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3．2　等式的性质
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【旧知再现】
1．合并同类项法则：合并时，将
相加，字母和字母指数
．
2．括号前面是正号，括号去掉后，括号内的所有项都
；
括号前面是负号，括号去掉后，括号内的所有项都要
．
3．化简：(1)(2x－4y)＋2y＝
＋2y＝
；
(2)(2xy－y)－(－y＋xy)＝
＝
．
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【新知初探】
阅读教材P87【动脑筋】，解决以下问题：
1．思考、交流、猜想
(1)今年小明的年龄是x岁，小亮的年龄是y岁，如果这两名同学是同龄人，即
，那么10年之后，小明的年龄是
，小亮的年龄是
，他们那时的年龄
，即
.
那么3年之前，小明的年龄是
，小亮的年龄是
，他们那时的年龄
，即
．
(2)如图，设石块重x
g，则可以得到等式
，若在天平的左边再放相等重量的石块，要保持天平平衡，必须在天平的右边再放砝码
g，即得到等式
．
2．你发现的规律是：
(1)等式性质1：等式两边都
(或
)同一个数(或式)，所得结果仍是
．
即：如果a＝b，那么a±c＝b
(c为一个数或一个式子).
(2)等式性质2：等式两边都
(或
)同一个数(或式)(除数或除式不能为
)，所得结果仍是等式．
即：如果a＝b，那么ac＝
；如果a＝b，那么＝(d≠0).
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【图表导思】
请根据提示完善以下表格内容：
变形前
变形后
变形依据
m＝n
m－10＝n－10
(1)
x＝y
－2x＝－2y
(2)
x＝y
6＋3x＝6＋3y
(3)
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【质疑判断】
1．若x＝y，则x－5＝y－5.(　
　)
2．若mx＝my,
则x＝y.(　
　)
3．若－2x＝5，则x＝－.(　
)
4．若5x－6＝－2x－8，则5x＋2x＝8＋6.(　
　)
5．若＋＝1，则2x＋3y＝1.(　
　)
6．若m2＝n2，则m＝n.(
　)
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"../知识点一.TIF"

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　用等式的性质进行变形
【P88例2拓展】——等式变形的依据
　怎样从等式m－3＝m，得到m＝－6?
【完善解答】两边都乘以2，
得
，等式性质2
然后在等式两边都
，等式性质1
得－6＝m，即
．方程两边交换位置
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"../标.TIF"

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【归纳提升】
等式变形的三个注意
1．等式变形时，必须根据等式的性质1或性质2，对等式两边同时进行相同的四则运算，等式才能成立．
2．等式两边都除以同一个数(或同一个式子)时，这个除数不能是0.
3．熟练掌握互为相反数的两数之间的关系和互为倒数的两数之间的关系，有助于等式的灵活变形．
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变式一：巩固
已知等式a＝b，则下列式子中不成立的是(
)
A．a－1＝b－1
B．＝
C．3a＝3b
D．a－1＝b＋1
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变式二：提升
下面方程变形中，错在哪里：
(1)由2＋x＝－4，得x＝－4＋2.
(2)由9x＝－4，得x＝－.
(3)由5＝x－3，得x＝－3－5.
(4)由＝1－，得3x－2＝5－4x＋1.
(5)方程2x＝2y两边都减去x＋y，得2x－(x＋y)＝2y－(x＋y)，即x－y＝－(x－y).方程x－y＝－(x－y)两边都除以x－y，得1＝－1.
(6)由＝＋2x，得3(3－7x)＝2(2x＋1)＋2x.
