资源简介

专题十一
《立体几何》讲义
11.2
外接球与内切球
题型一.
长方体模型
1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC，则球O的体积等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC，
由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，
∴CD为球的直径，CD3，
∴球的半径R，
∴V球πR3．
故选：D．
2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2，AD＝BC＝2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为　200π　．
【解答】解：四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2，AD＝BC＝2，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．
设长方体的长宽高分别为a，b，c．
则，
那么：2（a2+b2+c2）＝400．
a2+b2+c2＝200．
长方体的对角线：，
外接球的半径2R．
∴R＝5．
四面体A﹣BCD外接球的表面积S＝4πR2＝200π．
故答案为：200π．
3．（2012?辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　　．
【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
∵球O的半径为，
∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积VS△ABC×hS△PAB×PC2×2×2
△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC2，
∴h
∴正方体中心O到截面ABC的距离为
故答案为
题型二.
柱体模型
1．（2017?新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）
A．π
B．
C．
D．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r，
∴该圆柱的体积：V＝Sh．
故选：B．
2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于　8π　．
【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，
设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，
在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理得：，∴，
∴由正弦定理得：2r，∴r＝1，
∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM，MC＝r＝1，
∴R2＝12+12＝2，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，
故答案为：8π．
3．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．10π
B．18π
C．20π
D．9π
【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，
故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P﹣ABC，
所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
所以外接球的直径2R，
则R，
所以该球的表面积为20π．
故选：C．
题型三.
正棱锥模型
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）
A．
B．16π
C．9π
D．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2＝（4﹣R）2+（）2，
∴R，
∴球的表面积为4π?（）2．
故选：A．
2．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的
三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，∴a
该正三棱锥的体积：．
故选：C．
3．如图ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，S﹣ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵底面正方形的外接圆的半径为，
∴由勾股定理可得R2＝（）2+（2﹣R）2，
∴R，
∴球的表面积为4πR2π．
故选：D．
题型四.
一般锥的外接球
1．已知三棱锥D﹣ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且，AC＝2，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为　　．
【解答】解：因为，AC＝2，
则AB⊥BC，且△ABC外接圆的半径为1，
因为该三棱锥体积的最大值为，
则V，
则h＝4，即点D到平面ABC的距离最大为4，
设球的半径为R，则R2＝1+（4﹣R）2，
解之得R，
则表面积为，
故答案为：．
2．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）
A．64π
B．65π
C．66π
D．128π
【解答】解：由于PB＝PC，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，
由于平面ABC⊥平面PBC，
即有PO'⊥平面ABC，
∵PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，
∴PB＝6，PO'＝4，
△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，
∴sin∠ABC，
∴2r，
设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，
则（）2+h2＝（4h）2+（4）2＝R2，
解得R．
球O的表面积为4πR2＝65π，
故选：B．
3．在菱形ABCD中，A＝60°，AB，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π
【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC，PE＝CE
设△BCD的外接圆的圆心与球心的距离为h，
三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，
∴R，h，
∴三棱锥P﹣BCD的外接球体积为．
故选：C．
4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径，
所以点O到平面ABC的距离，
SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为，
此棱锥的体积为，
故选：A．
题型五.
内切球
1．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（　　）
A．
B．
C．
D．2π
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，
则2πr，
∴r＝1，h2，
设内切球的半径为R，则，
∴R，VπR3π（）3π，
故选：A．
2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）
A．1：3
B．1：
C．
D．
【解答】解：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则
它的对角线的长度为：a
球的半径为：，
再设正三棱锥内切球的半径为r，
根据三棱锥的体积的两种求法，得
[3]×r，
∴r，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为．
故选：D．
3．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，该八面体的棱长为2，
设球O的半径为r，，解得r
所以球O的表面积为：4．
故选：A．
课后作业.
外接球与内切球
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是　π　．
【解答】解：如图，∵底面ABCD为菱形，
∴OA⊥OB，
∴AB中点N为△AOB的外心，
取PA中点M，
则MN∥PB，
∵PB⊥底面ABCD，
∴MN⊥底面ABCD，
∴M为三棱锥P﹣AOB的外接球球心，
∵PB＝1，∠APB，
∴AP＝2，
∴外接球半径为1，
体积为π，
故答案为：．
