆明一中检测)在区间[0,8]上随机取一个实数a，则方程x2＋2ax＋16＝0有实数根的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
3．(2021·湖北武汉调研)在长为16
cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60
cm2的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
4.
(2021·湖南湘潭模拟)如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是(　　)
A．　　
B．
C．　　
D．
5．(2020·广西河池期末)在区间[4,12]上随机地取一个实数a，则方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
6．(2021·贵州贵阳四校联考)在区间[－2,2]随机取一个数x，则事件“y＝，且y∈”发生的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
7．(2021·贵州贵阳模拟)若贵阳某路公交车起点站的发车时间为6?35,6?50,7?05，小明同学在6?40至7?05之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
8.
(2021·山西太原模拟)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．(清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
9.
(2021·湖北省四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(　　)
A．　　
B．
C．　　
D．
10．(2021·武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
11.(2021·河南三门峡模拟)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
12．(2021·安徽合肥质检)若在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率是(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．1－
13.
(2021·四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
14．(2021·四川达州诊断)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事件≤1发生的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
15.
(2021·福建莆田质检/安徽芜湖模拟)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为(　　)
A．　　
B．
C．　　
D．
16．(2021·河南阶段测试)《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，随机在线段AC1上取一点，过该点作垂直于AC1的平面α，则平面α“解”正方体ABCD－A1B1C1D1所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为(　　)
A．　　
B．
C．　　
D．
17．(2021·湖北武汉武昌区调研)已知a，b是区间[0,4]上的任意实数，则函数f(x)＝ax2－bx＋1在[2，＋∞)上单调递增的概率为(　　)
A．　　
B．
C．　　
D．
二、多选题
18．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(　)
A．P(B)＝　　
B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0　　
D．P(A∪B)＝P(C)
19．(2018·课标Ⅰ卷改编)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2　　
B．p1＝p3
C．p1的最大值为　　
D．p3的最小值为
三、填空题
20．(2021·福建漳州调研)在半径为2的圆C内任取一点P，则以点P为中点的弦的弦长小于2的概率为　
　.
21．(2021·河北衡水中学调研)有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为
　.
22．(2021·广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是　
　.
参考答案：
一、单选题
1．(2021·辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发现一组数据(xi，yi)具有较强的相关性，并计算得＝x＋1.5其中数据(1，y1)因书写不清楚，只记得y1是[0,3]上的一个值，则该数据对应的残差(残差＝真实值－预测值)的绝对值不大于0.5的概率为(　C　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　依题意可知，估计值为1＋1.5＝2.5，残差为y1－2.5，依题意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率为＝，故选
C．
2．(2021·云南昆明一中检测)在区间[0,8]上随机取一个实数a，则方程x2＋2ax＋16＝0有实数根的概率为(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由Δ＝4a2－4×1×16≥0，得a2≥16，即a≤－4或a≥4，它与0≤a≤8的公共元素为4≤a≤8，所以p＝＝，选B.
3．(2021·湖北武汉调研)在长为16
cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60
cm2的概率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设MP＝x
cm,060，得64.
(2021·湖南湘潭模拟)如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是(　D　)
A．　　
B．
C．　　
D．
[解析]　因为大正方形的面积为6×6＝36；
而小正方的面积为1×1＝1；
故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有8个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是：＝.故选D.
5．(2020·广西河池期末)在区间[4,12]上随机地取一个实数a，则方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率为(　D　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　因为方程2x2－ax＋8＝0有实数根，所以Δ＝(－a)2－4×2×8≥0，解得a≥8或a≤－8.所以方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率p＝＝.故选D.
6．(2021·贵州贵阳四校联考)在区间[－2,2]随机取一个数x，则事件“y＝，且y∈”发生的概率为(　D　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　事件“y＝，且y∈”
由题可知，该分段函数是一个增函数，
y∈[，2]，此时x∈[－1,1]，
所以该事件发生的概率P＝＝.故选D.
7．(2021·贵州贵阳模拟)若贵阳某路公交车起点站的发车时间为6?35,6?50,7?05，小明同学在6?40至7?05之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是(　C　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　6?40至7?05共25分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是6?45至6?50和7?00至7?05到站，共10分钟，所以所求概率为P＝＝.故选
C．
8.
