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2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.3确定圆的条件》
能力达标专题突破训练（附答案）
1．已知⊙O的直径是10，P点到圆心O的距离为8，则P点与⊙O的位置关系是（　　）
A．在圆外 B．在圆心 C．在圆上 D．无法确定
2．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）
A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm
C．6.5cm D．5cm或13cm
3．若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为（　　）
A．35° B．55° C．60° D．70°
5．△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为（　　）cm．
A．5 B．6 C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．3
7．在同一平面内，⊙O的直径为2cm，点P到圆心O的距离是3cm，则点P与⊙O的位置关系是　 　．
8．直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，则其外接圆半径长为　 　cm．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为　 　．
10．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　 　．
11．如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点 D．
（1）当OP⊥AB时，求OP；
（2）当∠AOP＝30°时，求AP．
12．如图，在直角坐标系中，OA＝8，OB＝6，∠ABO的角平分线交x轴于点C．
（1）求△AOB的外接圆的半径；
（2）求点C的坐标．
13．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：＝，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝2．
（1）求弦AD的长；
（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ADB＝90°，过A，B，D三点的圆交BC边于点E．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）若BC＝2CD，求证：∠BCD＝2∠ABD．
15．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示）
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上的一点，过A，B，D三点的⊙O交AC于点E，作直径AF，连接FD并延长交AC于点G，且FG∥BE，连接BE，BF．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若BD＝2CD，AC＝5，求⊙O的直径长．
17．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，弦CD平分∠ADB．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若BD＝3，AD＝5，过C点作BD的平行线交DA的延长线于点E，试求△CAE面积．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BD与AC交于E点，AD⊥BD，过D作DF⊥AB于F，交AC于G，FD与BC的延长线相交于点H．
（1）求证：点G是△ADE的外心；
（2）若FG＝2，DH＝5，求EG的长．
19．△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝40°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）D为的中点，过B作BE∥AD交⊙O于点E，求∠CAE的度数．
20．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA、PB、PC．
（1）如图1，若∠BPC＝60°，求∠ACP；
（2）如图2，若BC＝48，AB＝40，求AP的长．
参考答案
1．解：∵点P到圆心的距离d＝8，半径r＝5，d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是点P⊙O外，
故选：A．
2．解：设此点为P点，圆为⊙O，最大距离为PB，最小距离为PA，则：
∵此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离
∴有两种情况：
当此点在圆内时，如图所示，
半径OB＝（PA+PB）÷2＝6.5cm；
当此点在圆外时，如图所示，
半径OB＝（PB﹣PA）÷2＝2.5cm；
故圆的半径为2.5cm或6.5cm
故选：A．
3．解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．
故选：B．
4．解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝∠AOB＝55°．
故选：B．
5．解：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝6，△ABC的外接圆的圆心O在AD上，
连接OB，
由勾股定理得，AD＝＝8，
设圆形纸片的半径为rcm，
则OD＝8﹣r，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，即r2＝（8﹣r）2+62，
解得，r＝，
故选：D．
6．解：如图，
∵∠C＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，而AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝15．
又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，
∴其外接圆的半径为7.5．
故选：B．
7．解：∵⊙O的直径为2cm，
∴半径r＝1cm，
∵d＝3，且d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外，
故答案为：点P在⊙O外．
8．解：由勾股定理得，三角形的斜边长＝＝5，
∴直角三角形外接圆直径为5cm，
∴直角三角形外接圆半径为2.5cm，
故答案为：2.5．
9．解：如图，取AB的中点O，连接OC，OP，PC．
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∠PBC＝∠PAB，
∴∠ABP+∠PAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵OA＝OB，
∴OP＝AB＝4，OC＝＝＝5，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1，
故答案为1．
10．解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
11．解：（1）∵A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），
∴AO＝2，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝＝4，
∵OP⊥AB，
∴＝，OD＝DP，
∴OD＝，
∴OP＝2OD＝；
（2）连接CP，
∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP为等边三角形，
∴AP＝AC＝AB＝2．
12．解：（1）在直角坐标系中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝10，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是△AOB的外接圆的直径，
