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2020-2021学年山东省德州市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
?
1.
已知命题：“，”，则为（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
?
2.
设，，则(?
?
?
?
)
A.?
B.
C.
D.
?
3.
设，，则是的（????????）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
?
4.
计算等于（?
?
?
）
A.
B.
C.
D.
?
5.
某电视台在互联网上征集电视节目的现场观众，报名的共有人，分别来自四个地区，如图所示，主办方用分层抽样的方法抽取人参加现场录制，则甲、乙、丙、丁抽取的人数分别是?
?
?
?
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
?
6.
函数的零点所在的一个区间是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知函数若，则的值为（????????）
A.
B.
C.
D.
?
8.
甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客客主主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为．且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
二、多选题
?
若点，，分别为的边，，的中点，且，，则下列结论正确的是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
若，则下列四个不等式中成立的是（????????）
A.
B.
C.
D.
?
甲乙两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是?
?
?
?
A.甲的众数比乙的众数大
B.甲的极差大于乙的极差
C.
D.甲的分位数大于乙的分位数
?
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，设，则下列结论正确的是（????????）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.的值域
D.的值域是
三、填空题
?
已知幂函数的图象过点，则________.
?
已知函数若，且，则的最小值为________.
?
声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.
平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为________；
一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，则正常人听觉的声强级范围为________.
?
年，山东省高考改革综合方案将采取“”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生再从物理、化学、生物、政治、历史、地理门功课中任意选择门．若一名同学从选考科目中随机选择门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为________.
四、解答题
?
求值：
；
.
?
设函数.
求不等式的解集；
若，使得成立，求的取值范围．
?
为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，德州市在经济快速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，无论是老城区，还是开发区，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中.
求，的值；
假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求被调查的市民的满意程度的平均数、众数；
若按照分层抽样的方式从中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，求至少有人的分数在的概率．
?
设函数，函数的图象和的图象关于对称．
求的解析式；
是否存在实数，使得对，不等式恒成立；若存在，求出的值．若不存在，说明理由．
?
“水葫芦”原产于巴西，能净化水质，蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体．某市年底为了净化某水库的水质，引入了“水葫芦”，这些“水葫芦”在水中蔓延速度越来越快．年月底“水葫芦”覆盖面积为，到了月底测得“水葫芦”覆盖面积为，“水葫芦”覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型且）与可供选择．
分别求出两个函数模型的解析式；
经测得年月底“水葫芦”的覆盖面积约为．从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，求“水葫芦”覆盖面积达到的最小月份．（参考数据：，
?
已知函数，函数.
若的定义域为，求实数的取值范围；
当时，求函数的最小值；
是否存在非负实数．，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出，的值；若不存在，则说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省德州市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“”；②：“”即可，据此分析选项可得答案．
【解答】
解：命题：，的否定是：
，．
故选.
2.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
指、对数不等式的解法
【解析】
先化简集合，，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：∵
，
，
∴
.
故选.
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
指、对数不等式的解法
【解析】
利用充分必要条件进行求解即可。
【解答】
解：由可得：，此时成立；
由，当时不一定成立.
所以是的充分不必要条件.
故选.
4.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
利用向量的加减数乘运算求解即可。
【解答】
解：
.
故选.
5.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据题意，甲：乙：丙：丁=.利用分层抽样得解.
【解答】
解：甲地抽取的人数为(人)，
乙地抽取的人数为(人)，
丙地抽取的人数为(人)，
丁地抽取的人数为(人).
故选.
6.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
?由题意可得函数的定义域
，令，然后根据??，结合零点判定定理可知函数在上存在一个零点，可得结论．
【解答】
解：由题意可得函数的定义域，
函数在定义域上连续，
，，，
由函数零点的判定定理可知，函数在上有一个零点.
故选．
7.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
利用函数的性质建立关于的方程即可得的值，代入函数解析式即可.
【解答】
解：因为，
当时，?，则，则，则，则，与矛盾，
当时，，则，则，满足，
所以，则
，
故.
故选．
8.
【答案】
D
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
利用相互独立事件概率的乘法和互斥事件概率加法公式直接得解.
【解答】
解：甲队的主客场安排依次是“主客客主主”，
甲队以获胜的概率：
.
故选.
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
利用向量的加法，减法的几何意义，逐项分析得解.
【解答】
解：由题设得，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故错误.
故选.
【答案】
A,B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数函数和对数函数性质求解即可.
【解答】
解：，，则，故，故正确；
，，则，故，故正确；
，，，故，故错误；
，∵
，∴
，故错误.
故选.
【答案】
A,C,D
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
利用众数、极差、平均数等相关定义求解相关的量，再逐一对四个选项进行判断即可.
【解答】
解：由茎叶图可得，
甲的数据为：
，
乙的数据为：
，
，甲的众数为和，乙的众数为，故正确；
，甲的极差为，乙的极差为，
甲的极差比乙的小，故不正确；
，甲的平均数为
，
乙的平均数为
，
所以，故正确；
，甲的分位数大于乙的分位数，故正确.
