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第二十一章
一元二次方程
知识点
内容
一元二次方程概念
只含有一个未知数（一元），
未知数的最高次数是2（二次）
整式方程
判断一个方程式不是一元二次方程，要看化简后的形式
一元二次方程的一般形式
ax?+bx+c=0（a≠0）a，b，c是常数
解法
开平方法；
(2)配方法；
(3)公式法；
(4)因式分解法
求根公式
x＝
根的
判别式
Δ＝b2－4ac
根的判别式与方程的根之间的关系
(1)Δ＝b2－4ac>0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
(2)Δ＝b2－4ac＝0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
(3)Δ＝b2－4ac<0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根
根与系数
的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1·x2＝
实际应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
审
(2)设
(3)列
(4)解
(5)检验；
(6)答
一元二次方程的概念
1.下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．3x2+
-1=0
B．5x2-6y-3=0
C．ax2-x+2=0
D．3x2-2x-1=0
解：A、是分式方程，故A错误；
B、是二元二次方程，故B错误；
C、a=0时，是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
方法总结：题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
1.
判断下列关于x的方程是不是一元二次方程.
分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.
解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程；方程（3）含有两个未知数；方程（4）的左边不是整式；方程（5）经整理，得－6x＝1（判断一个方程式不是一元二次方程，要看化简后的形式）；方程（8）中未确定ab≠0；因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.
一元二次方程的一般形式
1.方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A.
3、2、5
B.
2、3、5
C.
2、﹣3、﹣5
D.
﹣2、3、5
【答案】C
【解析】
分析：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
详解：2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5.
故选C.
点睛：本题考查了一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，
bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
2.将一元二次方程2x2+7=9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2，9
B．2，7
C．2，-9
D．2x2，-9x
解：2x2+7=9x化成一元
二次方程一般形式是2x2-9x+7=0，则它的二次项系数是2，一次项系数是-9．
故选：C．
一元二次方程的解
若0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的一根，则
m的值为（
）
A．1
B．0
C．1或2
D．2
解：∵0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的一根，
∴（m-1）×0+5×0+m2-3m+2=0，即m2-3m+2=0，
解方程得：m1=1（舍去），m2=2，
∴m=2，
故选D．
方法总结：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．
一元二次方程的解法
配方法：
配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程的一般步骤
移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
【注意】：1）当时，方程无解
2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
1.（2019·江苏中考真题）用配方法解方程，变形后的结果正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：移项得，x?+8x=-9
配方得，x?+8x+4?=-9+4?
∴（x+4）?=7，
故选D.
2．（2018·浙江中考模拟）用配方法解方程，变形结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
根据配方法的定义,将方程的二次项系数化为1,
得：
，配方得，
即:．
本题正确答案为Ｄ．
公式法
一元二次方程
根的判别式：
方程有两个不相等的实根:
方程有两个相等的实根
方程无实根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
如果b2-4ac≥0,
将a、b、c的值代入求根公式：
最后求出x1，x2
1）x2-=
-
解：将方程化成一般形式
x2-+=0
　　　　　
a=1,
b=
-，
c=
b2-4ac=(-)2-4×1×=0
（2）4x2-3x+2=0
解：a=4,
b=
-3，
c=2.
b2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0
因为在实数范围负数不能开平方，所以方
程无实数根.
因式分解法解
（1）(3x-4)?=(4x-3)?
（2）49（x-3）?=16（x+6）?
（3）x?-6x=0
（4）3（x-5）?=2（5-x）
一元二次方程的应用题
1.
某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.
分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x）.
解：设平均月增长率为x，由题意得400（1＋10％）（1＋x）＝633.6
整理得：（1＋x）＝
所以平均月增长率为20％
2.．（2019·四川中考模拟）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．
【答案】x（x﹣1）=21
【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为：x（x﹣1）=21．
3.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x-10）=900
B．x（x+10）=900
C．10（x+10）=900
D．2[x+（x+10）]=900
解：根据题意列方程：x（x+10）=900，
故选B.
4.如图，在宽为
20m，长为
32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为
540m?，求道路的宽．
如果设小路宽为
xm，根据题意，所列方程正确的是（?
?）．
A.
(20-x)(32-x)=540??????
B.
(20-x)(32-x)=100
C
(20+x)(32-x)=540
D.
(20+x)(32-x)=100
【答案】A
【解析】
【分析】
设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形（如图所示），再根据矩形的面积公式即可列出方程.
【详解】利用平移，原图可转化为下图，设道路宽为x米，
根据题意得：（20-x）（32-x）=540．
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题时需利用平移把不规则的图形变为规则图形，再根据矩形的面积公式列出方程．
5.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.
解：设此种商品的售价为x元，商品所赚利润s最大.
答：售价定为10元时所赚利润最大，最大利润是2000元

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