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用样本估计总体
一、单选题
1．(2021·广东惠州调研)惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17.记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则(　　)
A．a>b>c　　
B．b>c>a
C．c>a>b　　
D．c>b>a
2．(2021·天津市十二区县重点中学联考)某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人，则第2,3,4组抽取的人数依次为(　　)
A．1,3,4　　
B．2,3,3
C．2,2,4　　
D．1,1,6
3．(2021·辽宁沈阳东北育才学校模拟)在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图)，则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是(　　)
A．210　　
B．205　　
C．200　　
D．195
4．(2021·辽宁六校协作体联考)为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如下：
得分
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
10
6
3
2
2
2
设得分的中位数me，众数m0，平均数x，下列关系正确的是(　　)
A．me＝m0＝x　　
B．me＝m0C．meD．m05．(2021·甘肃张掖诊断)如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为(　　)
A．11　　
B．11.5　　
C．12　　
D．12.5
6．(2021·安徽六校教育研究会素质测试)甲、乙两名同学在6次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这6次考试的平均成绩分别用甲，乙表示，则下列结论正确的是(　　)
甲
乙
7　55　3　20
789
2　61　61　2
A.甲>乙，且甲成绩比乙成绩稳定
B．甲>乙，且乙成绩比甲成绩稳定
C．甲<乙，且甲成绩比乙成绩稳定
D.甲<乙，且乙成绩比甲成绩稳定
7．(2021·广东汕头模拟)近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客也越来越多，如图是2013～2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是(　　)
①2013～2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加　②2013～2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小　③2016～2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A．①②③　　
B．②③　　
C．①②　　
D．③
8．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是(　　)
A．130　　
B．140　　
C．133　　
D．137
9．(2021·湖南长沙长郡、雅礼、一中、附中期中联考)已知数据x1，x2，…，x10,2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据(　　)
A．一样稳定　　
B．变得比较稳定
C．变得比较不稳定　　
D．稳定性不可以判断
二、多选题
10．(2021·江苏南京期末)某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是(　　)
男生
女生
7　83　5　6　7　92　32
16171819
1　3　4　5　5　71　1　2　3
A.女生身高的极差为12　　
B．男生身高的均值较大
C．女生身高的中位数为165　　
D．男生身高的方差较小
11．在某次高中学科知识竞赛中，对4
000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是(　　)
A．成绩在[70,80)的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1
000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
12．(2021·山东模拟)下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年(　　)
A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同
C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量
D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大
13．(2021·辽宁大连双基测试改编)已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断正确的是(　　)
A．乙班的理科综合成绩强于甲班
B．甲班的文科综合成绩强于乙班
C．两班的英语平均分分差最大
D．两班的语文平均分分差最小
14．(2021·济南模拟改编)某老师任教高三A班、高三B班两个班，两个班各有50个学生，如图反映的是两个班在某学期5次数学测试中的班级平均分，根据图表，下列结论正确的是(　　)
A．A班的数学成绩平均水平高于B班
B．B班的数学成绩没有A班稳定
C．下次考试B班的数学成绩平均分要高于A班
D．在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为98分
三、填空题
15．(2021·四川达州诊断)2020年4月16日，某州所有61个社区都有新冠病毒感染确诊病例，第二天该州新增这种病例183例．这两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数，平均数，众数，方差和极差5个特征数中，一定变化的是
(写出所有的结果)．
16．(2021·江西南昌一中、十中、南铁一中联考)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，可见部分如图所示，则全班人数为
人；频率分布直方图中[80,90)上矩形的高为
.
四、解答题
17．(2021·四川省联合诊断)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：(单位：吨)，用水不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全部市民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若该市政府期望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
18．(2021·青海西宁六校期末)某次有1
000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．
(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；
区间
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
人数
50
a
350
300
b
(2)现在要用分层抽样的方法从这1
000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数\”为X，求X的分布列与数学期望．
19．(2021·安徽马鞍山质检)某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表(满分为100分)．现从400份评分表中，随机抽取40份(其中男、女使用者的评分表各20份)作为样本，经统计得到如下的茎叶图：
记该样本的中位数为M，按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型：评分不小于M的称为“满意型\”，评分不大于M－10的称为“不满意型\”，其余的都称为“须改进型\”．
(1)求M的值，并估计这400名使用者中“须改进型\”使用者的个数；
(2)为了改进服务，公司对“不满意型\”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型\”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用者人数为X，求X的分布列和数学期望．
20．(2021·广东深圳期末)随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数；(结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字)
(3)以频率估计概率，现从所有投资者中随机抽取4人，记年龄在[20,40)的人数为X，求X的分布列以及数学期望E(X)．
参考答案：
一、单选题
1．(2021·广东惠州调研)惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17.记这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则(　D　)
A．a>b>c　　
B．b>c>a
C．c>a>b　　
D．c>b>a
[解析]　平均数a＝＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，则c>b>a，故选D.
