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北师大版数学七年级
精品教学课件
北师大版实验教材七年级下册第五章第七节
第26届世界大学生运动会将于今年8月在深圳举办，这是个让我们深圳人欢欣的时刻。为了迎接2011年深圳大运会，龙岗区政府决定在大运中心两侧修建两块全等的直角三角形草坪，但只知道一块直角三角形草坪的一条直角边和斜边的长度，施工组想尽快完成这项任务，你能帮他想想办法吗？
复习回顾
判定两个三角形全等的方法
我们已经学了哪些呢？
SSS
SAS
ASA
AAS
三边对应相等的两个三角形全等。(简写成
“边边边”或“SSS”）
D
E
F
A
B
C
“边角边”或“SAS”）
两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。(简写成
D
E
F
A
B
C
“角边角”或“ASA”）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(简写成
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写成
“角角边”或“AAS”）
如图，△ABC中，∠ C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______。
C
B
A
我们把直角△ABC记作Rt△ABC。
AC
BC
AB
以上的四种判别三角形全等的方法能不能用来判别直角三角形全等呢？
思考：
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
情境问题1:
情境问题1:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
你能帮工作人员想个办法吗？
A
B
D
E
C
F
情境问题1:
∠B=∠E=900
则利用 可判定全等；
①若测得AB=DE，∠A=∠D，
则利用 可判定全等；
ASA
②若测得AB=DE，∠C=∠F，
AAS
③若测得AC=DF， ∠C=∠F，
则利用 可判定全等；
AAS
④若测得AC=DF，∠A=∠D，
则利用 可判定全等；
AAS
⑤若测得AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，
则利用 可判定全等；
SAS
A
B
D
E
C
F
情境问题2:
如果工作人员只带了一个卷尺，能完成这项任务吗？
A
B
D
E
C
F
工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？
情境问题2:
对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？
A
B
D
E
C
F
已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C= ∠ α ，CB=a，AB=c.
a
c
α
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=∠α=90°;
C
M
N
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
C
M
N
B
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;
C
M
N
B
A
⑷ 连接AB.
C
M
N
B
A
⑴ △ABC就是所求作的三角形。
这个三角形，和同学们所作的三角形进行比较，它们能全等吗？
亲 自 实 践
斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
数学语言：
AB=A B
∵在Rt△ABC和Rt△A B C 中
Rt△ABC≌ Rt△A B C
∴
∟
B
C
A
∟
B
C
A
（HL）
BC=B C
通过刚才的探索，发现工作人员的做法
是完全正确的。
(1)如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.
求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明： ∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C和∠D都是直角。
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
AB=BA （公共边）
AC=BD （已知）
∴Rt△ACB≌ Rt △BDA
∴BC=AD
（HL）
（全等三角形对应边相等）
（2）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？
B
D
A
C
E
实际问题
数学问题
求证：ＤＡ＝ＥＢ。
①ＡＣ＝ＢＣ
②ＣＤ＝ＣＥ
CD 与CE 相等吗？
证明：DA=EB，理由如下：
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A和∠B都是直角。
DC=EC （已证）
AC=BC （已证）
∴Rt△DAC≌ Rt △EBC（HL）
∴ DA=EB
在Rt△DAC和Rt△EBC中，
又∵C是AB的中点，
∴AC=BC
∵C到D、E的速度、时间相同，
∴DC=EC
B
D
A
C
E
（全等三角形对应边相等）
（３）如图，AB=DE，AC⊥BE，DF⊥BE，
BF=EC. 求证：AC=DF.
A
B
E
D
C
F
∵Ｂ F =ＥＣ
∴ＢＦ－ＣＦ=ＥＣ－ＣＦ
即ＢＣ=ＥＦ。
（３）如图，AB=DE，AC⊥BE，DF⊥BE，
BF=EC. 求证：AC=DF.
A
B
E
D
C
F
证明：∵ AC⊥BE，DF⊥BE
　　　∴△ＡＢＣ和△ＤＥＦ都是直角三角形。
又∵ＢF=ＥＣ
　∴ＢＦ－ＣＦ=ＥＣ－ＣＦ
　即ＢＣ=ＥＦ。　　
在Ｒｔ△ＡＣＢ和Ｒｔ△ＤＦＥ中
ＡＢ＝ＤＥ （已知）
ＢＣ＝ＥＦ （已证）
∴Ｒｔ△ＡＣＢ≌Ｒｔ△ＤＦＥ（ＨＬ）
　∴ＡＣ＝ＤＦ（全等三角形的对应边相等）
判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)： ；
(2)： ；
(3)： ；
(4)： ；
SSS
SAS
ASA
AAS
(5)： ；
HL
如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
1.如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
D
A
B
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴ BC=BD
(全等三角形对应边相等).
