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n次独立重复试验与二项分布
一、单选题
1．(2021·启东模拟)甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为(　　)
A．　　
B．1　　
C．　　
D．
2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么第4次取球之后停止的概率为(　　)
A．　　
B．3×
C．×　　
D．C×3×
3．(2020·云南玉溪质检)若某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手3次射击中恰有1次击中目标的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
4．(2021·山东日照联考)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
5．(2021·辽宁丹东期末)甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲、乙两队水平相当，则最后甲队以3?1获胜的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
6．(2021·黑龙江哈尔滨模拟)从集合{－3，－2，－1,1,2,3,4}中随机选取一个数记为m，从集合{－2，－1,2,3,4}中随机选取一个数记为n，则在方程＋＝1表示双曲线的条件下，方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
7．(2021·丹东模拟)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学方差是(　　)
A．　　
B．　　
C．1　　
D．
8．(2021·浙江温州九校第一次联考)抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球(2个红色，3个黄色，其余为白色)，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖．有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是(　　)
A．6,0.4　　
B．18,14.4
C．30,10　　
D．30,20
9．(2020·河北“五个一”名校联盟二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
10．(2020·天津和平区期末)某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的，，，现有3名同学独立地从中任取一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
11．(2020·重庆巴蜀中学适应性考试)如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率均为，则从A到B这部分电源能通电的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
12．(2021·黑龙江哈尔滨六中考前押题)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
二、多选题
13．(2021·苏鲁名校联考)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　　)
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
14．(2021·山东六地市联考)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
三、填空题
15．(2021·河南郑州模拟)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为　
　.
16．(2021·厦门质检)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3?1的比分获胜的概率为　
　.
17．(2020·辽宁六校协作体期中)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
　.
四、解答题
18．(2021·云南大理统测)三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是，乙、丙两人同时投进的概率是，甲、丙两人同时投不进的概率是，且三人各自能否投进相互独立．
(1)求乙、丙两人各自投进的概率；
(2)设ξ表示三人中最终投进的人数，求ξ的分布列和数学期望．
19．(2021·陕西汉中质检)清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷如下表：
题
A
B
C
答卷数
180
300
120
(1)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出的多少份？
(2)测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在(1)问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望E(X)．
20．(2020·全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
21．(2021·辽宁沈阳模拟)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．
(1)第一小组做了四次实验，求该小组恰有两次失败的概率；
(2)第二小组做了四次实验，设实验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；
(3)第三小组进行实验，直到成功四次为止，已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．
22．(2021·新高考八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
【分析】　(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；
(2)首先确定X可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可．
参考答案：
一、单选题
1．(2021·启东模拟)甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为(　C　)
A．　　
B．1　　
C．　　
D．
[解析]　1－×＝，故选
C．
2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么第4次取球之后停止的概率为(　B　)
A．　　
B．3×
C．×　　
D．C×3×
[解析]　由题意知，第4次取球后停止是当且仅当前3次取的球是黑球，第4次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.
3．(2020·云南玉溪质检)若某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手3次射击中恰有1次击中目标的概率为(　C　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　这名射手3次射击中恰有1次击中目标，则另外两次没有击中，所以概率为C··2＝.故选
C．
4．(2021·山东日照联考)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品为事件A1，仅第二个实习生加工一等品为事件A2两种情况，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝×＋×＝，故选B.
5．(2021·辽宁丹东期末)甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲、乙两队水平相当，则最后甲队以3?1获胜的概率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　所求概率P＝C2××＝.
6．(2021·黑龙江哈尔滨模拟)从集合{－3，－2，－1,1,2,3,4}中随机选取一个数记为m，从集合{－2，－1,2,3,4}中随机选取一个数记为n，则在方程＋＝1表示双曲线的条件下，方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设事件A为“方程＋＝1表示双曲线”，事件B为“方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线”，由题意，P(A)＝＝，P(AB)＝＝，则所求的概率为P(B|A)＝＝.故选A.
7．(2021·丹东模拟)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学方差是(　B　)
A．　　
B．　　
C．1　　
D．
[解析]　同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现两枚正面向上的概率P＝×＝，∴2枚硬币均正面向上的次数X～B，∴X的方差D(X)＝4××＝，故选B.
8．(2021·浙江温州九校第一次联考)抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球(2个红色，3个黄色，其余为白色)，抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖．有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是(　D　)
A．6,0.4　　
B．18,14.4
C．30,10　　
D．30,20
[解析]　由题意中奖的概率为＝，因此每个人是否中奖服从二项分布B，因此90人中中奖人数的期望值为90×＝30，方差为90××＝
20.
9．(2020·河北“五个一”名校联盟二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　C　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，
则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，
则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.