2．(2021·天津市十二区县重点中学联考)某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人，则第2,3,4组抽取的人数依次为(　C　)
A．1,3,4　　
B．2,3,3
C．2,2,4　　
D．1,1,6
[解析]　由图可知第2,3,4组的频率之比为0.15?0.15?0.3，所以频数之比为1?1?2，现采用分层抽样的方法，从第2,3,4组中按分层抽样抽取8人，所以第2,3,4组抽取的人数依次为2,2,4.故选
C．
3．(2021·辽宁沈阳东北育才学校模拟)在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图)，则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是(　C　)
A．210　　
B．205　　
C．200　　
D．195
[解析]　由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为(0.012＋0.018＋0.030)×10＝0.6，
所以低于100分的人数为500×0.6＝300，
则不低于100分的人数为500－300＝200，所以选C．
4．(2021·辽宁六校协作体联考)为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如下：
得分
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
10
6
3
2
2
2
设得分的中位数me，众数m0，平均数x，下列关系正确的是(　D　)
A．me＝m0＝x　　
B．me＝m0C．meD．m0[解析]　由图表可知me＝＝5.5，m0＝5，∴m05．(2021·甘肃张掖诊断)如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为(　C　)
A．11　　
B．11.5　　
C．12　　
D．12.5
[解析]　由题意，0.06×5＋x×0.1＝0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12，故选
C．
6．(2021·安徽六校教育研究会素质测试)甲、乙两名同学在6次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这6次考试的平均成绩分别用甲，乙表示，则下列结论正确的是(　C　)
甲
乙
7　55　3　20
789
2　61　61　2
A.甲>乙，且甲成绩比乙成绩稳定
B．甲>乙，且乙成绩比甲成绩稳定
C．甲<乙，且甲成绩比乙成绩稳定
D.甲<乙，且乙成绩比甲成绩稳定
[解析]　甲＝80＋＝82，
乙＝80＋＝83，
所以甲<乙，
因为甲的数据比较集中，所以成绩比较稳定．故选
C．
7．(2021·广东汕头模拟)近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客也越来越多，如图是2013～2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是(　A　)
①2013～2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加　②2013～2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小　③2016～2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A．①②③　　
B．②③　　
C．①②　　
D．③
[解析]　由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；根据图形在2016～2018年这3年中，折线的斜率基本相同，故每年的增幅基本持平，故③正确；故选A.
8．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是(　C　)
A．130　　
B．140　　
C．133　　
D．137
[解析]　由题意可知，分数在140～150分的有10人，在130～140分的有15人，因为优秀的人数为20人，故取130～140分数段的后10人，故＝，得a≈133，a的估计值为133.
9．(2021·湖南长沙长郡、雅礼、一中、附中期中联考)已知数据x1，x2，…，x10,2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据(　C　)
A．一样稳定　　
B．变得比较稳定
C．变得比较不稳定　　
D．稳定性不可以判断
[解析]　由题可得：＝2?x1＋x2…＋x10＝20?平均值为2，由＝1，＝1.1>1，所以变得不稳定．故选
C．
二、多选题
10．(2021·江苏南京期末)某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是(　AB　)
男生
女生
7　83　5　6　7　92　32
16171819
1　3　4　5　5　71　1　2　3
A.女生身高的极差为12　　
B．男生身高的均值较大
C．女生身高的中位数为165　　
D．男生身高的方差较小
[解析]　女生身高的极差为173－161＝12，A正确；B显然正确，D显然错误；女生身高中位数＝166，C错，故选AB.
11．在某次高中学科知识竞赛中，对4
000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是(　ABC　)
A．成绩在[70,80)的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1
000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
[解析]　由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在[40,60)的频率为0.01×10＋0.015×10＝0.25，因此，不及格的人数为4
000×0.25＝1
000，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，在[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．故选ABC．
12．(2021·山东模拟)下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年(　AD　)
A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势
B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同
C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量
D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大
[解析]　由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项A正确；图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项B错误，选项D正确；又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项C错误；故选AD.