∵ AB=AB （公共边相等）
AC=AD （已知）
2. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
解：BD=CD
∵　∠ADB=∠ADC=90°
AB=AC
AD=AD
∴　Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴　BD=CD
议一议
3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
∠ABC+∠DFE=90°.
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF(全等三角形对应角相等).
又 ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
∵ BC=EF AC=DF （已知）登陆21世纪教育 助您教考全无忧
【编号】45【姓名】 【课题】 5.7探索直角三角形全等的条件【时间】第 周星期
一、复习回顾
1、判定两个三角形全等的方法有______种，它们分别是：
①________ ②________ ③________ ④________
2、如图：在△ABC中，∠C=90°,则有：∠A＋∠B＝_________；
即直角三角形的两个锐角________。 直角边是_____、_____；
斜边是_____。
以上的四种判别三角形全等的方法能不能用来判别直角三角形全等呢？
_____
二、直角三角形全等的条件
情境问题1：舞台背景的形状是两个直角三角形，
为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否
全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无
法测量。你能帮工作人员想个办法吗？
①若测得 ， ，则利用 可判定全等；
②若测得 ， ，则利用 可判定全等；
③若测得 ， ，则利用 可判定全等；
④若测得 ， ，则利用 可判定全等；
⑤若测得 ， ， ，则利用 可判定全等；
情境问题2：如果工作人员只带了一个卷尺，能完成这项任务吗？
工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？
对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？
动手画一画：
已知线段（），（）和一个直角∠MCN，利用尺规作一个Rt△ABC，使得，，∠C=90°（在要求的纸上作图）
提示：按步骤作图：（1） 作∠MCN=∠α=90°；（2）在射线上截取线段；（3）以点为圆心，为半径画弧，交射线于点；（4）连结
剪下这个三角形，和你的同桌所作的直角三角形进行比较，它们 重合（能或不能），它们 （是或不是）全等三角形。
探索发现的规律是：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.
几何语言：在 和 中
（ ）
三、新知应用
（1）如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：BC=AD.
（2）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？
（3）如图，AB=DE，AC ⊥BE，DF ⊥BE，BF = EC. 求证：AC=DF.
四、小结：判断两个直角三角形全等的方法有：
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
五、练习
1、如图，∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
2、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
3、如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
4、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
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《探索直角三角形全等的条件》
——深圳市龙岗区新梓学校 吕志元
一、概述
《探索直角三角形全等的条件》是义务教育课程标准实验教材北师大版七年级下册第五章第七节的内容，这也是学生在学习三角形全等的条件及作三角形后教材安排的一课时内容。直角三角形的全等在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决实际问题中有着广泛的运用。本节课是探索和掌握直角三角形全等的条件，学好本节课的知识对学生更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都有非常重要地作用。
本节课的重点是掌握判定两个直角三角形全等的条件，运用直角三角形全等的条件来解决实际问题。难点在于探索“HL”，灵活运用直角三角形全等的条件来解决实际问题。增强学生的数学应用能力，将实际问题转化为数学问题。

二、学习目标分析：
1、知识与技能：经历探索直角三角形全等条件的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
2、过程与方法：培养学生用不同的方法探索直角三角形全等的方法，增强学生的数学应用能力。
3、情感、态度和价值观：通过画图、观察、比较、交流的过程逐步探索出最后的结论，培养学生团队合作精神，形成有效的学习策略，体会数学在生活中的运用，树立学好数学的信心。
三、学习者特征分析
本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：
（1）学生是深圳市龙岗区新梓学校七年级学生；
（2）学生已经熟练掌握三角形全等的四种判定方法；
（3）学生对生活中隐含数学问题的事件兴趣浓厚；