∴△AOB的外接圆的半径为5；
（2）∵∠ABO的角平分线交x轴于点C，
∴∠OBG＝∠ABG，
∴＝，
如图，过点G作GH⊥OA交AB于点Q，根据垂径定理，得
点Q为△AOB的外接圆的圆心，
∴AH＝OH＝OA＝4，
∴QH＝OB＝3，
∴QG＝QA＝5，
∴HG＝QG﹣HQ＝2，
∴CH＝OH﹣OC＝4﹣OC，
∵GH∥OB，
∴OC＝3．
∴点C的坐标为（3，0）．
13．解：（1）由＝，得CO⊥AD，AE＝DE，
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE+CE＝5，
得AE＝，
所以AD＝AE+DE＝8；
（2）由CF∥AB，
则．
14．证明：（1）连接AE，如图，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，
（2）连接DE，如图，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2CE，
∵BC＝2CD，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∵四边形ADEB是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BED＝180°．
∵∠CED+∠BED＝180°，
∴∠BAD＝∠CED，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAD，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣2∠BAD，
∴∠BCD＝2∠ABD．
15．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3，
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为；
（3）法一：过O作OH⊥AD于H，如图：
∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，
∴ED＝a，
∵F为DE的中点，
∴CF＝DF＝DE＝a，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝b，
∴AD＝ED+AE＝a+b，
∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，
∴OH∥BD，
∵AO＝OB，
∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，
∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，
在Rt△OHF中，FO＝＝b，
∴CF+FO＝a+b．
法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：
由（1）得△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE＝DH，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDH＝90°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∵BD＝b，
∴BH＝b，
∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，
∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，
而DH＝AE，
∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，
∴F为AH中点，
∵O为AB中点，
∴FO＝BD＝b，
∴CF+FO＝a+b．
16．解：（1）如图，连接EF、ED．
∵AF为直径，
∴∠ABF＝∠AEF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AB＝EF，AE＝BF，
∵DF∥BE，
∴，
∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是等腰梯形，
∴BD＝EF，
∴AB＝BD．
（2）设CD＝x，则AB＝BD＝2CD＝2x，BC＝3x．
在Rt△ABC中：AB2+AC2＝BC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，解得x1＝，x2＝﹣（舍），
∴CD＝，AB＝BD＝2，
设BF＝AE＝DE＝y，则CE＝5﹣y，
在Rt△CED中：DE2+CD2＝CE2，
∴y2+5＝（5﹣y）2，解得y＝2，
∴BF＝DE＝AE＝2，
∴AF＝＝＝2，
即⊙O的直径长为2．
17．解：（1）∵CD平分∠ADB，
∴∠BDC＝∠ADC，
∴＝，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）如图，作CM⊥ED于点M，
由（1）知：∠CDA＝∠BDC＝60°，
∵CE∥BD，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，
∵∠BCD＝60°﹣∠ACD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝3，
∴DC＝DE＝DA+AE＝8，
∵CM⊥ED，
∴DM＝DE＝4，
∴CM＝＝4，
∴△CAE面积为：AE?CM＝6．
18．（1）证明：∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴∠ADE＝90°，∠DFB＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵∠FDB+∠FBE＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，
∴∠FDB＝∠CEB，
又∠CEB＝∠DEG，
∴∠DEG＝∠FDB，
∴DG＝EG，
∵∠ADG+∠GDE＝∠DAG+∠DEF＝90°，
∴∠ADG＝∠DAG，
∴DG＝AG，
∴DG＝AG＝EG，
∴点G是△ADE的外心；
（2）过点D作DM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DM⊥AH，EN⊥AB，EC⊥BH，
∴DF＝DM，EN＝EC，
∵DM⊥BH，∠ACB＝90°，
∴DM∥GC，
设EG＝x，则DG＝x，DF＝DM＝2+x，
∴，
∴CG＝，
∴CE＝CG﹣EG＝﹣x＝，
∵GF⊥AB，EN⊥AB，
∴GF∥EN，
又∵AG＝EG，
∴AF＝FN，
∴EN＝2GF＝4，
∴＝4，
解得x＝﹣1，x＝﹣﹣1（舍去）．
∴EG＝﹣1．
19．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣40°）＝70°；
（2）连接BD，如图，
∵D为的中点，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∵∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°，
∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣110°）＝35°，
∵BE∥AD，
∴∠D+∠DBE＝180°，
∴∠DBE＝∠ABC＝70°，
∴∠CBE＝∠ABD＝35°，
∴∠CAE＝∠CBE＝35°．
20．解：（1）∵∠BPC＝60°
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，
而点P是的中点，
∴∠ACP＝∠ACB＝30°；
（2）连接OP，OB，AO并延长交BC于D，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝24，
∵AB＝40，
∴AD＝＝32，
∵OD＝32﹣AO，
∵OB＝OA，
∴OB2＝OD2+BD2，
∴OB2＝（32﹣OB）2+242，
∴OB＝25，
∵点P是的中点，
∴OP⊥AB，AE＝BE＝AB＝20，
∴OE＝＝15，
∴PE＝25﹣15＝10，
∴PA＝＝＝10．

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