(2021·山西太原模拟)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．(清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　C　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设正方形边长为a，则其面积S＝a2，
阴影部分面积S′＝a·＋·＋··＝＋＋＝，
∴所求概率p＝＝.故选：C．
9.
(2021·湖北省四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(　C　)
A．　　
B．
C．　　
D．
[解析]　设六角星的中心点为O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝，故选
C．
10．(2021·武汉武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为(　C　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设这两个数分别为x，y，则由条件知011.(2021·河南三门峡模拟)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设球半径为R，正四棱锥底面边长为a，则，解得，∴所求概率P＝＝，故选A.
12．(2021·安徽合肥质检)若在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率是(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．1－
[解析]　不等式x2＋y2≤1表示的区域是半径为1的圆，面积为π，且|x|＋|y|≤1满足不等式x2＋y2≤1表示的区域是边长为的正方形，面积为2，∴在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1所围区域内的概率为，故选B.
13.
(2021·四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是(　D　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设直角三角形较短的直角边的边长为a，则小正方形的边长为2a，大正方形的边长为a，∴所求概率P＝＝.故选D.
14．(2021·四川达州诊断)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事件≤1发生的概率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　
矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，在矩形ABCD内(包括边界)随机取一点F，事件≤1即：||≤1，如图所示：
所以P＝＝＝.故选A.
15.
(2021·福建莆田质检/安徽芜湖模拟)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为(　A　)
A．　　
B．
C．　　
D．
[解析]　分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形，设圆的半径为R，该正方形的边长为l，l＝2(R＋R)，
∴l＝(2＋)R，
∴所求概率P＝＝.故选A.
16．(2021·河南阶段测试)《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，随机在线段AC1上取一点，过该点作垂直于AC1的平面α，则平面α“解”正方体ABCD－A1B1C1D1所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为(　D　)
A．　　
B．
C．　　
D．
[解析]　如图所示，由正方体的性质可知，AC1垂直于平面A1BD和平面CB1D1，设P和Q分别是平面A1BD和平面CB1D1与线段AC1的交点，易知VA1－ABD＝VC－C1B1D1＝V正，当平面α取平面A1BD或平面CB1D1时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，要满足条件，应在线段AP或QC1上取点，而AP＝PQ＝QC1，所以所求的概率为＝.
17．(2021·湖北武汉武昌区调研)已知a，b是区间[0,4]上的任意实数，则函数f(x)＝ax2－bx＋1在[2，＋∞)上单调递增的概率为(　D　)
A．　　
B．
C．　　
D．
[解析]　由题意知
函数f(x)在[2，＋∞)上递增?
即
由图可知所求概率
P＝＝.故选D.
二、多选题
18．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(　ABC　)
A．P(B)＝　　
B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0　　
D．P(A∪B)＝P(C)
[解析]　由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝，P(A)＝，P(C)＝，则P(A∪B)＝，故A、B，C正确；故D错误．故选ABC．
19．(2018·课标Ⅰ卷改编)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　ACD　)
A．p1＝p2　　
B．p1＝p3
C．p1的最大值为　　
D．p3的最小值为
[解析]　设AB＝c，AC＝b，则区域Ⅰ的面积S1＝bc；区域Ⅲ的面积S3＝π(b2＋c2)－bc，区域Ⅱ的面积S2＝π(b2＋c2)－S3＝bc＝S1，由几何概型可知p1＝p2，故A正确；又整个区域的面积S＝π(b2＋c2)＋bc，∴p1＝＝≤.(当且仅当b＝c时取等号)，即p1的最大值为，C正确；∴p3＝1－2p1≥(当且仅当b＝c时取等号)，即p3的最小值为，D正确；显然B错．故选ACD.
三、填空题
20．(2021·福建漳州调研)在半径为2的圆C内任取一点P，则以点P为中点的弦的弦长小于2的概率为　　.
[解析]　由题可知，当且仅当弦心距d>＝1，即|CP|>1时，以点P为中点的弦的弦长小于2，由几何概型的概率公式可得所求概率为＝.
21．(2021·河北衡水中学调研)有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为　　.
[解析]　到点O1，O2距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为P＝1－＝1－＝.
22．(2021·广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是　2－　.
[解析]　∵阴影部分面积为
12×(πR2－×)＝(2π－3)R2，
∴飞镖落在黑色部分的概率为＝2－，
故答案为2－.

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