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(共29张PPT)
14.1.1
直角三角形三边的关系
数学华师版
八年级上
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
问题情境
（1）正方形P的面积是
平方厘米；
（2）正方形Q的面积是
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2
SQ=BC2
SR=AB2
直角三角形三边的关系
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
观察正方形瓷砖铺成的地面.
R
Q
P
A
C
B
（图中每一格代表一平方厘米）
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
想一想
P的面积(单位长度)
Q的面积(单位长度)
R的面积(单位长度)
图2
图3
P、Q、R面积关系
直角三角形三边关系
Q
P
R
Q
P
R
A
B
C
A
B
C
9
16
25
9
4
13
SP+SQ=SR
BC2+AC2=AB2
(每一小方格表示1平方厘米)
试一试
BC2+AC2=AB2
Q
P
R
Q
P
R
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.
Q
P
R
Q
P
R
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
S正方形R
新知讲解
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
做一做
新知讲解
斜边的长为13cm，上述关系对这个直角三角形仍然成立.
新知讲解
概括
由上面的探索可以发现:对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
这种关系我们称为勾股定理.
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
新知讲解
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
新知讲解
图14.1.4是弦图的示意图,它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形.
大正方形的面积等于c2
,同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和,于是有
4·
ab
+
(b-a)2=
c2
,化简即得a2+
b2=
c2,这就证明了勾股定理.
图14.1.4
新知讲解
做一做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图14.1.5所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
图14.1.5
新知讲解
证明：∵S正方形=(a+b)2
=
∴a2
+
b2
+
2ab
=
c2+2ab
可得:
a2
+
b2
=
c2
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
图14.1.5
新知讲解
例1
在Rt△ABC中，已知∠B=90°,AB=6,
BC=8.求AC.
解：根据勾股定理，可得
AB2+
BC2=
AC2.
所以
证明：∵S正方形=(a+b)2
=
∴a2
+
b2
+
2ab
=
c2+2ab
可得:
a2
+
b2
=
c2
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
图14.1.5
新知讲解
例2
如图14.1.6,
Rt△ABC的斜边AC比直角边
AB长2cm,另一直角边BC长为6
cm.求AC的长.
解
由已知AB=AC-2,BC=6cm,
根据勾股定理
,可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
解得
AC
=
10(
cm).
图14.1.6
新知讲解
例2
如图14.1.6,
Rt△ABC的斜边AC比直角边
AB长2cm,另一直角边BC长为6
cm.求AC的长.
解
由已知AB=AC-2,BC=6cm,
根据勾股定理
,可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
解得
AC
=
10(
cm).
C
A
B
图14.1.6
变式
如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为（　　）
A.
5
B.
9
C.
16
D.
25
解：由勾股定理得，AB2=32+42=25，
∴以AB为边长的正方形面积AB2=52=25
新知讲解
例3
如图14.1.7,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远?
图14.1.7
新知讲解
解
如图14.1.7,在Rt△ABC中，
AC=160米，BC=128米，
根据勾股定理，可得
=96(米).
答:从点A穿过湖到点B有96米.
图14.1.7
注意:
(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。
(2)勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系:两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。
课堂练习
15
cm
17
cm
64
cm?
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为
.
2.判断题
①△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13
(
)
②△ABC的a=6,b=8,则c=10
(
)
3.填空题
在△ABC中,
∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
?
?
24
4.8
A
B
C
D
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的
距
离是多少?
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
所以BC=0.7.
课堂总结
这节课你学习了哪些知识？解决了什么问题？
1.
直角三角形满足勾股定理：
两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）用于说明平方关系
板书设计
课题：14.1.1
直角三角形三边的关系
?
教师板演区
?
学生展示区
一、勾股定理
二、例题
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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14.1.1
直角三角形三边的关系
教案
课题
14.1.1
直角三角形三边的关系
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、会用数格子的方法求正方形的面积.2、在直角三角形中，已知两边能求第三边.
重点难点
在直角三角形中，已知两边能求第三边.
教学过程
教学环节
教师活动问题情境某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
（1）正方形P的面积是
平方厘米；（2）正方形Q的面积是
平方厘米；（3）正方形R的面积是
平方厘米.上面三个正方形的面积之间有什么关系？SP+SQ=SR
学生活动
设计意图
导入新课
上
思考自议
课堂小结
直角三角形三边的关系
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2
SQ=BC2
SR=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
试一试
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
S正方形R
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
新知讲解
做一做
斜边的长为13cm，上述关系对这个直角三角形仍然成立.
