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正态分布
一、单选题
1．(2021·江苏扬州调研)已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝(　　)
A．0.2　　
B．0.4　　
C．0.6　　
D．0.8
2．(2021·九江一模)已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(XA．6　　
B．7　　
C．8　　
D．9
3．(2020·河北唐山一模)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(　　)
A．6　　
B．5　　
C．4　　
D．3
4．(2021·湖南益阳调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<4)＝(　　)
A．0.2　　
B．0.4　　
C．0.6　　
D．0.8
5．(2021·重庆模拟)若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682
6，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954
4，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997
4.已知某校1
000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(　　)
A．159　　
B．46　　
C．23　　
D．13
6．(2020·浙江宁波期末)已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
a
b
若E(X)＝，则D(X)的值是(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
7．(2021·甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
8．(2020·福建模拟)已知随机变量X～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(　　)
附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.682
6，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954
4.
A．0.135
9　　
B．0.658
7　　
C．0.728
2　　
D．0.864
1
9．(2021·河南洛阳统测)若某单位员工每月网购消费金额(单位：元)近似地服从正态分布N(1
000，5002)，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2
000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为(　　)
参考数据：若随机变量X服从正态分布则N(μ，σ2)，则P(μ－σ7，P(μ－2σ5，P(μ－3σ3.
A．2.718　　
B．6.827　　
C．8.186　　
D．9.545
二、多选题
10．(2021·山东青岛模拟)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(　　)
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ6.
A．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30,280)的概率是0.682
6，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413
11．(2021·湖北荆州中学调研)已知某校高三年级有1
000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X服从正态分布N(180,900)．
(参考数据：①P(μ－σ7；
②P(μ－2σ5；
③P(μ－3σ3.则(　　)
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．P(2408
三、填空题
12．(2020·吉林长春二模)已知随机变量X服从正态分布N(m，σ2)，若P(x≤－3)＝P(x≥4)，则m＝　
　.
13．(2021·苏鲁名校联考)设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝
.
14．(2021·吉林一中模拟)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682
6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954
4.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158
7，则σ＝
.
15．(2020·北京朝阳期末)春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D(X)＝2.1，P(X＝3).
16．(2021·新高考八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954
5，至少要测量
次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954
5)．
四、解答题
17．(2021·重庆巴蜀中学适应性考试)新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1～14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10
000人，答题成绩统计如图所示．
(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩和成绩的方差s2，那么这10
000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)
(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10
000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，＝14.31；②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4；③0.841
34＝0.501,
0.841
33＝0.595.
18．(2021·广东六校联考)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1
000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
19．(2021·云南名校适应性考试)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
20．(2021·辽宁大连模拟)某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．
(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线，且使得途中发生堵车事件的概率最小；
(2)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．
21．(2021·河南洛阳尖子生联考)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝≈11.95；
②若Z～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ6，
P(μ－2σ4.
参考答案：
一、单选题
1．(2021·江苏扬州调研)已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝(　A　)
A．0.2　　
B．0.4　　
C．0.6　　
D．0.8
[解析]　由X～N(1，σ2)，正态曲线关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2；故选A.
2．(2021·九江一模)已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(XA．6　　
B．7　　
C．8　　
D．9
[解析]　∵＝5，∴k＝7，故选B.
3．(2020·河北唐山一模)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(　C　)
A．6　　
B．5　　
C．4　　
D．3
[解析]　由题意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，
∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝＝4.选C．
4．(2021·湖南益阳调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<4)＝(　D　)
A．0.2　　
B．0.4　　
C．0.6　　
D．0.8
[解析]　由正态曲线的对称性知
P(－2<ξ<4)＝2P(1<ξ<4)＝2＝2＝0.8.故选D.
5．(2021·重庆模拟)若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.682
6，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954
4，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997
4.已知某校1
000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(　C　)
A．159　　
B．46　　
C．23　　
D．13
[解析]　由题意，μ＝110，σ＝10，
故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ)
＝＝0.022
8.
∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1
000×0.022
8＝22.8≈23.故选
C．
6．(2020·浙江宁波期末)已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
a
b
若E(X)＝，则D(X)的值是(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由P1＋P2＋P3＝1，得a＋b＝.①
由E(X)＝＋2a＋3b＝，②
得2a＋3b＝，联立①②，
得a＝，b＝.
所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2
＝1×＋4×＋9×－2＝.故选A.
7．(2021·甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由题意知X～B(5，)，
∴＝3，解得m＝2，
∴X～B(5，)，∴D(X)＝5××＝.
8．(2020·福建模拟)已知随机变量X～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(　D　)
附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.682
6，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.954
4.
A．0.135
9　　
B．0.658
7　　
C．0.728
2　　
D．0.864
1
[解析]　由题意P(0＜X≤1)＝×(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
在正方形OABC内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为P＝＝0.864
1.
故选D.
9．(2021·河南洛阳统测)若某单位员工每月网购消费金额(单位：元)近似地服从正态分布N(1
000，5002)，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2
000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为(　C　)
参考数据：若随机变量X服从正态分布则N(μ，σ2)，则P(μ－σ7，P(μ－2σ5，P(μ－3σ3.
