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微专题5　三角函数中的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在日常考题中经常出现，其形式或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决．题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型．掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决．
类型1　y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题
【例1】　(1)函数y＝5sin
x－12cos
x在x＝θ处取得最值，则tan
θ＝(　　)
A.
　
B．
±　　　
C.
－　
D．
±
(2)
已知函数f(x)＝2sin2－cos
2x，则f(x)在x∈的最小值是________，若不等式f(x)－m<2在x∈上恒成立，则实数m的取值范围是________．
(1)C　(2)2　(1，＋∞)　[(1)y＝5sin
x－12cos
x＝13＝13sin(x－φ)，其中cos
φ＝，sin
φ＝，依题意可得13sin(θ－φ)＝±13，即sin(θ－φ)＝±1，所以θ－φ＝＋kπ，k∈Z，θ＝φ＋＋kπ，k∈Z，所以tan
θ＝tan＝tan＝＝＝－.
(2)∵f(x)＝2sin2－cos
2x
＝1－cos－cos
2x
＝sin
2x－cos
2x＋1＝2sin＋1.
又∵x∈，∴≤2x－≤，
即2≤1＋2sin≤3，
∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.
∵f(x)－m<2?f(x)－2∵x∈，且f(x)max＝3，
∴m>f(x)max－2＝1，
∴m>1，即m的取值范围是(1，＋∞)．]
类型2　可化为y＝f(sin
x)型的值域问题
【例2】　已知函数f(x)＝sin
ωx－cos
ωx的最小正周期为π，g(x)＝2sin2－4λf(x)－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若x∈时，函数g(x)的最小值为－，求实数λ的值．
[解]　(1)f(x)＝sin
ωx－cos
ωx＝sin，
因为f(x)最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝sin.
(2)由题知g(x)＝2sin2－4λsin－1＝22－1－2λ2，
因为x∈，
所以0≤2x－≤，0≤sin≤1.
①当λ<0时，当且仅当sin＝0时，g(x)取得最小值为－1，与已知不符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sin＝λ时，g(x)取得最小值为－1－2λ2，由－1－2λ2＝－，解得λ＝－(舍)，λ＝；
③当λ>1时，当且仅当sin＝1时，g(x)取得最小值为1－4λ，由1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝.
类型3　含sin
x±cos
x，sin
xcos
x的最值问题
【例3】　求函数y＝sin
x＋cos
x＋sin
xcos
x的值域．
[解]　令t＝sin
x＋cos
x，则有
t2＝1＋2sin
xcos
x，即sin
xcos
x＝.
∴y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1.
又t＝sin
x＋cos
x＝sin，
∴－≤t≤.
故y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)．
从而知f(－1)≤y≤f()，即－1≤y≤＋.
故函数的值域为.
类型4　实际问题中的最值
【例4】　
如图，OAB是一块半径为1，圆心角为的扇形空地．现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧上，记∠COA＝θ，求矩形CDEF的面积最大值．
[解]　∵OF＝cos
θ，CF＝sin
θ，
∴OE＝＝＝，EF＝OF－OE＝cos
θ－，
∴S＝EF·CF＝sin
θ＝sin
θ·cos
θ－sin2θ
＝sin
2θ＋cos
2θ－＝－
＝sin－，
∵θ∈，∴2θ＋∈，
∴当2θ＋＝，即θ＝时，矩形CDEF的面积S取得最大值.
类型5　已知最值求参数范围
【例5】　(1)已知函数f
＝2sin
ωxcos2－sin2ωx在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)
A.
B．
C.
D．
(2)
已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(其中ω>0，－π<φ<π)，若函数f(x)在区间上有最小值而无最大值，且满足f＝－f，则实数φ的取值范围是__________．
(1)B　(2)　[(1)f
＝2sin
ωxcos2－sin2ωx
＝sin
ωx－sin2ωx
＝sin
ωx＋sin2ωx－sin2ωx＝sin
ωx.
因为f
在区间上是增函数，
所以
，解得ω≤，
令ωx＝＋2kπ，k∈Z，
因为在区间上恰好取得一次最大值，
所以0≤≤π，所以ω≥，
所以ω的取值范围是≤ω≤.故选B.
(2)x∈时，函数f(x)在区间上有最小值而无最大值，
且满足f
＝－f
，
故＝－＝，
此时ω＝＝2，
解得(2x＋φ)∈，
函数f(x)在区间上有最小值而无最大值，且－π<φ<π，
由三角函数图象可知x1＝－＋φ与x2＝＋φ应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间，
故，则≤φ≤.]

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