新知讲解
概括
由上面的探索可以发现:对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定
这种关系我们称为勾股定理.
新知讲解
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
图14.1.4是弦图的示意图,它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形.
大正方形的面积等于c2
,同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和,于是有
4·
ab
+
(b-a)2=
c2
,化简即得a2+
b2=
c2,这就证明了勾股定理.
新知讲解
做一做
新知讲解
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图14.1.5所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.
新知讲解
新知讲解
例1
在Rt△ABC中，已知∠B=90°,AB=6,
BC=8.求AC.
解：根据勾股定理，可得
AB2+
BC2=
AC2.
所以
证明：∵S正方形=(a+b)2
=
∴a2
+
b2
+
2ab
=
c2+2ab
新知讲解
例2
如图14.1.6,
Rt△ABC的斜边AC比直角边
AB长2cm,另一直角边BC长为6
cm.求AC的长.
解
由已知AB=AC-2,BC=6cm,
根据勾股定理
,可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
解得
AC
=
10(
cm).
新知讲解
例2
如图14.1.6,
Rt△ABC的斜边AC比直角边
AB长2cm,另一直角边BC长为6
cm.求AC的长.
解
由已知AB=AC-2,BC=6cm,
根据勾股定理
,可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
解得
AC
=
10(
cm).
变式
如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为（　　）
A.
5
B.
9
C.
16
D.
25
解：由勾股定理得，AB2=32+42=25，
∴以AB为边长的正方形面积AB2=52=25
新知讲解
例3
如图14.1.7,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远?
新知讲解
解
如图14.1.7,在Rt△ABC中，
AC=160米，BC=128米，
根据勾股定理，可得
EMBED
Equation.KSEE3
\
MERGEFORMAT
=96(米).
答:从点A穿过湖到点B有96米.
课堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为
.
64
cm?
2.判断题
①△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13
(
)
②△ABC的a=6,b=8,则c=10
(
)
3.填空题
在△ABC中,
∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
4.8
24
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的
距
离是多少?
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
所以BC=0.7.
这节课你学习了哪些知识？解决了什么问题？
1.
直角三角形满足勾股定理：
两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）用于说明平方关系
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精品试卷·第
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14.1.1
直角三角形三边的关系
学案
课题
14.1.1
直角三角形三边的关系
单元
第14章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、会用数格子的方法求正方形的面积.
2、在直角三角形中，已知两边能求第三边.
重点
难点
在直角三角形中，已知两边能求第三边.
导学
环节
导学过程
导
入
学
习
讲
授
新
课
探究一：
图14.1.1是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即AC2+BC2=AB2
在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
观察图14.1.2,如果每一小方格表示1平方厘米，
那么可以得到:
正方形P的面积=_________平方厘米;
正方形Q的面积=_________平方厘米;
正方形R的面积=__________平方厘米.
(每一小方格表示1平方厘米)
图14.1.2
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系___________________________
由此，我们得出Rt
△ABC的三边长度之间存在的关系是________________
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
由上面的探索可以发现:对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
这种关系我们称为勾股定理.
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
探究二：
图14.1.4是弦图的示意图,它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形.大正方形的面积等于c2
,同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和,于是有4·ab
+
(b-a)2=
c2
,化简即得a2+
b2=
c2,这就证明了勾股定理.
图14.1.4
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图14.1.5所示的图形与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.
探究三：
例1
在Rt△ABC中，已知∠B=90°,AB=6,
BC=8.求AC.
例2
如图14.1.6,
Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm,另一直角边BC长为6
cm.求AC的长.
图14.1.6
例3
如图14.1.7,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远?
图14.1.7
注意:
(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。
(2)勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系:两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。
课
堂
练
习
答
案
参考答案
合作探究：
探究一：
9
16
25
SP+SQ=SR
AC2+BC2=AB2
斜边的长为13cm，上述关系对这个直角三角形仍然成立.
探究二：
证明：∵S正方形=(a+b)2=
∴a2
+
b2
+
2ab
=
c2+2ab
可得:
a2
+
b2
=
c2
探究三：
1、解：根据勾股定理，可得
AB2+
BC2=
AC2.
所以
2、解
由已知AB=AC-2,BC=6cm,根据勾股
定理
,可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
解得
AC
=
10(
cm).
3、解
如图14.1.
7,在Rt△ABC中，
AC=160米，BC=128米，
根据勾股定理，可得
答:从点A穿过湖到点B有96米.
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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