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指数与指数函数
一、单选题
1．化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2xy　　
B．2xy
C．－2xy　　
D．－2xy
2．(2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是(　　)
A．(1,6)　　
B．(1,5)　　
C．(0,5)　　
D．(5,0)
3．(2021·德州一模)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aB．cC．cD．b4．(2021·山东菏泽联考)函数y＝的值域为(　　)
A.　　
B．
C.　　
D．(0,2]
5．(2021·辽宁模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a＋b的图象大致为(　　)
6．(2021·许昌四校联考)设a，b满足0A．aaB．baC．aaD．bb7.已知x＋－y>－x＋y，则下列关系式正确的是(　　)
A．xB．x>y
C．x<－y　　
D．x>－y
8．(2021·陕西宝鸡月考)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞)　　
B．(0,1)
C．(1，＋∞)　　
D．
9．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)　　
B．(－1,0)
C．(0,1)　　
D．(1，＋∞)
二、多选题
10．(2021·河北保定调研改编)函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是(　　)
A．4　　
B．3　　
C．2　　
D．1
11．已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是(　　)
A．a2＋a－2＝7　　
B．a3＋a－3＝18
C．a＋a－＝±　　
D．a＋＝2　　　
12．(2021·安徽江淮名校联考改编)已知函数f(x)＝－，则f(x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．在R上是减函数
D．在(0，＋∞)上是增函数
三、填空题
13．(2021·保定模拟)函数f(x)＝的定义域是
.
14．(2021·日喀则模拟)函数f(x)＝ax(0　.
15．若函数y＝(a2－1)x在R上为增函数，则实数a的取值范围是　
　.
16．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为
，f(－4)与f(1)的大小关系是
.
四、解答题
17．已知函数f(x)＝|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
18．(2021·吉林汪清第六中学月考)已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0，且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)．
(1)求实数k，a的值；
(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
19．(2021·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
一、单选题
1．化简(x<0，y<0)得(　D　)
A．2xy　　
B．2xy
C．－2xy　　
D．－2xy
2．(2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是(　A　)
A．(1,6)　　
B．(1,5)　　
C．(0,5)　　
D．(5,0)
[解析]　当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1,6)．故选A.
3．(2021·德州一模)已知a＝，b＝，c＝，则(　D　)
A．aB．cC．cD．b[解析]　因为y＝x在R上为减函数，>，所以b，所以a>c，所以b4．(2021·山东菏泽联考)函数y＝的值域为(　A　)
A.　　
B．
C.　　
D．(0,2]
[解析]　设t＝2x－x2，t≤1，所以y＝t，t≤1，所以y∈，故选A.
5．(2021·辽宁模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a＋b的图象大致为(　A　)
[解析]　由二次方程的解法易得(x－a)(x－b)＝0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f(x)＝(x－a)(x－b)的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f(x)＝(x－a)(x－b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(－∞，－1)与(0,1)上，又由a>b，可得b<－1，06．(2021·许昌四校联考)设a，b满足0A．aaB．baC．aaD．bb[解析]　指数函数y＝ax(0ab，A错误；指数函数y＝bx(0bb，B错误；幂函数y＝xa(0ab，D错误.
7.已知x＋－y>－x＋y，则下列关系式正确的是(　A　)
A．xB．x>y
C．x<－y　　
D．x>－y
[解析]　不等式可化为x－－x>y－－y，又f(x)＝x－－x在R上单调递减，故必有x8．(2021·陕西宝鸡月考)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　D　)
A．(0,1)∪(1，＋∞)　　
B．(0,1)
C．(1，＋∞)　　
D．
[解析]　方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根可转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a的图象有两个交点．①当0②当a>1时，如图2，而y＝2a>1不符合要求．
综上，09．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　C　)
A．(－∞，－1)　　
B．(－1,0)
C．(0,1)　　
D．(1，＋∞)
[解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)>3，即为>3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0∴x的取值范围为(0,1)．
二、多选题
10．(2021·河北保定调研改编)函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是(　ACD　)
A．4　　
B．3　　
C．2　　
D．1
[解析]　由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3，故选A、C、D.
11．已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是(　ABD　)
A．a2＋a－2＝7　　
B．a3＋a－3＝18
C．a＋a－＝±　　
D．a＋＝2　　　
[解析]　在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以2＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．
12．(2021·安徽江淮名校联考改编)已知函数f(x)＝－，则f(x)是(　AC　)
A．奇函数
B．偶函数
C．在R上是减函数
D．在(0，＋∞)上是增函数
[解析]　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－＝－，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数，函数f(x)＝－显然是减函数．故选A、C.
三、填空题
13．(2021·保定模拟)函数f(x)＝的定义域是
(－∞，－1]
.
[解析]　若使函数f(x)＝的有意义，自变量x须满足：x－2≥0，
解得：x∈(－∞，－1]，
故函数f(x)＝的定义域为：(－∞，－1]．
14．(2021·日喀则模拟)函数f(x)＝ax(0[解析]　因为0因为函数f(x)＝ax(0解得a＝，或a＝0(舍)．
15．若函数y＝(a2－1)x在R上为增函数，则实数a的取值范围是　a>或a<－　.
[解析]　由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为增函数，得a2－1>1，解得a>或a<－.
16．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为
(1，＋∞)
，f(－4)与f(1)的大小关系是
f(－4)>f(1)
.
[解析]　因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．
四、解答题
17．已知函数f(x)＝|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
[解析]　(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，
不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝t是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，
所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，
即g(0)＝－2，从而a＝2.
18．(2021·吉林汪清第六中学月考)已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0，且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)．
(1)求实数k，a的值；
(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
[解析]　(1)由已知得解得.
(2)g(x)＝，因此
g(－x)＝＝＝＝－g(x)，
所以g(x)＝为奇函数．
19．(2021·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)当x<0时，f(x)＝0，此时f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·(2x)2－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，因为2x>0，所以x＝1.
(2)当t∈[1,2]时，不等式为2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为t∈[1,2]，所以22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)．
而t∈[1,2]时，－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．

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