（4）学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强。
四、教学策略的选择与设计
从有利于学生积极思维、主动探究出发，我将采用情境导入法、小组讨论法、探究交流法、质疑法等教学方法，将学生自评、学生互评、师生互评贯穿于教学活动始终，调动学生积极性，营造民主、平等、宽松的课堂氛围，使每个学生都有参与的机会，充分体现全员参与、自主探究、合作交流、师生互动、求异创新的新课程理念。（引导——探究——发现）
五、资源
教具：教材、课件（PPT）、电脑、圆规、三角板；
学具：教材、练习本、铅笔、三角板。
六、教学过程
教学过程是教法和学法的具体实践过程，根据教材的特点和学生实际情况，设计采用“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”的模式，安排以下六个环节以完成本节教学：
教学过程：
内容安排、授课步骤 学生主体活动 设计思路与时间安排
一、趣题引入，点明主旨第26届世界大学生运动会将于今年8月在深圳举办，这是个让我们深圳人欢欣的时刻。为了迎接2011年深圳大运会，龙岗区政府决定在大运中心两侧修建两块全等的直角三角形草坪，但只知道一块直角三角形草坪的一条直角边和斜边的长度，施工组想尽快完成这项任务，你能帮他想想办法吗？二、复习回顾，加深体会1、教师提问判定两个三角形全等的方法我们已经学了哪些呢？2、能表述这些方法的含义吗？3、请同学们在教学稿把这几种方法在相应的三角形中标记出来。4、教师提问：以上的四种判别三角形全等的方法能不能用来判别直角三角形全等呢？舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。你能帮工作人员想个办法吗？三、自主探索，分层推进对于同样的情景：舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。如果工作人员只带了一个卷尺，能完成这项任务吗？工作人员是这样做的，他测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是 学生进入了角色学生迅速的说出了判定三角形全等的四种方法：SSS、SAS、ASA和AAS。并能准确的说出每一种方法的具体含义。直角三角形是特殊的三角形，这些方法仍能判定直角三角形全等。学生小组讨论：两直角三角形已具备一个直角对应相等，判定两三角形全等还差二个条件，需要添加。学生将实际问题转化为数学问题：对于两个直角三角形，若满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等吗？ 用这个学生熟悉深圳大运会引入课题，旨在通过修两个全等的直角三角形草坪激发学生的求知欲望。用时约2分钟通过先复习回顾三角形全等的条件，目的在于给出的情景如何添加条件，才能使得这两个直角三角形全等。老师要给学生足够的时间讨论交流，鼓励学生大胆思考。用时约7分钟 卷尺只能测量长度，但是直角三角形的一条直角边不能测量，无法使用SAS判定，能不能改为测量一条直角边和斜边呢？
他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？教师要求学生在纸上进行尺规作图。已知线段（），（）和一个直角∠MCN，利用尺规作一个Rt△ABC，使得，，∠C=90°四、快速反应，知识反馈1、如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.2、如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？要求学生独立或合作，用“HL”解决问题。教师引导学生如何将实际问题转化为数学问题。学生展示答案，老师逐步点评。 通过作图比较，探索出直角三角形的判定方法。一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等。独立思考后，由学生尝试说出已知条件以及求证的结论，再有学生到黑板上板书。实际问题转化为数学问题解决问题 在讲学稿上书写完整的解题过程 通过自己动手作图，和小组通的所作的图进行比较，从而探索出斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。用时约15分钟这是对知识的类比迁移，巩固了学生对用HL解决现实问题的方法。使学生由“一回生”过渡到“二回熟”。形成解决实际问题的一般性策略。用时约12分钟
五、反思小结，形成认知1、老师引导性提问：通过以上几个例题的求解过程，你们有什么感受呢？2、老师小结：判断两个直角三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL六、作业布置，巩固新知1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？2、如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。3、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ 学生小结：今天解决的题目都非常有趣；我们可以用HL解决实际问题，这样更清晰，更容易理解；要解决实际问题首先要抽象为数学问题； 用HL来解决实际问题的关键是找出一条直角边和斜边对应相等；……学生完成作业。 通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，加深了用“HL”解决实际问题”的实质把握，既是找斜边和直角边对应相等解决实际问题，形成解决实际问题的一般性策略。用时约3分钟在完成基础型练习题后，根据 “不同学生有不同发展需要”的思想，设计了三个层次的选作题，使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。用时约1分钟
趣题引入，点明主旨
复习回顾，加深体会
自主探索，分层推进
快速反应，知识反馈
反思小结，形成认知
作业布置，巩固新知
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