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2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》优生辅导
专题提升训练（附答案）
1．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．14 D．12
2．如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：
①四边形AEDF一定是平行四边形；②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；
③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．
正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法中正确的是（　　）
A．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线互相平分四边形是平行四边形C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则下列结论正确的是（　　）
A．线段EF的长逐渐增大，最大值是13 B．线段EF的长逐渐减小，最小值是6.5
C．线段EF的长始终是6.5 D．线段EF的长先增大再减小，且6.5≤EF≤13
5．如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB＝4：5，则下列结论：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝4cm；④AC＝8cm；⑤S菱形ABCD＝80cm2，正确的有（　　）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
6．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（　　）
A．1 B．2 C． D．4
7．△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　　）
A．4.8 B．5 C．2.4 D．4
8．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．
9．如图，在菱形ABCD中，点E，点F为对角线BD的三等分点，过点E，点F与BD垂直的直线分别交AB，BC，AD，DC于点M，N，P，Q，MF与PE交于点R，NF与EQ交于点S，已知四边形RESF的面积为5cm2，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．35cm2 B．40cm2 C．45cm2 D．50cm2
10．如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连接CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　）
A．CP平分∠ACB B．CP⊥AB
C．CP是AB边上的中线 D．CP＝AP
11．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°
12．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为　 　．
13．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝4cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）求证：四边形OBEC为矩形；
（2）求四边形ABEC的面积．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．
15．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求?ABCD的面积．
16．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
17．如图，在?ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．
19．如图，在矩形ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为点O，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AE＝OF，BF＝2，连接OC，求OC的长．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．
21．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE．
（2）若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．
23．如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．
（1）下列条件中：①AB＝AC；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线；④AD是△ABC的高，请选择一个△ABC满足的条件，使得四边形AEDF为菱形，并证明；
答：我选择　 　．（填序号）
（2）在（1）选择的条件下，△ABC再满足条件：　 　，四边形AEDF即成为正方形．
参考答案
1．解：∵菱形的两条对角线分别长8、6，
∴S＝×8×6＝24
故选：B．
2．解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴DE∥AC．
∵D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴①正确；
②如图，
由①知：AE∥DF，
∴∠EAD＝∠ADF．
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD．
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴②不正确；
③如图，
若AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
∵AD⊥BC，E是AB的中点，
∴DE＝AB．
同理：DF＝AC，
∴DE＝DF．
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
∴③正确；
④若∠A＝90°，如图，
由①知：四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
3．解：∵两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴A选项错误
∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
∴B选项正确
∵两条对角线相等的平行四边形是矩形
∴C选项错误
∵两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
∴D选项错误
故选：B．
4．解：连接AQ．
∵E、F分别是AP、QP的中点，
则EF为△APR的中位线，
∴EF＝AQ＝，为定值．
即线段EF的长不改变．
故选：C．
5．解：∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB＝×4cm＝10cm，
∵DE：AB＝4：5，
∴DE＝8cm，
故①正确；
∵DE⊥AB，且AD＝10cm，DE＝8cm，
∴AE＝＝＝6（cm），
∴BE＝AB﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm，
故②正确；
∵DE＝8cm，BE＝4cm，
∴BD＝＝＝4（cm），
故③正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝BD＝2cm，且AC⊥BD，
∴AO＝＝＝4（cm），
∴AC＝2AO＝8cm，
故④正确；
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×8×4＝80（cm2），
故⑤不正确，单位错误；
∴正确的为①②③④，
故选：B．
6．解：连接AN，DN，如图所示：
∵三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，
∴∠ANE+∠END＝90°，∠DNF+∠END＝90°，
∴∠ANE＝∠DNF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAN＝∠FDN＝45°，AN＝DN
在△ANE和△DNF中
∴△ANE≌△DNF（ASA），
∴两个正方形阴影部分ENFD的面积＝S正方形ABCD，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 S正方形ABCD，
∴S阴影部分＝S正方形＝××＝1．
故选：A．
7．解：如图，连接PA．
在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB?AC＝BC?AP，即AP＝＝＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：A．
8．解：由作图过程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE，
∵OC＝OD＝DE＝CE，
∴四边形ODEC是菱形．
如图，连接CD交OE于点F
，
∵四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10，
∴CF＝DF＝6，
∴CD＝12．
故选：B．
9．解：连接RS，RS交EF与点O．
由图形的对称性可知RESF为菱形，且菱形ABCD与菱形RESF相似，
∴OE＝OF．
∴OB＝3OE，
∴＝（）2＝9，
∴菱形ABCD的面积＝5×9＝45cm2．
故选：C．
10．解：∵四边形CDPE是菱形，
∴∠DCP＝∠ECP，
∴CP平分∠ACB，
故选：A．
11．解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
12．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠CED＝∠BFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCE+∠BCF＝90°．
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF．
在△CDE和△BCF中，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2．
∵CF＝1，
∴BC2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
13．（1）证明：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形OBEC是矩形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝3cm，OA＝OC，
在Rt△OCD中，OC＝＝＝（cm），
∴AC＝2OC＝2cm，
由（1）得：四边形OBEC为矩形，
∴BE＝OC＝cm，BE∥OC，CE＝OB＝3cm，
∴四边形ABEC的面积＝（BE+AC）×CE＝（+2）×3＝（cm2）
14．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，
∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝OA＝2，AC＝2OE＝4，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∵菱形ABCD的面积＝BD×AC＝BC×AE，
即×6×4＝13×AE，
解得：AE＝12．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴CD﹣CF＝AB﹣AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，
由（1）得：四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，
∴AB＝BF＝×2＝6，
∴?ABCD的面积＝AB×DE＝6×2＝12．
16．（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝FD，
∴AE+EF＝FD+EF，
即AF＝DE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴?ABCD为矩形．
18．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝3，
∴OA＝＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，
∴CE＝．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由（1）得：四边形BFDE是菱形；
∴EO＝FO，∠EBO＝∠FBO，
∵AE＝OF，
∴AE＝EO，
∵AE⊥AB，EO⊥BO，
∴∠ABE＝∠OBE，
∴∠ABE＝∠OBE＝∠FBO＝＝30°，
在Rt△FBO中，BF＝2，
∴，
∴，
∵在Rt△BCD中，OC是斜边BD上的中线，
∴．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵CF＝BE，CF＝2，
∴BE＝2，
∵∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠EBA，
∵∠AEB＝∠ABD＝90°，
∴BD＝4．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，
∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，
∵O为AC中点，M在BO上，
∴BO⊥AC，时，AM＝MC，
在△BOA与△BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（SAS），
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故△ABC为等腰三角形时，四边形AMCN是正方形．
22．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵BF∥EC，
∴∠DBF＝∠DCE，
∵∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌△CDE（ASA）；
（2）证明：∵△BDF≌△CDE，
∴BF＝CE，DE＝DF，
∵BF∥CE，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，
∴EF＝BC，
∴四边形BECF是正方形．
23．解：（1）我选择：③，
故答案为：③，
证明：∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴EA＝ED，
∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）在（1）选择的条件下，△ABC再满足条件∠BAC＝90°，
故答案为：∠BAC＝90°，
理由：由（1）知，四边形AEDF为菱形，
∴当∠BAC＝90°，四边形AEDF即成为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）

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