2．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）
A．π
B．2π
C．π
D．3π
【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A
∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R＝2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O＝1，
∴Rt△O1OA中，O1A．
又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE＝AO1cos30°．
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
此时截面圆的半径r，
可得截面面积为S＝πr2．
故选：C．
3．（2018·全国3）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）
A．12
B．18
C．24
D．54
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB＝6，
球心为O，三角形ABC
的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C，OO′2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：18．
故选：B．
4．已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）
A．
B．6π
C．
D．8π
【解答】解：如图取BD中点H，AC中点M，连接MH
因为AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC
所以BD⊥CH，BD⊥AH，则BD⊥面ACH，三角形ACH是等腰直角三角形．所以MH⊥AC，所以∠AHM＝45°，AH，
所以球心必落在直线MH上，设为点O，连接OA、OD，则OA＝OD＝OC＝OB．
设OH＝x，在三角形OHD中，HD＝1，所以OD2＝x2+1
在三角形AOH中，OA2＝x22﹣2xcos45°
所以x2+1＝x22﹣2xcos45°，解得x，所以
故外接球的表面积S＝4
故选：A．
5．（2011·辽宁）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）
A．3
B．2
C．
D．1
【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°
所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30°
得：AC＝2，SA＝2
又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30°
得：BC＝2，SB＝2
则：SA＝SB，AC＝BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD
又SD交CD于点D
所以：AB⊥平面SCD
即：棱锥S﹣ABC的体积：VAB?S△SCD，
因为：SD，CD，SC＝4
所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）（16）
则：sin∠SDC
由三角形面积公式得△SCD的面积SSD?CD?sin∠SDC3
所以：棱锥S﹣ABC的体积：VAB?S△SCD
故选：C．
6．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC，AP＝3，AB＝2，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为
　57π　；则三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为
　　．
【解答】解：如图，
Q是边BC上的一动点，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，
则当AQ⊥BC时，∠PQA，由tan，得AQ，
在△ABQ中，BQ，
∵sin，∴，则∠CAQ，
由tan∠CAQ，得CQ，
∴BC＝BQ+CQ＝3+3＝6，设△ABC外接圆的半径为r，
则2r，可得r．
设三棱锥外接球的半径为R，则，
可得外接球的表面积S＝4πR2＝57π；
在Rt△AQC中，AC，可得△ABC是等腰三角形，
三棱锥P﹣ABC的表面积为S＝2236，
设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r′，
则r′，解得r′．
即三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为．
故答案为：57π；．专题十一
《立体几何》讲义
11.2
外接球与内切球
题型一.
长方体模型
1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC，则球O的体积等于（　　）
A．
B．
C．
D．
2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2，AD＝BC＝2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为　
　．
3．（2012?辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　
　．
题型二.
柱体模型
1．（2017?新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）
A．π
B．
C．
D．
2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于　
　．
3．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．10π
B．18π
C．20π
D．9π
题型三.
正棱锥模型
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为
A．
B．16π
C．9π
D．
2．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，S﹣ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
题型四.
一般锥的外接球
1．已知三棱锥D﹣ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且，AC＝2，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为　
　．
2．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）
A．64π
B．65π
C．66π
D．128π
3．在菱形ABCD中，A＝60°，AB，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π
4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（　　）
A．
B．
C．
D．
题型五.
内切球
1．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（　　）
A．
B．
C．
D．2π
2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）
A．1：3
B．1：
C．
D．
3．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
课后作业.
外接球与内切球
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是　
　．
2．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）
A．π
B．2π
C．π
D．3π
3．（2018·全国3）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）
A．12
B．18
C．24
D．54
4．已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）
A．
B．6π
C．
D．8π
5．（2011·辽宁）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）
A．3
B．2
C．
D．1
6．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC，AP＝3，AB＝2，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为
　
　；则三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为
　
　．

展开更多......

收起↑