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几何体的外接球
几何体的外接球核心是球心与半径，只要抓住了球心，知道了半径，一切都OK！
可还原的几何体
正方体的外接球：
长方体的外接球：
墙角（三个直角）：长方体
正四面体：正方体
对棱相等的四面体：长方体
例1
【2017深二模】
已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，
则三棱锥的外接球的表面积为(
)
（A）64π
（B）68π
（C）72π
（D）100π
例2
【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
例3
【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．
跟踪：
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.
2.已知是球上的点，
,
，
,则球的表面积等于________________．
3．【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A．
B．
C．
D．
4.【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．
5.在三棱锥中，,则三棱锥外接球的表面积为____________.
不易还原的几何体
当不容易还原时，球心可能在三个地方出现：
最长棱的中点：对着多个直角+到各个顶点的距离相等
某一个面的外心：正弦定理求直径
在空间：一般模型，球心在过某一个面的外心得垂线上，满足下面两个公式：
，其中R为外接球的半径，h为几何体的高，为，M为垂线的垂足.
例1
在矩形中，＝4，＝3，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
（
）
A.
B.
C.
D.
例2
（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
例3
（2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．
例4（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．
B．
C．
D．
跟踪：1.在矩形ABCD中，,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥的外接球的表面积为_______.
2.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（
）
A．
B．
C．1
D．
3.(
2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．
B．
C．
D．
4.（2013年全国普通高等学校招生统一考试））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
A．
B．
C．
D．
5.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
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几何体的外接球
几何体的外接球核心是球心与半径，只要抓住了球心，知道了半径，一切都OK！
可还原的几何体
正方体的外接球：
长方体的外接球：
墙角（三个直角）：长方体
正四面体：正方体
对棱相等的四面体：长方体
例1
【2017深二模】
已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，
则三棱锥的外接球的表面积为(
)
（A）64π
（B）68π
（C）72π
（D）100π
解析：D
例2
【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，
则，
∴三棱锥外接球的半径
∴三棱锥外接球的表面积为．
故选：C．
例3
【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】
因为，所以，
所以，同理，
故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，
则且，所以，
当平面时，平面截球的截面面积最小，
此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为．填．
跟踪：
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.
【答案】
【详解】长方体的体对角线长为球的直径，则
，
，则球的表面积为.
2.已知是球上的点，
,
，
,则球的表面积等于________________．
【答案】
【解析】
由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以
，又，
，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为，
,所以，所以球的表面积.
3．【山东省济宁市2019届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图所示，将直三棱柱补充为长方体，
则该长方体的体对角线为，
设长方体的外接球的半径为，则，,
所以该长方体的外接球的体积，
故选C.
4.【四川省德阳市2018届高三二诊】正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．
【答案】
【解析】
如图，
设正四面体ABCD的棱长为，过A作AD⊥BC，
设等边三角形ABC的中心为O，则，
，
，即．
再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，
则，即．
∴正四面体ABCD的外接球的体积为.
故答案为：．
5.在三棱锥中，,则三棱锥外接球的表面积为____________.
解析：补形为长方体，三个长度为相邻三个面的对角线长，设长方体的长宽高分辨为a,b,c,则。，
，,
.
不易还原的几何体
当不容易还原时，球心可能在三个地方出现：
最长棱的中点：对着多个直角+到各个顶点的距离相等
某一个面的外心：正弦定理求直径
在空间：一般模型，球心在过某一个面的外心得垂线上，满足下面两个公式：
，其中R为外接球的半径，h为几何体的高，为，M为垂线的垂足.
例1
在矩形中，＝4，＝3，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：取AC的中点O，则OA=OB=OC=OD=，故其外接球的半径为，所以四面体的外接球的体积.
例2
（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A
例3
（2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．
【答案】36π
【详解】三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，
若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S?ABC的体积为9，
可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，
可得
，解得r=3.
球O的表面积为：
例4（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
解法一：倒置墙角还原几何体：秒杀
解法二:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即
，故选D．
解法三:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
跟踪：1.在矩形ABCD中，,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥的外接球的表面积为_______.
解析：BD的中点是球心O,
.
2.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
3.(
2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】：作图，D为MO
与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
4.（2013年全国普通高等学校招生统一考试））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=，
∴，
∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，
∴．
5.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
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