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反比例函数中的面积问题
导入：
《飞翔的蜘蛛》
信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。
一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。
温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。
知识点回顾
?????由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|???
?? ∴xy=k???? 故S=|k|??? 从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|
?? ?对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
?? ?结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
??? 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|
??? 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|
???
专题讲解
考点一 已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）?
【例1】 如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝　　　　．
分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得 ∴ k=4
（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则??????? ．
分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点
∴??
而 ?????由四边形OEBF的面积为2得? 解得 k=2
评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。
如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．
（1）求两函数的解析式．
（2）求两函数的交点A、C的坐标．
（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3???? ∴?????????????????? ?
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）由，解得，?????????? ???
∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）??????????????????
（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）?????????????????
∵??????????
∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）
评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。
考点二 已知反比例函数解析式，求图形的面积
【例2】（1） 在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（?? B ）
?
?
?

A．????????????? ??? B．???????????? ???? C．?????????? ?? ???D．
分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S= ，对于C：S=4，对于D：S=4 故选（B）
（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则??????? ．
分析：由结论知，∴S1+1=S2+1=3? ∴S1=S2=2? S1+S2=4
评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。
考点三 利用点的坐标及面积公式求面积
【例3】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．
解：（1）在上? ．反比例函数的解析式为：．
点在上?? ????
经过，，
解之得?? 一次函数的解析式为：
（2）是直线与轴的交点
当时，??? 点????
如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上
∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2???? ∴B(-4，2)
∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上
∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b解得 k=1??? b=6
∴直线AB为y=x+6与x轴的交点坐标C（-6，0）∴S==12
评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。
考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题
【例4】已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是??? ?? （用含π的代数式表示）
分析：∵x,y为正整数，∴x=1,2,4,8,16
即A、B、C、D、E五个点的坐标为
(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有
S==13π-26
如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ???????????.
分析：因为圆心A中的非阴影部分与圆B中的阴影部分为对称图形，圆A中的阴影部分与圆B中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。
设圆A的圆心A的坐标为(x,y)，由图可知，x=y
??? ∵A点在反比例函数图象上，∴ ???解得x=1从而所求面积为π
评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
巩固练习：
选择题
1、反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（　）D
(A)2　　 (B)-2 (C)4　　 (D)-4
2、（四川绵阳）若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（　　）D
A．b1＜b2? B．b1 = b2? C．b1＞b2? D．大小不确定
3、（福建龙岩）函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）B
填空题
4、（湖北潜江）如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，AC∥轴，BC∥轴，则△ABC的面积等于 个面积单位.　10
（3）解答题
5、如图 所示，反比例函数的图象经过点，过点A作AB垂直x轴于点B，△AOB的面积为。
（1）求k和b的值；
（2）若一次函数的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB：OM的值。
分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。
解：（1）∵AB⊥BO，A点坐标为
（2）∵点A在直线上
当y=0时，所以M点的坐标为
点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。
6.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
7．已知：如图，函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一直线L经过点C（1，0）将△AOB的面积分成相等的两部分．
（1）求直线L的函数解析式；
（2）若直线L将△AOB的面积分成1：3两部分，求直线L的函数解析式．
拓展训练
已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
分析：（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得
k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为
(2)0(3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（
由四边形OADM的面积为6得 3+6+3=3t 解得t=4
故点M为（? D点为（3，4）从而M点为BD中点，BM=DM
评注：第①小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第②小问考查分析图形的能力，第③小问考查反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目
六、反思总结
当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）
1、已知正比例函数与反比例函数的图象都过，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。
分析：由A点坐标满足可求得m值，再将A点坐标代入可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。
解：因图象过，即，故，即A（3，1）
将A（3，1）代入，得
所以正比例函数解析式为
联立方程组得
∴另一交点坐标为（）
点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。
2、如图所示，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。
（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。
3、（2008山东省）（1）探究新知： 如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用： ① 如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．
试证明：MN∥EF．
② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行。
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