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专题07
三角函数
重点题型
题型一、角度值与弧度制
1．弧度与角度的换算
．
2．弧长公式
，其中的单位是弧度，与的单位要统一.
角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
3．扇形的面积公式
.
角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
题型二、三角函数的概念
1．利用三角函数的定义求角的三角函数值
设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．
注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.
2．三角函数值在各象限内的符号
三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．象限角和终边相同的角的判断及表示方法
（1）已知θ所在的象限，求或nθ（nN
）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN
）所在的象限．
（2）象限角的判定有两种方法：
一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；
二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．
（3）由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.
题型三、三角函数公式
1．同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：；变形：；
（2）商的关系：；变形：；
注意：①利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．②的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.
2．诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α（k∈Z）
π+α
?α
π?α
?α
+α
正弦
sin
α
?sinα
?sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos
α
?cosα
cosα
?cosα
sinα
?sinα
正切
tan
α
tanα
?tanα
?tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
注意：常见的互余关系有与，与，与等；
常见的互补关系有与，与等.
3．两角和与差的三角函数公式
（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
；
；
；
；
.
常见变形：；
.
（2）二倍角公式
①
常见变形：；
②
常见变形：；；；；；；
③.
（3）辅助角公式：，其中，
.
（4）半角公式：；；
.
题型四、三角函数的图象与性质
1．三种三角函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当时，；
当时，．
当时，；
当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
,奇函数
，偶函数
，奇函数
单调性
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称图形.
2．三角函数的图象变换
对函数y=sin
x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.如下图：
考点集训
一、单选题
1．下列各角中，与终边相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知是第二象限角，角的终边经过点，则为（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点A(1，-3)，则=（
）
A．
B．
C．1
D．-1
6．掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（
）米．
A．
B．
C．
D．
7．函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数的图象经过点，则下列命题是真命题的是（
）
A．函数在上单调递增.
B．函数的图象的一个对称中心是.
C．是函数的一个周期.
D．函数的图象的对称轴方程为（）.
9．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数的图像向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．π
D．2π
二、多选题
11．为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（
）
A．向左平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
12．已知函数，则（
）
A．
B．的最大值为
C．是奇函数
D．的最小值为
13．已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知函数在上的值域为，则实数的值可能取（
）
A．1
B．
C．
D．2
15．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（
）
A．
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象可由图象向右平移个单位长度得到
16．已知函数图象的一条对称轴为，，且在内单调递减，则以下说法正确的是（
）
A．是其中一个对称中心
B．
C．在单増
D．
17．已知函数，则下列结论正确的是（
）
A．的图象关于点对称
B．在上的值域为
C．若，则，
D．将的图象向右平移个单位长度得的图象
三、填空题
18．已知，则，则________，________．
19．已知，若，则_________.
20．方程实数根的个数为___________.
21．已知，为锐角，且，则的最大值是___________.
22．已知函数()，若存在，，对任意，，则的取值范围是___________.
23．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，若，则__________.
四、解答题
24．已知角的终边经过点().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
25．已知，，且．
（1）求角的大小；
（2），给出的一个合适的数值使得函数的值域为．
26．设函数
（1）当时，求的值域；
（2）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且存在，使，求的值．
27．在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，__________，求在上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
28．已知函数的图象与y轴的交点坐标为(0，1)
（1）求的值；
（2）将图象向左平移个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，求函数的最大值.
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三角函数
重点题型
题型一、角度值与弧度制
1．弧度与角度的换算
．
2．弧长公式
，其中的单位是弧度，与的单位要统一.
角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
3．扇形的面积公式
.
角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.
题型二、三角函数的概念
1．利用三角函数的定义求角的三角函数值
设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．
注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.
2．三角函数值在各象限内的符号
三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．象限角和终边相同的角的判断及表示方法
（1）已知θ所在的象限，求或nθ（nN
）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ（nN
）所在的象限．
（2）象限角的判定有两种方法：
一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；
二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．
（3）由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.
题型三、三角函数公式
1．同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：；变形：；
（2）商的关系：；变形：；
注意：①利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．②的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.
2．诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α（k∈Z）
π+α
?α
π?α
?α
+α
正弦
sin
α
?sinα
?sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos
α
?cosα
cosα
?cosα
sinα
?sinα
正切
tan
α
tanα
?tanα
?tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
注意：常见的互余关系有与，与，与等；
常见的互补关系有与，与等.
3．两角和与差的三角函数公式
（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
；
；
；
；
.
常见变形：；
.
（2）二倍角公式
①
常见变形：；
②
常见变形：；；；；；；
③.
（3）辅助角公式：，其中，
.
（4）半角公式：；；
.
题型四、三角函数的图象与性质
1．三种三角函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当时，；
当时，．
当时，；
当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
,奇函数
，偶函数
，奇函数
单调性
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称图形.
2．三角函数的图象变换
对函数y=sin
x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.如下图：
考点集训
一、单选题
1．下列各角中，与终边相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：D.
2．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A．的最小正周期为，不符合；
B．记，所以，且定义域为，所以为偶函数，不符合；
C．，显然为偶函数，不符合；
D．最小正周期为，且为奇函数，符合，
故选：D.
3．已知是第二象限角，角的终边经过点，则为（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【解析】，，又为第二象限角，
，，点位于第四象限，
角的终边经过点，为第四象限角.
故选：D.
4．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：A.
5．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点A(1，-3)，则=（
）
A．
B．
C．1
D．-1
【答案】B
【解析】由题知，则.