A．2.718　　
B．6.827　　
C．8.186　　
D．9.545
[解析]　P(1
000－500000＋2×500)
＝P(1
000－2×500000＋2×500)－P(1
000－2×500000－500)
＝P(1
000－2×500000＋2×500)
－
＝＝0.818
6，
ξ的数学期望为0.8186×10＝8.186，
故选
C．
二、多选题
10．(2021·山东青岛模拟)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(　ABD　)
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ6.
A．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30,280)的概率是0.682
6，则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413
[解析]　对于选项A：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正确，C不正确；对于选项D：P(2806×≈0.341
3，正确．故选ABD.
11．(2021·湖北荆州中学调研)已知某校高三年级有1
000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X服从正态分布N(180,900)．
(参考数据：①P(μ－σ7；
②P(μ－2σ5；
③P(μ－3σ3.则(　BC　)
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．P(2408
[解析]　这次考试标准分超过180分的约有500人，A错；∵P(903，∴标准分在(90,270)内的人数约为0.997
3×1
000≈997，∴B正确．甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C2×＝，∴C正确；∵P(2404，∴D错误．故选BC．
三、填空题
12．(2020·吉林长春二模)已知随机变量X服从正态分布N(m，σ2)，若P(x≤－3)＝P(x≥4)，则m＝　　.
[解析]　由正态分布的性质可知，m＝＝.
13．(2021·苏鲁名校联考)设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<2)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝
0.6
.
[解析]　由题意知P(1<ξ<2)＝P(ξ<2)－0.5＝0.3，
∴P(0<ξ<2)＝2P(1<ξ<2)＝0.6.
14．(2021·吉林一中模拟)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682
6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954
4.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158
7，则σ＝
2
.
[解析]　∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682
6，∴P(ξ≥μ＋σ)＝×(1－0.682
6)＝0.158
7，∵ξ～N
(1，σ2)，P(ξ≥1＋σ)＝0.158
7＝P(ξ≥3)，∴1＋σ＝3，即σ＝2.
15．(2020·北京朝阳期末)春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D(X)＝2.1，P(X＝3)0.7
.
[解析]　由题意可知：X～B(10，p)，
且，
即，∴p＝0.7.
16．(2021·新高考八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954
5，至少要测量
32
次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954
5)．
[解析]　根据正态曲线的对称性知：
要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954
5，
则(μ－2σ，μ＋2σ)?(－0.5,0.5)且μ＝0，
σ＝，所以0.5≥2?n≥32.故答案为：32.
四、解答题
17．(2021·重庆巴蜀中学适应性考试)新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1～14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10
000人，答题成绩统计如图所示．
(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩和成绩的方差s2，那么这10
000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)
(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10
000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)
附：①s2＝204.75，＝14.31；②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4；③0.841
34＝0.501,
0.841
33＝0.595.
[解析]　(1)由题意知：
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝
70.5，
因为z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，
σ2＝
D(ξ)＝204.75，σ＝14.31，
∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，
而P(μ－σ6，
∴P(z≥84.81)＝＝0.158
7，
∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为
0．158
7×10
000＝1
587人．
(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为
1－0.158
7＝0.841
3，
而ξ～B(4,0.841
3)，
∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C·0.841
34＝1－0.501＝0.499.
18．(2021·广东六校联考)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1
000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列；
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
[解析]　(1)由题意，X的所有可能取值为0,500,1
000.
则P(X＝0)＝＋××＝，
P(X＝500)＝×＝，
P(X＝1
000)＝××＝，
∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1
000
P
(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)＝500×＋1
000×＝520，
若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B，则E(ξ)＝3×＝，
抽奖所获奖金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，
故选持方案甲较划算．
19．(2021·云南名校适应性考试)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
[解析]　(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝.
∴应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.
P(η＝0)＝C3＝；P(η＝1)＝C1·2＝；
P(η＝2)＝C2＝；
P(η＝3)＝C3＝.
应聘者乙正确完成题数η的分布列为
η
0
1
2
3
P
E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(η)＝3××＝.所以D(ξ)20．(2021·辽宁大连模拟)某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．
(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线，且使得途中发生堵车事件的概率最小；
(2)若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．
[解析]　(1)∵各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，
∴路段ACDB中遇到堵车的概率P1＝1－××＝.
同理线路ACFB中遇到堵车的概率P2＝；
路线AEFB中遇到堵车的概率P3＝.
所以选择路线ACFB，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
(2)路线ACFB中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝3)＝××＝，
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
21．(2021·河南洛阳尖子生联考)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝≈11.95；
②若Z～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ6，
P(μ－2σ4.
[解析]　(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：
＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，
∴P(14.55＝P(26.5－11.956，
∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682
6.
②根据题意得X～B，
P(X＝0)＝C4＝；
P(X＝1)＝C4＝；
P(X＝2)＝C4＝；
P(X＝3)＝C4＝；
P(X＝4)＝C4＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝4×＝2.

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