故选.
【答案】
A,D
【考点】
函数新定义问题
函数的值域及其求法
高斯函数[x]
函数奇偶性的判断
【解析】
先由函数的奇偶性判断的正误，再结合函数的值域进一步判断的正误.
【解答】
解：，由已知可得的定义域为，关于坐标原点对称.
∵
，
∴
是奇函数，故正确；
，∵
，
，
，
故不是偶函数，故不正确；
，∵
，∴
?.
又∵
，
∴
??或，
??或?，
即或，
∴
或且，
∴
的值域为，故不正确；
，由中分析可知，正确.
故选.
三、填空题
【答案】
【考点】
函数的求值
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
设幂函数解析式为，图象过点，求出函数的解析式，再求．
【解答】
解：设幂函数解析式为，
∵
图象过点，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：．
【答案】
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
函数的求值
【解析】
先由分段函数求得，再用整体代换的方法得，此时结合基本不等式求最值.
【解答】
解：函数
，
，
则
，
当且仅当时，取得最小值.
故答案为：.
【答案】
【考点】
对数的运算性质
【解析】
根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解；
根据定义，代入数值，结合对数运算性质即可求解.
【解答】
解：把代入得：
．
故答案为：.
把代入公式可得，
把代入公式可得.
故答案为：.
【答案】
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
所有的基本事件有种，满足该同学选到物理、地理两门功课情况为种，代入古典概型的概率公式即可．
【解答】
解：物理、化学、生物、政治、历史、地理门功课分别记为，，，，，,
从中选取门共有，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，共种，
满足该同学选到物理、地理两门功课情况有，，，共种，
∴
该同学选到物理、地理两门功课的概率为.
故答案为：.
四、解答题
【答案】
解：原式
?.?
原式
?.?
【考点】
有理数指数幂的化简求值
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数的运算性质
对数及其运算
【解析】
?
?
【解答】
解：原式
?.?
原式
?.?
【答案】
解：
?.?
即，
解得或，
解得或?.?
故不等式的解集为或?.?
若，使得成立，
即，.
而，
令，因为，所以?.?
所以,在上单调递减，
所以当时，取得最大值，故?．
【考点】
一元二次不等式的解法
函数恒成立问题
【解析】
?
?
【解答】
解：
?.?
即，
解得或，
解得或?.?
故不等式的解集为或?.?
若，使得成立，
即，.
而，
令，因为，所以?.?
所以,在上单调递减，
所以当时，取得最大值，故?．
【答案】
解：，
得.
又，故
平均数为：
，
众数为：.
因为两段频率比为，
所以分数在中抽取人，设为；在[中抽取人，设为，所以从这人中随机抽取人的所有情况为：
，
共种．
其中满足条件的为共种．
设“至少有人分数在”为事件，则.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
无
无
【解答】
解：，
得.
又，故
平均数为：
，
众数为：.
因为两段频率比为，
所以分数在中抽取人，设为；在[中抽取人，设为，所以从这人中随机抽取人的所有情况为：
，
共种．
其中满足条件的为共种．
设“至少有人分数在”为事件，则.
【答案】
解：因为与关于对称，
所以两个函数互为反函数.
而的反函数为，
即.
假设存在实数，使得结论成立．
，
当时，适合题意，
当时，不恒成立，
当时，，
只需得，
所以的取值范围是．
【考点】
反函数
指数函数与对数函数的关系
函数恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：因为与关于对称，
所以两个函数互为反函数.
而的反函数为，
即.
假设存在实数，使得结论成立．
，
当时，适合题意，
当时，不恒成立，
当时，，
只需得，
所以的取值范围是．
【答案】
解：若选，由题意，得
解得?所以；
若选，
由
所以?
所以?.?
若用，当时，?；
若用，当时，，
所以用模型更合适.
令，则，
，
所以?，
所以“风眼蓝”覆盖面积达到时的最小月份是月．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
指数式与对数式的互化
【解析】
?
?
【解答】
解：若选，由题意，得
解得?所以；
若选，
由
所以?
所以?.?
若用，当时，?；
若用，当时，，
所以用模型更合适.
令，则，
，
所以?，
所以“风眼蓝”覆盖面积达到时的最小月份是月．
【答案】
解：由题知定义域，
即对恒成立．
当时，，成立；
当时，解得，
综上，?.?
当时，，
令，因为，所以?.?
所以?.?
当时，，?
当时，，?
当时，?.?
综上，?
，
假设存在非负实数，满足题意，则在单增．
所以故存在．
【考点】
函数的值域及其求法
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的图象
函数单调性的性质
【解析】
?
?
【解答】
解：由题知定义域，
即对恒成立．
当时，，成立；
当时，解得，
综上，?.?
当时，，
令，因为，所以?.?
所以?.?
当时，，?
当时，，?
当时，?.?
综上，?
，
假设存在非负实数，满足题意，则在单增．
所以故存在．
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