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微专题2　二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型1　不含参数的二次函数最值问题
【例1】　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
[解]　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．
故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.
(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
类型2　含参数的二次函数最值问题
【例2】　求函数f(x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0,2]上的最值．
[解]　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
　　　　
　图①　　　　　　　　图②
(2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
　　　　　
图③　　　　　　　　　图④
(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
综上，f(x)min＝f(x)max＝
【例3】　求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
[解]　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1.
图①　　　　
图②　　　　　　图③
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可得，g(t)＝
类型3　与二次函数有关的恒成立、能成立问题
【例4】　已知二次函数g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4，最小值0.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)设f(x)＝，若f(x)－kx≤0在x∈时恒成立，求实数k的取值范围．
[解]　(1)∵g(x)＝m(x－1)2－m＋1＋n，
∴函数g(x)图象的对称轴方程为x＝1.又∵m>0，
∴依题意得即解得
∴g(x)＝x2－2x＋1.
(2)∵f(x)＝，∴f(x)＝x＋－4.
∵f(x)－kx≤0在x∈时恒成立，即x＋－4－kx≤0在x∈时恒成立，
∴k≥2－＋1在x∈时恒成立．
∴只需k≥max，x∈.
令t＝，由x∈，得t＝∈.
设h(t)＝t2－4t＋1＝(t－2)2－3，
则函数h(t)图象的对称轴方程为t＝2，
∴当t＝8时，函数h(t)取得最大值33，
∴k≥h(t)max＝h(8)＝33，
∴实数k的取值范围为[33，＋∞)．

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