10．(2020·天津和平区期末)某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的，，，现有3名同学独立地从中任取一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为(　C　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　记“选A、B、C三个类型的题目”分别为事件A、B、C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，则所求概率为AP(ABC)＝A×××＝，故选
C．
11．(2020·重庆巴蜀中学适应性考试)如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率均为，则从A到B这部分电源能通电的概率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　从A到B电路不能正常工作的概率为
P1＝×＝×＝，
所以从A到B电路能正常工作的概率为
p＝1－P1＝1－＝.故选A.
12．(2021·黑龙江哈尔滨六中考前押题)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　记“甲获得冠军”为事件A，“比赛进行了三局”为事件B，
则P(A)＝×＋××＋××＝，
P(AB)＝××＋××＝，
∴P(B|A)＝＝，故选B.
二、多选题
13．(2021·苏鲁名校联考)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是(　ABC　)
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
[解析]　2个球都是红球的概率P1＝×＝，A正确；2个球中恰有一个红球的概率，P2＝×＋×＝，B正确；至少有一个红球的概率P3＝1－×＝，C正确；两个球不都是红球的概率P4＝1－×＝，D错误；故选ABC．
14．(2021·山东六地市联考)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　BD　)
A．P(B)＝
B．P(B|A1)＝
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
[解析]　由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝＝＝，故B正确；P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝，故A，C不正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确．故选BD.
三、填空题
15．(2021·河南郑州模拟)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为　　.
[解析]　甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过，故所求概率为(1－)2×＝.
16．(2021·厦门质检)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3?1的比分获胜的概率为　　.
[解析]　第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C2××＝.
17．(2020·辽宁六校协作体期中)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是　　.
[解析]　记事件A为“一天的空气质量为优良”，
事件B为“第二天的空气质量也为优良”，
则P(AB)＝，P(A)＝，
根据条件概率公式可得：P(B|A)＝＝＝.
四、解答题
18．(2021·云南大理统测)三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是，乙、丙两人同时投进的概率是，甲、丙两人同时投不进的概率是，且三人各自能否投进相互独立．
(1)求乙、丙两人各自投进的概率；
(2)设ξ表示三人中最终投进的人数，求ξ的分布列和数学期望．
[解析]　(1)记甲、乙、丙各自投进的事件分别为A1，A2，A3，
由已知A1，A2，A3相互独立，且满足
解得P(A2)＝，P(A3)＝，
所以乙、丙各自投进的概率分别为，.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝，
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
19．(2021·陕西汉中质检)清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷如下表：
题
A
B
C
答卷数
180
300
120
(1)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出的多少份？
(2)测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在(1)问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望E(X)．
[解析]　(1)由题意可得：A，B，C答卷数的比为180?300?120，即为3?5?2，故应分别从B，C题的答卷中抽出5份，2份．
(2)由题意可知，A题答案得优的概率为，显然被抽出的A题的答案中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3，且X～B，
P(X＝0)＝C03＝；
P(X＝1)＝C12＝；
P(X＝2)＝C21＝；
P(X＝3)＝C30＝.
随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
另解：X～B，∴E(X)＝3×＝1.
20．(2020·全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
[解析]　(1)记事件M：甲连胜四场，
则P(M)＝4＝.
(2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×4＝，
所以，需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P′＝.
(3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，
记事件M：甲赢，记事件N：丙赢，
则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、
BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，
所以，甲赢的概率为P(M)＝4＋7×5＝.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为P(N)＝1－2×＝.
21．(2021·辽宁沈阳模拟)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．
(1)第一小组做了四次实验，求该小组恰有两次失败的概率；
(2)第二小组做了四次实验，设实验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；
(3)第三小组进行实验，直到成功四次为止，已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．
[解析]　(1)该小组恰有两次失败的概率
P＝C24－2＝＝.
(2)由题可知X的取值集合为{0,2,4}，
则P(X＝0)＝C24－2＝＝，
P(X＝2)＝C14－1＋C34－3＝＝，
P(X＝4)＝C4＋C4＝＝
故其分布列为
X
0
2
4
P
E(X)＝0×＋2×＋4×＝，
即所求数学期望为.
(3)由题可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下共有C＝20个基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有A＝12个基本事件；
从而由古典概型可得所求概率为P＝＝.
22．(2021·新高考八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
【分析】　(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；
(2)首先确定X可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可．
[解析]　(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，
由题意可知：P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3.
部件1,2中至少有1个需要调整的概率为：
1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝1－0.72＝0.28.
(2)由题意可知X的取值为0,1,2,3.
且：P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，
P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)][1－P(B)]P(C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，
P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋[1－P(A)]P(C)P(B)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092.
P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P(X)
0.504
0.398
0.092
0.006
其数学期望：
E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6.

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