故选：B
6．掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（
）米．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意作出下图，弧的长为，，
所以．
故选：C．
7．函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，，其定义域为，
有，为偶函数，函数图象关于轴对称，排除，
又由，则，即的值域为，，因为，所以，排除、，故选：．
8．已知函数的图象经过点，则下列命题是真命题的是（
）
A．函数在上单调递增.
B．函数的图象的一个对称中心是.
C．是函数的一个周期.
D．函数的图象的对称轴方程为（）.
【答案】C
【解析】因为函数的图象经过点，所以，
又，所以，故.
对于：因为在上单调递增，而时，不是的子区间，故错误；
对于：当时，，故错误；
对于：函数的最小正周期为，所以为函数的周期，故正确；
对于：令，解得，故错误．
故选：C．
9．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，
因为且，则，
因为函数在上无零点，故，
所以，，解得，
由，解得，
，当时，可得，当时，可得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
10．已知函数的图像向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．π
D．2π
【答案】B
【解析】因为的图像向右平移个单位得，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半得到，
因为，所以或，因为与都是波峰或波谷的横坐标，所以，故选：B．
二、多选题
11．为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（
）
A．向左平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
【答案】BC
【解析】，
，
∴向左平移个单位或向右平移个单位得到.
故选：BC
12．已知函数，则（
）
A．
B．的最大值为
C．是奇函数
D．的最小值为
【答案】AB
【解析】由题意，函数，
可得，所以A正确；
由，
当且仅当时等号成立，故B正确；
由，所以，所以C不正确；
由，所以D不正确.
故选：AB
13．已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】因为为第一象限角，所以，，
因为，所以，
所以是第二象限角，所以，
为第三象限角，
所以，，
因为，所以是第二象限角或第三象限角，
当是第二象限角时，，
此时
，
当是第三象限角时，，
此时
，
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角恒等变换的问题，正确解题的关键是在利用平方关系求角的正余弦值时，注意分析角终边的位置，注意符号的选取.
14．已知函数在上的值域为，则实数的值可能取（
）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】ABC
【解析】，
因为，所以，
又函数在上的值域为，，
所以由正弦函数的对称性，只需，则，
因此ABC都可能取得，D不可能取得.
故选：ABC.
15．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（
）
A．
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象可由图象向右平移个单位长度得到
【答案】AC
【解析】
由图象可知，所以，所以，故A选项正确
函数的解析式为，
令得：，
故的单调增区间为，故B选项错误
因为，故C选项正确
因为图象可由图象向左平移个单位长度得到，故D选项错误
故选：AC
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，关键是求待定系数ω和φ，一般是由周期求出ω；由图象上的最高(低)点或者零点确定
φ值.
16．已知函数图象的一条对称轴为，，且在内单调递减，则以下说法正确的是（
）
A．是其中一个对称中心
B．
C．在单増
D．
【答案】AD
【解析】∵f(x)关对称，，f(x)在单调递减，
，B错误；
令，可得
当时，即关于对称，A正确；
令得
∴在单调递増，即C错误；
，D正确，
故选：AD.
17．已知函数，则下列结论正确的是（
）
A．的图象关于点对称
B．在上的值域为
C．若，则，
D．将的图象向右平移个单位长度得的图象
【答案】BD
【解析】由题得，，
令，则，，故A项错误，
当时，，，故B项正确，
因为的周期，所以若，则，，故C项错误，
将的图象向右平移个单位长度得的图象，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
18．已知，则，则________，________．
【答案】
【解析】，所以，
，
解得：，因为，
所以.
故答案为：；
19．已知，若，则_________.
【答案】
【解析】，有，又，则，
，，，
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：给值求值的三角问题，探讨角的关系是解题的关键.
20．方程实数根的个数为___________.
【答案】2
【解析】因为，所以，即，
因此，解得（舍）或，又因为，
所以或，所以方程实数根的个数为2个，
故答案为：2.
21．已知，为锐角，且，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，
两边同除以，得
，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故答案为：
22．已知函数()，若存在，，对任意，，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】，
.
因为对任意，，所以，，
即，
因为，所以，，
所以.
故答案为：
23．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，若，则__________.
【答案】
【解析】函数是奇函数，则，
因为的最小正周期为，所以，
将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
所得图像对应的函数为，
又，所以，解得，
所以
所以.故答案为：
四、解答题
24．已知角的终边经过点().
（1）求的值；
（2）若是第二象限角，求的值.
【解析】（1）,
,
即
.
又角的终边经过点()，
，
故；
（2）是第二象限角，
，
则，
，
.
25．已知，，且．
（1）求角的大小；
（2），给出的一个合适的数值使得函数的值域为．
【解析】（1）因为，
所以，
又，所以，
可得或，可得或，
又，所以．
（2），
，
，
当时，，
当时，，
所以由题意可得，可得，
所以即可，的值可取．
26．设函数
（1）当时，求的值域；
（2）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且存在，使，求的值．
【解析】（1）
的值域为
（2）
又，
27．在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，__________，求在上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】
．
①若是函数图象的一条对称轴，
则，，即，，
得，，
又，∴当时，，．
②若是函数的一个零点，
则，即，，
得，．
又，∴当时，，所以，．
③若在上单调递增，且的最大值为．
则，故，所以．
由，，
得，，
令，得，令，得，
又，
所以在上的单调递减区间为，．
28．已知函数的图象与y轴的交点坐标为(0，1)
（1）求的值；
（2）将图象向左平移个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，求函数的最大值.
【解析】（1）由题意，函数，
可得，即，因为，所以.
（2）由（1）可知，函数，
将图象向左平移个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标不变，可得，
所以
，
当时，函数取得最大值，最大值为.
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