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"../知识点二.TIF"

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　用等式性质求代数式的值
【P89B组拓展】——整体代入法求代数式值
　已知代数式14x＋5－21x2的值为－2，求6x2－4x＋5的值．
【完善解答】由14x＋5－21x2＝－2，两边都减去5，
得14x－21x2＝
等式性质1
两边都除以7，
得
＝
等式性质2
两边都除以－1，得
3x2－2x＝
等式性质2
所以6x2－4x＋5
＝
＋5去括号的逆运算
＝
＋5整体代入求值
＝
．
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【归纳提升】
求代数式值中的两种变形
第一种变形：对已知代数式变形；
第二种变形：对所求代数式变形．
在求代数式值时，无论是第一种变形，还是第二种变形，都是根据等式的性质变形而来的，然后用常数把代数式替换，从而求得代数式的值．
变式一：巩固
已知x＋2y＝1，则代数式3x＋4y＋3的值为(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
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变式二：提升
已知3x－y－2＝0，求代数式5(3x－y)2－9x＋3y－13的值．
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【火眼金睛】
　用等式的性质进行变形．
x－4＝3x－4.
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【一题多变】
已知x－3y＝－2，则5－x＋3y的值是(
)
A．7
B．6
C．3
D．－7
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【母题变式】
【变式一】(变换条件)已知2x－6y＝－2，则5－x＋3y的值是
．
【变式二】(变换条件、问法)已知3x－9y－6＝－9，则5－x＋y的值是
．
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【思想体现——整体思想方法】
【阅读】整体思想方法是指利用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题．从整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘考虑的整体观念．
【应用】整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．
【典例】已知－x＋2y＋4＝7，求代数式4x－8y＋6的值．
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-3．2　等式的性质
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【旧知再现】
1．合并同类项法则：合并时，将
系数
相加，字母和字母指数
不变
．
2．括号前面是正号，括号去掉后，括号内的所有项都
不变
；
括号前面是负号，括号去掉后，括号内的所有项都要
改变符号
．
3．化简：(1)(2x－4y)＋2y＝
x－2y
＋2y＝
x
；
(2)(2xy－y)－(－y＋xy)＝
2xy－y＋y－xy
＝
xy
．
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【新知初探】
阅读教材P87【动脑筋】，解决以下问题：
1．思考、交流、猜想
(1)今年小明的年龄是x岁，小亮的年龄是y岁，如果这两名同学是同龄人，即
x＝y
，那么10年之后，小明的年龄是
x＋10
，小亮的年龄是
y＋10
，他们那时的年龄
相等
，即
x＋10＝y＋10
.
那么3年之前，小明的年龄是
x－3
，小亮的年龄是
y－3
，他们那时的年龄
相等
，即
x－3＝y－3
．
(2)如图，设石块重x
g，则可以得到等式
x＝250
，若在天平的左边再放相等重量的石块，要保持天平平衡，必须在天平的右边再放砝码
250
g，即得到等式
2x＝500
．
2．你发现的规律是：
(1)等式性质1：等式两边都
加上
(或
减去
)同一个数(或式)，所得结果仍是
等式
．
即：如果a＝b，那么a±c＝b
±c
(c为一个数或一个式子).
(2)等式性质2：等式两边都
乘
(或
除以
)同一个数(或式)(除数或除式不能为
0
)，所得结果仍是等式．
即：如果a＝b，那么ac＝
bc
；如果a＝b，那么＝(d≠0).
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【图表导思】
请根据提示完善以下表格内容：
变形前
变形后
变形依据
m＝n
m－10＝n－10
(1)
x＝y
－2x＝－2y
(2)
x＝y
6＋3x＝6＋3y
(3)
答案：(1)根据等式性质1，在等式两边同时减去10，结果仍是等式；
(2)根据等式性质2，在等式两边同时乘以－2，结果仍是等式；
(3)根据等式性质1和2，在等式两边同时乘以3，然后再两边同时加6，结果仍是等式．
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【质疑判断】
1．若x＝y，则x－5＝y－5.(　√　)
2．若mx＝my,
则x＝y.(　×　)
3．若－2x＝5，则x＝－.(　×　)
4．若5x－6＝－2x－8，则5x＋2x＝8＋6.(　×　)
5．若＋＝1，则2x＋3y＝1.(　×　)
6．若m2＝n2，则m＝n.(　×　)
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　用等式的性质进行变形
【P88例2拓展】——等式变形的依据
　怎样从等式m－3＝m，得到m＝－6?
