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第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
教学设计
一、教学目标
1. 理解直线与圆的三种位置关系.
2. 会用定义来判断直线与圆的位置关系.
二、教学重难点
1. 教学重点
直线与圆的三种位置关系.
2. 教学难点
直线与圆的三种位置关系的性质与判定的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1：直线与圆有哪些位置关系？如何用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系？
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
问题2：如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
（二）探索新知
在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
解法1：联立直线l与圆C的方程，得，
消去y，得，解得.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
把分别代入方程①，得.
所以，直线l与圆C的两个交点是.
因此.
解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心到直线l的距离.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理，得.
例2 过点作圆的切线l，求切线l的方程.
解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即.
由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得，解得或.
因此，所求切线l的方程为，或.
解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为.
因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.
消元，得.①
因为方程①只有一个解，所以，解得或.
所以，所求切线l的方程为，或.
过一点作圆的切线，切线的条数由该点的位置确定：若点在圆外，则切线有两条；若点在圆上，则切线只有一条；若点在圆内，则无切线.
例3 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为.
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为. 轮船航线所在直线l的方程为，即.
联立直线l与圆O的方程，得.
消去y，得.
由，可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
（三）课堂练习
1.直线与圆的位置关系为( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
答案：B
解析：圆心到直线的距离.因为，故直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.
2.圆截直线所得的弦长等于( )
A. B. C.1 D.5
答案：A
解析：圆的方程可化为，则圆的半径，圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.
3.已知直线与圆相切，则( )
A. B.1 C. D.或1
答案：D
解析：圆的圆心坐标为，半径为.根据题意，得，即，解得或.故选D.
4.过点且和圆相切的直线方程为_________________.
答案：或
解析：圆的方程可化为，圆心为，半径，则圆心到切线的距离.若切线的斜率不存在，则直线的方程为，直线与圆相切，符合题意；若切线的斜率存在，设直线的方程为，即，此时有，解得，此时直线的方程为，即.
故答案为或.
5.已知圆，直线.
（1）求证：直线过定点，且直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程.
答案：（1）将点的坐标代入直线的方程，
得左边右边，所以直线过定点.
因为，所以点在圆内，
所以对任意的实数，直线与圆恒相交.
（2）由平面几何的知识可得，被圆截得的弦最短时与直径垂直，
因为，所以此时直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（四）小结作业
小结：直线与圆的三种位置关系.
作业：
四、板书设计
2.5.1 直线与圆的位置关系
直线与圆的三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.

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