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1．2　集合间的基本关系
[目标]
1.记住集合间的包含关系，会判断两个简单集合的关系；2.能写出给定集合的子集；3.记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系．
[重点]
集合间关系及集合间关系的判断；写出给定集合的子集；空集与其他集合的关系．
[难点]
集合间的关系及应用．
知识点一　　子集的有关概念
[填一填]
1．Venn图
通常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．用Venn图表示集合的优点：形象直观．
2．子集
(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．
(2)符号语言：记作A?B(或B?A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(3)图形语言：用Venn图表示．
3．真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A?B(B?A)．
4．集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.
也就是说，若A?B，且B?A，则A＝B.
[答一答]
1．若A?B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？
提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．
2．“∈”与“?”有什么区别？
提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“?”表示集合与集合之间的关系．
3．“?”与“<”一样吗？
提示：不一样，“?”表示集合与集合之间的关系；“<”表示两实数间的关系．
4．如何判断两个集合是否相等？
提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；
方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足A?B且B?A.
知识点二　　　空集
[填一填]
不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子集．
[答一答]
5．0，{0}，?，{?}有何区别？
提示：
知识点三　　子集、真子集的性质
[填一填]
由子集、真子集和空集的概念可得：
(1)空集是任何集合的子集，即??A；
(2)任何一个集合是它自身的子集，即A?A；
(3)空集只有一个子集，即它自身；
(4)对于集合A，B，C，由A?B，B?C可得A?C；
(5)对于集合A，B，C，由A?B，B?C可得A?C.
[答一答]
6．(1)对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，则A?C，若A?B，B?C呢？
(2)若??A，则A≠?对吗？
提示：(1)A?C.　(2)对．
类型一　　确定集合的子集、真子集
[例1]　(1)已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.
(2)填写下表，并回答问题：
集合
集合的子集
子集的个数
?
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[解]　(1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
(2)
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
?1?确定所求集合；
?2?合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；
?3?注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.
2.若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，?2n－1?个真子集，?2n－1?个非空子集，?2n－2?个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.
[变式训练1]　试写出满足条件??M?{0,1,2}的所有集合M.
解：因为??M?{0,1,2}，
所以M为{0,1,2}的非空真子集，
所以M中的元素个数为1或2.
当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；
当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；
所以M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．
类型二　　　集合间关系的判断及应用
命题视角1：利用子集的定义判断集合间的关系
[例2]　(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是(　　)
A．M＝N　　　　　　　
B．N?M
C．M?N
D．N?M
(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(　　)
A．A?B
B．A?B
C．A?B
D．A?B
[解析]　(1)由已知得集合M＝{1,2}．由真子集的定义可知M?N.
(2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．
[答案]　(1)C　(2)D
判断两集合关系的步骤：
?1?先对所给集合进行化简.
?2?搞清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合由哪些元素组成，即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.
[变式训练2]　指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)法1：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
法2：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
命题视角2：利用Venn图理解集合间的关系
[例3]　能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是下图中的(　　)
[答案]　B　N＝{0,1}?M.
用封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图，是描述集合关系的图形语言，它可以是圆、矩形、椭圆等.通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素，甚至还可以解决集合内元素的个数问题，在后续课程的学习中对Venn图的图解功能再作进一步体会.
[变式训练3]　
已知集合A＝{x|x2＝x，x∈R}，集合A与非空集合B的关系如图所示，则满足条件的集合B的个数为(　B　)
A．1　　　
　B．2　　　
　C．3　　　
　D．4
解析：∵A＝{x|x2＝x，x∈R}＝{0,1}，又B?A，且B为非空集合，∴B可以为{0}或{1}．故选B.
命题视角3：利用数轴理解集合间的关系
[例4]　已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围．
[分析]　解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析．
[解]　集合A在数轴上表示如图．
要使A?B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，
即B中元素必须都位于阴影部分内，
那么由4x＋m<0，即x<－知，－≤－2，即m≥8，
故实数m的取值范围是m≥8.
数轴上表示集合A与B时要注意，端点处都是空心点，所以当－－＝－2时，集合B为{x|x<－2}，仍满足A?B.这种利用子集关系求参数的问题，借助数轴分析时，要验证参数能否取到端点值.
[变式训练4]　已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解：(1)若A?B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.
(2)若B?A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.
因为a≥1，所以1≤a≤2.
1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则有(　B　)
A．A?B　　　　　　　　　
B．C?B
C．D?C
D．A?D
解析：正方形是邻边相等的矩形．
2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则(　B　)
A．M?N
B．N?M
C．M＝N
D．M，N的关系不确定
解析：由题意，得N＝{0,1}，故N?M.
3．已知集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有5个．
解析：∵A?{1,2,3}，∴A中至多含有2个元素．∵A中至少有一个奇数，∴A可能为{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．
4．已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是a≤.
解析：∵??{x|x2－x＋a＝0}．
∴{x|x2－x＋a＝0}≠?，即方程x2－x＋a＝0有解，
∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤.
5．已知集合B＝{－1,0,1}，若A?B，试写出所有满足条件的集合A.
解：当A＝?时，满足条件；
当A是单元素集合时，满足条件的集合A有{－1}，{0}，{1}；
当A是含两个元素的集合时，满足条件的集合A有{－1,0}，{－1,1}，{0,1}；
当A是含三个元素的集合时，满足条件的集合A为{－1,0,1}．
故满足条件的集合A有?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1，1}，{0,1}，{－1,0,1}．
——本课须掌握的三大问题
1．写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：?和自身；其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A?B类问题时，
需分类讨论A＝?与A≠?两种情况．
3．要证明A＝B，只需要证明A?B且B?A成立即可．即可设任意x0∈A，证明x0∈B从而得出A?B.又设任意y0∈B，证明y0∈A，从而得到B?A，进而证明得到A＝B.
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