13．(2021·辽宁大连双基测试改编)已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断正确的是(　ABC　)
A．乙班的理科综合成绩强于甲班
B．甲班的文科综合成绩强于乙班
C．两班的英语平均分分差最大
D．两班的语文平均分分差最小
[解析]　由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：乙班的理科综合成绩强于甲班，即选项A正确；甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项B正确；两班的英语平均分分差最大，即选项C正确；两班地理平均分分差最小，即选项D错误．故选A、B、C．
14．(2021·济南模拟改编)某老师任教高三A班、高三B班两个班，两个班各有50个学生，如图反映的是两个班在某学期5次数学测试中的班级平均分，根据图表，下列结论正确的是(　ABD　)
A．A班的数学成绩平均水平高于B班
B．B班的数学成绩没有A班稳定
C．下次考试B班的数学成绩平均分要高于A班
D．在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为98分
[解析]　A班的数学成绩平均值为100＋＝101(分)，B班的数学成绩平均值为100＋＝99.2(分)，即A正确；A班平均成绩的方差为×(0＋9＋0＋1＋16)＝5.2，B班平均成绩的方差为×(4.22＋0.64＋3.22＋5.82＋0.64)＝12.56，即B正确；在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为＝98(分)，即D正确；无法根据图表知下次考试成绩的情况，C不正确，故选A、B、D.
三、填空题
15．(2021·四川达州诊断)2020年4月16日，某州所有61个社区都有新冠病毒感染确诊病例，第二天该州新增这种病例183例．这两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数，平均数，众数，方差和极差5个特征数中，一定变化的是
平均数
(写出所有的结果)．
[解析]　中位数表示将一组数据有序排列，处于中间位置的那个数或两个数的平均数，该州新增这种病例183例，但各社区的数据变化不明确，所以中位数不一定发生变化；平均数是一组数据中所有数据之和除以数据个数，该州新增这种病例183例，数据之和增加，但数据个数依然为61，所有平均数一定发生变化；方差是各个数据与其平均数的差的平方和的平均数，该州新增这种病例183例，但各社区的数据变化不明确，所以方差不一定发生变化；故答案为：平均数．
16．(2021·江西南昌一中、十中、南铁一中联考)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，可见部分如图所示，则全班人数为
25
人；频率分布直方图中[80,90)上矩形的高为
0.016
.
[解析]　(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08，
全班人数为＝25(人)
(2)分数在[80,90]的频数25－21＝4，
∴频率直方图中[80,90]的矩形的高为＝0.016.
四、解答题
17．(2021·四川省联合诊断)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：(单位：吨)，用水不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全部市民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若该市政府期望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
[解析]　(1)由直方图，可得
(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.
(2)因为前6组频率之和为
(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85.
而前5组的频率之和为
(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85.
所以2.5≤x<3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准．
18．(2021·青海西宁六校期末)某次有1
000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．
(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；
区间
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
人数
50
a
350
300
b
(2)现在要用分层抽样的方法从这1
000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数\”为X，求X的分布列与数学期望．
[解析]　(1)依题意，
a＝0.04×5×1
000＝200，b＝0.02×5×1
000＝100.
(2)设其中成绩为优秀的学生人数为x，则
＝，解得：x＝30，
即其中成绩为优秀的学生人数为30名．
(3)依题意，X的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的数学期望为
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
19．(2021·安徽马鞍山质检)某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表(满分为100分)．现从400份评分表中，随机抽取40份(其中男、女使用者的评分表各20份)作为样本，经统计得到如下的茎叶图：
记该样本的中位数为M，按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型：评分不小于M的称为“满意型\”，评分不大于M－10的称为“不满意型\”，其余的都称为“须改进型\”．
(1)求M的值，并估计这400名使用者中“须改进型\”使用者的个数；
(2)为了改进服务，公司对“不满意型\”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型\”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用者人数为X，求X的分布列和数学期望．
[解析]　(1)中位数等于＝81，所以M＝81,40个样本数据中共有13人是“须改进型\”，从而可得400名使用者中约×400＝130人是“须改进型\”使用者．
(2)不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人，
故X的所有可能的取值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的数学期望
E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
20．(2021·广东深圳期末)随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数；(结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字)
(3)以频率估计概率，现从所有投资者中随机抽取4人，记年龄在[20,40)的人数为X，求X的分布列以及数学期望E(X)．
[解析]　(1)依题意，0.07＋0.18＋10a＋0.25＋0.2＝1，
解得a＝0.03.
(2)平均数为25×0.07＋35×0.18＋45×0.3＋55×0.25＋65×0.2＝48.30.
中位数为40＋≈48.33.
(3)依题意，X～B，
故P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C3＝，
P(X＝2)＝C22＝，
P(X＝3)＝C3＝，
P(X＝4)＝4＝.
X
0
1
2
3
4
P
故E(X)＝4×＝1.

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