【完善解答】两边都乘以2，
得
m－6＝2m
，等式性质2
然后在等式两边都
减去m
，等式性质1
得－6＝m，即
m＝－6
．方程两边交换位置
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【归纳提升】
等式变形的三个注意
1．等式变形时，必须根据等式的性质1或性质2，对等式两边同时进行相同的四则运算，等式才能成立．
2．等式两边都除以同一个数(或同一个式子)时，这个除数不能是0.
3．熟练掌握互为相反数的两数之间的关系和互为倒数的两数之间的关系，有助于等式的灵活变形．
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变式一：巩固
已知等式a＝b，则下列式子中不成立的是(D)
A．a－1＝b－1
B．＝
C．3a＝3b
D．a－1＝b＋1
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变式二：提升
下面方程变形中，错在哪里：
(1)由2＋x＝－4，得x＝－4＋2.
(2)由9x＝－4，得x＝－.
(3)由5＝x－3，得x＝－3－5.
(4)由＝1－，得3x－2＝5－4x＋1.
(5)方程2x＝2y两边都减去x＋y，得2x－(x＋y)＝2y－(x＋y)，即x－y＝－(x－y).方程x－y＝－(x－y)两边都除以x－y，得1＝－1.
(6)由＝＋2x，得3(3－7x)＝2(2x＋1)＋2x.
解：(1)错在数2从方程等号的左边移到右边时没有变号.
(2)错在被除数与除数颠倒(或分子与分母颠倒).
(3)错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由5＝x－3，得5＋3＝x，即x＝5＋3.
(4)没有注意到分数中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的各项都乘以5时，＋1没有变号．
(5)错在第二步，方程两边都除以x－y，由等式性质2要除以不为零的数．
(6)错在2x没乘以公分母6.
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　用等式性质求代数式的值
【P89B组拓展】——整体代入法求代数式值
　已知代数式14x＋5－21x2的值为－2，求6x2－4x＋5的值．
【完善解答】由14x＋5－21x2＝－2，两边都减去5，
得14x－21x2＝
－7
等式性质1
两边都除以7，
得
2x－3x2
＝
－1
等式性质2
两边都除以－1，得
3x2－2x＝
1
等式性质2
所以6x2－4x＋5
＝
2(3x2－2x)
＋5去括号的逆运算
＝
2
＋5整体代入求值
＝
7
．
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【归纳提升】
求代数式值中的两种变形
第一种变形：对已知代数式变形；
第二种变形：对所求代数式变形．
在求代数式值时，无论是第一种变形，还是第二种变形，都是根据等式的性质变形而来的，然后用常数把代数式替换，从而求得代数式的值．
变式一：巩固
已知x＋2y＝1，则代数式3x＋4y＋3的值为(B)
A．4
B．5
C．6
D．7
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变式二：提升
已知3x－y－2＝0，求代数式5(3x－y)2－9x＋3y－13的值．
解：当3x－y－2＝0，即3x－y＝2时，
5(3x－y)2－9x＋3y－13
＝5(3x－y)2－3(3x－y)－13
＝5×22－3×2－13
＝20－6－13
＝1.
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
　用等式的性质进行变形．
x－4＝3x－4.
正解：方程两边都加4得：x－4＋4＝3x－4＋4，
化简得：x＝3x，方程两边都减去3x，得，
x－3x＝0，所以－2x＝0，
方程两边都除以－2，得，x＝0.
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【一题多变】
已知x－3y＝－2，则5－x＋3y的值是(A)
A．7
B．6
C．3
D．－7
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【母题变式】
【变式一】(变换条件)已知2x－6y＝－2，则5－x＋3y的值是
6
．
【变式二】(变换条件、问法)已知3x－9y－6＝－9，则5－x＋y的值是
5
．
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【思想体现——整体思想方法】
【阅读】整体思想方法是指利用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题．从整体出发的处理方法，体现了一种着眼全局、通盘考虑的整体观念．
【应用】整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．
【典例】已知－x＋2y＋4＝7，求代数式4x－8y＋6的值．
解：在－x＋2y＋4＝7的两边同时减去4，得－x＋2y＝3.
4x－8y＋6＝－4(－x＋2y)＋6＝－4×3＋6＝－6.
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