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5.7　三角函数的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
1．通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养．2．借助实际问题求解，提升数学运算素养.
如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置．将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动．从某一时刻开始，如果记t
s后小球的位移为x
cm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成
x＝Asin(ωt＋φ)的形式，其中A，ω，φ都是常数．
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成
i＝Imsin(ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．
显然，上述x与i都是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
1.函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，，
B．6π，，
C．3π，3，－
D．6π，3，
B　[y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]
2.函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．
　x－　－　[频率为＝，
相位为x－，初相为－.]
类型1　三角函数模型在物理学中的应用
【例1】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解]　列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin
＝2，所以小球开始振动时的位移是2
cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4
cm和－4
cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π
s.
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110
V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220
V，当100πt＋＝，即t＝
s时第一次取得最大值．
类型2　三角函数模型的实际应用
【例2】　(对接教材P245例题)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
如何借助表格中的数据探寻与参数A，ω，b的相关量？解三角不等式的关键是什么？
[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
解三角函数应用问题的基本步骤
　提醒：关注实际意义求准定义域．
2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14
℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2
℃.
(1)求出该地区该时期的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10
℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解]　(1)由题意知
解得
易知＝14－2，
所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，
得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6
＝8sin
＋6<8sin
＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
类型3　数据拟合模型的应用
【例3】　下表所示的是某地2000～2019年的月平均气温(华氏度)．
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①＝cos
；②＝cos
；③＝cos
；④＝sin
.
[解]　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，
∴T＝12.
(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(4)∵x＝月份－1，
∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝>1≠cos
，
∴①不适合．
代入②，得＝<0≠cos
，
∴②不适合，同理，④不适合，
∴③最适合．
处理数据拟合和预测问题的步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图．
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
y＝－4cos
t　[设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin
φ＝－4.0，得sin
φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos
t.]
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　)
A．y＝sin　　
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
D　[由题意可知，周期T＝＝，∴ω＝3.
∴y＝sin，故选D.]
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　
B．6　　　
C．8　
D．10
C　[由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8.故选C.]
3．(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．该质点的运动周期为0.8
s
B．该质点的振幅为－5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时的振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时的位移为零
AD　[由图可知T＝0.6，∴T＝0.8.振幅A＝5
cm，当t＝0.1
s或0.5
s时，v＝0.故选AD.]
4．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，线长l＝________cm.
　[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24
h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
y＝－6sinx，x∈[0,24]　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.
当x＝9时，ymax＝6.
故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx，x∈[0,24]．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？
[提示]　在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．
2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
[提示]　→→

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