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第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
学案
一、学习目标
1. 理解直线与圆的三种位置关系.
2. 会用定义来判断直线与圆的位置关系.
二、基础梳理
直线与圆的三种位置关系：
（1）直线与圆__________，有两个公共点；
（2）直线与圆__________，只有一个公共点；
（3）直线与圆__________，没有公共点.
三、巩固练习
1.直线与圆的位置关系为( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
2.直线和圆的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.与有关
3.圆截直线所得的弦长等于( )
A. B. C.1 D.5
4.已知直线与圆相切，则( )
A. B.1 C. D.或1
5.直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.若直线与圆没有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.若圆上有且只有一点到直线的距离为1，则实数的值为( )
A.4 B.16 C.4或16 D.2或4
8.若直线与圆相离，则实数k的取值范围是_____________.
9.过点且和圆相切的直线方程为_________________.
10.在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船，正沿北偏西（为锐角）角方向航行，速度大小为40 km/h.已知距离风暴中心180 km以内的水域受其影响.
（1）若轮船不被风暴影响，求角的正切值的最大值；
（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续的时间.
11.已知圆，直线.
（1）求证：直线过定点，且直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程.
参考答案
基础梳理
相交；相切；相离
巩固练习
1.答案：B
解析：圆心到直线的距离.因为，故直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.
2.答案：C
解析：因为直线的方程可化为，所以直线恒过定点，而在圆内，故直线过圆内的点，则直线与圆相交，且有2个交点.故选C.
3.答案：A
解析：圆的方程可化为，则圆的半径，圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.
4.答案：D
解析：圆的圆心坐标为，半径为.根据题意，得，即，解得或.故选D.
5.答案：D
解析：因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，故选D.
6.答案：D
解析：将圆的方程化为标准方程，得，则圆心坐标为，半径为1.因为直线与圆无公共点，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即，解得或，即实数的取值范围是.故选D.
7.答案：A
解析：由题意知直线与圆相离，则有，解得，故选A.
8.答案：
解析：直线的方程化为一般式为，圆的圆心坐标是，半径是2.因为直线和圆相离，所以圆心到直线的距离，解得，所以实数k的取值范围是.
9.答案：或
解析：圆的方程可化为，圆心为，半径，则圆心到切线的距离.若切线的斜率不存在，则直线的方程为，直线与圆相切，符合题意；若切线的斜率存在，设直线的方程为，即，此时有，解得，此时直线的方程为，即.
故答案为或.
10.答案：（1）根据题意画出图形，如图所示，
则圆的方程为，
设过点的直线方程为，，即，
则圆心到直线的距离为，
化简得，
解得（正值舍去），
，，
，
若轮船不被风暴影响，则角的正切值的最大值为.
（2）若轮船航行方向为北偏西45°，则直线方程为，
则圆心O到该直线的距离，
弦长为，
则轮船被风暴影响持续的时间为.
11.答案：（1）将点的坐标代入直线的方程，
得左边右边，所以直线过定点.
因为，所以点在圆内，
所以对任意的实数，直线与圆恒相交.
（2）由平面几何的知识可得，被圆截得的弦最短时与直径垂直，
因为，所以此时直线的斜率，
所以直线的方程为，即.

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