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2022年高考1年真题与1年全真模拟训练卷（新高考地区专用）
专题20
抛物线
2021年高考真题
1．（2021·全国高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（
）
A．1
B．2
C．
D．4
2．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．3
3．（2021·北京高考真题）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．
4．（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
5．（2021·江苏高考真题）以抛物线的焦点为圆心，且与直线(为参数）相切的圆的标准方程是____________.
6．（2021·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
7．（2021·浙江高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A?B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
8．（2021·全国高考真题（文））抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
2022年模拟训练
一、单选题
9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（
）
A．1
B．
C．2
D．3
10．（2021·四川高三零模（文））设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点.若，且的面积为，则点到准线的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知抛物线的焦点为F，直线l为准线，点E在拋物线上.若点E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．1
12．抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
13．已知抛物线：的焦点为，准线为，直线：，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，，为坐标原点，则当最小时，（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2021·四川高三零模（理））已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
15．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（
）
A．准线方程为
B．焦点坐标
C．点的坐标为
D．的长为3
16．（2021·山东烟台二中高三三模）已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，，直线与拋物线交于点，下列结论正确的是（
）
A．的最小值为4
B．若直线过点，则以为直径的圆与轴相切
C．存在直线，使得两点关于直线对称
D．设拋物线准线与轴交点为，若直线过点，则有
17．（2021·河北衡水中学高三模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点(其中在的上方)，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，.则（
）
A．
B．若，是线段的三等分点，则直线的斜率为
C．若，不是线段的三等分点，则一定有
D．若，不是线段的三等分点，则一定有
三、填空题
18．（2021·福建三明一中高三模拟）以抛物线的焦点为圆心，且以双曲线的一条渐近线相切的圆的方程__________．
19．（2021·合肥市第六中学高三模拟（文））已知抛物线：的焦点为，圆，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为___________.
20．（2021·广东高三模拟）焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则的取值范围是___________.
四、解答题
21．（2021·内蒙古高三二模（理））如图，抛物线的焦点为F，四边形DFMN是边长为1的正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点（直线l不垂直于x轴），交直线ND于第三象限的点C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线MA，MB，MC的斜率分别记为判断是否是定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．
22．（2021·上海高三模拟）已知椭圆：与抛物线：在第一象限交于点，，分别为的左?右顶点.
（1）若，且，求的焦点坐标；
（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；
（3）设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标
参考答案
1．B
【解析】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
2．A
【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
3．5
【解析】因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5，.
4．
5．
【解析】解：将抛物线方程化为标准方程得，所以焦点坐标为，
将直线的参数方程化为普通方程得，
所以点到直线的距离为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：
6．（1）；（2）最大值为.
【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
7．（1）；（2）.
【解析】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
8．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【解析】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
9．C
【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为,
,
∴，
故选：C.
10．D
【解析】如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，
过抛物线上一点作的垂线，垂足为，可得，
又由且，所以，
所以，解得，代入抛物线方程，可得，
又由且，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，
所以的面积为，解得，
即点到准线的距离是.
故选：D.
11．A
【解析】因为在上的射影点在第四象限，所以在第一象限，设与轴的交点为点，如下图所示：
因为，，所以，所以，
又因为轴，所以，
又因为，所以为等边三角形，所以,
所以，所以直线的斜率为，
故选：A.
12．B
【解析】将化为圆的标准方程，得，
则圆心为(2，-4)，代入抛物线，得.所以，所以抛物线的方程为.因为点在抛物线上，则，焦点，由两点间距离公式可得点到焦点的距离为.
故选：B.
13．A
【解析】抛物线：的焦点为，
过点M作准线l的垂线，交于点A，过点M作直线的垂线于点B，过点F作直线的垂线于点H，交抛物线于，
则，又根据抛物线的定义得，
所以，当点M在点时，取得最小值，此时直线，所以，所以，
故选：A.
14．B
【解析】设，联立方程组，整理得，
则，可得，
由点为的中点，所以
设，因为，可得，
又由点在抛物线上，可得，
即，解得或（舍去），
所以抛物线的标准方程为.
故选：B.
15．BC
【解析】由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，
，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错.
故选:BC.
16．BD
【解析】对于A选项，如下图所示，过点作抛物线的准线的垂线，由抛物线的定义可得，抛物线的准线方程为.
，当??三点共线时，取得最小值为，A选项错误；
对于B选项，设点，由抛物线的定义可得，
则线段的中点为，则，
所以，以为直径的圆与轴相切，B选项正确；
对于C选项，设点?，则，
两式作差得，则直线的斜率为，可得，则，
由，可得，
由抛物线的方程可知，，故，矛盾.
故不存在直线，使得?两点关于直线对称，C选项错误；
对于D选项，若直线与轴重合，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意.
设直线的方程为，设?，
联立，消去可得，，
由韦达定理可得，，
易知点，
，故，D选项正确.
故选：BD.
17．AB
【解析】抛物线的焦点为，准线
设直线方程为，，，
联立，消去y得，
由韦达定理得：，，
∴，，直线方程为，
对于A，∵共线，∴，，同理，
，，
∴，即，故A正确；
对于B，若P，Q是线段的三等分点，则，，即，
又，，
∴，∴，又，解得：，故B正确；
对于C，由得，，
，，∴，
又，∴，
当时，，故C错；
对于D，由图可知，而，只要，就有，故D错．
故选：AB．
18．，
【解析】由题意知，抛物线，所以焦点坐标为（0,1），
又双曲线的渐近线方程为，不妨取，即，
设圆的半径为r，由题意得，
所以圆的方程为：.
故答案为：
19．
【解析】因为圆，即，
圆F的圆心为F(2,0),半径r=2,
所以抛物线方程,
四边形MAFB的面积，
所以|AB|=，
由抛物线定义,得,又
x∈[1,4],
所以|MF|2∈
[9，36],
所以，
所以
故答案为：
20．
【解析】作垂直准线于，，
不妨在第一象限取点，当与抛物线相切时，最小，设切点为，
由得，可知，又，
得，得，又，所以，，
所以切线，，所以，
所以；
故答案为：.
21．（1）；（2）为定值
【解析】解：（1），，四边形是边长为1的正方形，
，，代入抛物线方程得：，
抛物线的方程为：．
（2）是定值，理由如下：
由（1）可知，，，，
设直线的方程为，
联立方程，消去得：，
设，，，，
，，
联立方程，得，，
，，
，
把，代入得：
，
，
为定值．
22．（1）；（2）；（3）.

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