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北师大版
八年级上
第七章
平行线的证明
7.5
三角形内角和定理
第1课时
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）
2.应用三角形内角和定理解决相关问题.（难点）
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
新课导入
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
【思考】除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
【探究】在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形的内角和定理的证明
新课讲解
【验证】三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1，
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴
∠A=∠1
，
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴
∠C=∠EDB,∠B=∠FDC，
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴
∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
【想一想】同学们还有其他的方法吗？
【思考】多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
★思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
★作辅助线
【例1】
如图，在△ABC中,∠BAC=40
°,∠B=75
°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40
°,
AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD=
∠BAC=20
°.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
例题讲解
【例2
】
如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
【例3】
在△ABC
中，
∠A
的度数是∠B
的度数的3倍，∠C
比∠B
大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解:
设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x
＋
15)°，
从而有
3x
＋
x
＋(x
＋
15)＝
180.
解得
x
＝
33.
所以
3x
＝
99
，
x
＋
15
＝
48.
答：
∠A，
∠B，
∠C的度数分别为99°，
33°，
48°.
几何问题借助方程来解.
这是一个重要的数学思想.
2.在△ABC中，∠A
:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形
.
1.在△ABC中，∠A=35°，∠
B=43
°，则∠
C=
.
3.在△ABC中，
∠A=
∠B+10°,
∠C=
∠A
+
10°,
则
∠A=
，
∠
B=
，∠
C=
.
102°
直角
60°
50°
70°
随堂训练
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180
°
课堂小结
1.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
当堂检测
2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______
.
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280
°
3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE
=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=
（∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
【变式题】如图,
BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，你能写出∠BPC与∠A
之间的数量关系吗？
解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=
(∠ABC+∠ACB)=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°－
（∠ABC+∠ACB）
=180°－
（180°－∠A）=
90°+
∠A
．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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