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微专题3　函数性质的综合问题
函数的性质(包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等)是高中数学的核心内容，也是日常考试的核心命题点之一，命题时常将多种性质结合在一起进行考查，或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用.
类型1　函数性质的判断
【例1】　(1)对于函数f(x)＝的性质，下列描述：
①函数f(x)在定义域内是减函数；
②函数f(x)是非奇非偶函数；
③函数f(x)的图象关于点(1,1)对称．
其中正确的有几项(　　)
A．0　
B．1　　　
C．2　
D．3
(2)设f(x)是定义在R上的增函数，F(x)＝f(x)－f(－x)，那么F(x)必为(　　)
A．增函数且是奇函数
B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数
D．减函数且是偶函数
(1)C　(2)A　[(1)∵f(x)＝＝1＋的定义域{x|x≠1}，在(－∞，1)，(1，＋∞)单调递减，但是在定义域内不是递减，故①错误；由于f(x)的定义域关于原点不对称，即f(x)为非奇非偶函数，②正确；
根据函数图象的平移可知，f(x)＝1＋的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位，故函数的图象的对称中心(1,1)，③正确．故选C.
(2)∵F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，
∴F(x)为定义在R上的奇函数，
设x2>x1，则F(x2)－F(x1)＝f(x2)－f(－x2)－f(x1)＋f(－x1)，
∵x2>x1，∴－x2<－x1，
∵f(x)为定义在R的增函数，
∴f(x2)>f(x1)，f(－x1)>f(－x2)，
∴F(x2)－F(x1)＝[f(x2)－f(x1)]＋[f(－x1)－f(－x2)]>0，
∴F(x)为定义在R上的增函数．
综上所述，F(x)必为增函数且为奇函数．故选A.]
类型2　函数的奇偶性、单调性与最值
【例2】　设函数f(x)＝在区间[－2,2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2
021的值为__________．
1　[f(x)＝＝＋1，
设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，可知函数g(x)为奇函数，
g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，
故M＋N＝2，∴(M＋N－1)2
021＝(2－1)2
021＝1
.]
类型3　函数的奇偶性、单调性与比较大小
【例3】　(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立为(　　)
A．f(b)－f(－a)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)
AC　[函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)对于A，f(b)－f(－a)(因为在a>0上f(a)＝g(a))，所以A正确；
对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)?f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f(a)＋f(－b)对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)?f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)类型4　函数的奇偶性、单调性与解不等式
【例4】　(1)设定义在R上的奇函数f(x)满足，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有<0，且f(2)＝0，则不等式≥0的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪(0,2]
B．[－2,0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,0)∪(0,2]
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
①若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
②若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
(1)C　[由题意可得，函数的图象关于原点对称，
对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
都有<0，
故函数在(0，＋∞)上单调递减，
故函数在(－∞，0)上也单调递减．
由不等式≥0可得≤0.
再由f(2)＝0可得f(－2)＝0，故有不等式结合图象可得x≥2，或x≤－2，故选C.
]
(2)[解]　①因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
②由①知f(x)为R上的增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
类型5　抽象函数的性质应用
【例5】　设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
(1)求f(1)，f
的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．
[解]　(1)因为对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝－1，
令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0，
令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，
令x＝，y＝9，则有f(1)＝f
＋f(9)＝0，f
＝－f(9)＝2.
(2)证明：令x1所以>1，f
<0，
f(x2)＝f
＝f(x1)＋f
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(3)由已知不等式f(x)＋f(2－x)<2化为f(2x－x2)，
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴
解得1－不等式解集为.
类型6　根据函数的奇偶性、单调性求参数
【例6】　已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
[解]　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1故实数a的取值范围是(1,3]．

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