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专题十一
《立体几何》讲义
11.3
平行与垂直证明
知识梳理.平行与垂直证明
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
∵l∥a，a?α，l?α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
3.
直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?l⊥α
题型一.
平行问题
考点1.线面平行
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：
（1）直线MN∥平面PAD；
2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．
（1）证明：PA∥平面BDE；
考点2.面面平行
3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．
4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
（1）求证：E、B、F、D1四点共面
（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．
考点3.线线平行
5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B1C；
6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
题型二.
垂直问题
考点1.线面垂直
1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
考点2.面面垂直
3．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
4．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
考点3.线线垂直
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
6．如图，四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．
（Ⅰ）求证：AB⊥ED；
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．
题型三.存在性问题
1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．
2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C、D的点．
（1）证明：DM⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且．
（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；
（2）若R是CD上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面B1C1BC？请给出证明．
题型四.
折叠问题
1．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P﹣ABCD，
（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；
（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．
2．如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB的中点为E，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
3．如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB，∠DAB．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：
（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；
（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
题型五.平行与垂直选填综合
1．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；
③若l∥α，且m∥α，则l∥m；
④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．
则正确的命题个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（　　）
A．5
B．8
C．10
D．6
3．已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，BF＝FC，CHHD，AGGD，则下列说法错误的是（　　）
A．AC∥平面EFH
B．四边形EFHG是梯形
C．直线EG，FH，BD相交于同一点
D．BD∥平面EFG
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长度为（　　）
A．
B．
C．2
D．
7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于　
　．
8．如图，棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点O为MN中点，则O点的轨迹的长度是
　
　．
9．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过点E作平面a，使得平面a∥平面AB1C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为　
　．
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为　
　．
课后作业.
平行与垂直证明
1．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
2．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点
（1）求证：BC1∥平面AB1D1
（2）求证：平面AB1D1∥平面C1BD．
3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1
中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1，D
是A1B1
中点．
（1）求证C1D⊥平面A1B；
（2）当点F
在BB1
上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
4．如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．
（1）若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；
（2）若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．
5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱锥D﹣ABC的体积．
6．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图所示．
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若棱锥E﹣DFC的体积为，求a的值；
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．专题十一
《立体几何》讲义
11.3
平行与垂直证明
知识梳理.平行与垂直证明
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
∵l∥a，a?α，l?α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
3.
直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?l⊥α
题型一.
平行问题
考点1.线面平行
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：
（1）直线MN∥平面PAD；
【解答】证明：（1）根据题意，取PD的中点G，连接NG、AG，
G是PD的中点，N是PC的中点，则NG∥DC且NGDC，
则四边形MNGA是平行四边形，则有MN∥AG，
又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，则有直线MN∥平面PAD；
2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．
（1）证明：PA∥平面BDE；
【解答】（1）证明：连结AC交BD于点F，连结EF，
在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝2CD，
所以AF＝2FC，又因为PE＝2EC，
所以PA∥EF，又PA?平面BDE，EF?平面BDE，
所以PA∥平面BDE；
考点2.面面平行
3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1．
【解答】证明：连结A1B、AC1，
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点，
∴A1E∥AD，BDC1E，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴C1D∥BE，
∵AD∩C1D＝D，A1E∩BE＝E，
AD、C1D?平面ADC1，A1E、BE?平面A1EB，
∴平面A1EB∥平面ADC1．
4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
（1）求证：E、B、F、D1四点共面
（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．
【解答】证明：（1）如图：在DD1上取一点N使得DN＝1，
连接CN，EN，则AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、
因为CF∥ND1所以四边形CFD1N是平行四边形，
所以D1F∥CN．
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，
又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D1F∥BE，
所以E，B，F，D1四点共面；
（2）因为H是B1C1的中点，所以B1H，
因为B1G＝1，所以，
因为，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，
所以△B1HG∽△CBF，
所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，
所以HG∥FB，
由（1）知，A1G∥BE且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，
所以平面A1GH∥平面BED1F．
考点3.线线平行
5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B1C；
【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C＝A1D且A1B1＝CD，
∴四边形A1B1CD为平行四边形，
∴B1C∥A1D，
又∵B1C?平面A1EFD，
∴B1C∥平面A1EFD，
又∵平面A1EFD∩平面B1CD1＝EF，
∴EF∥B1C；
6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：因为BC∥AD，BC?平面PAD．
AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）
（2）：平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N是PC的中点，E是PD的中点
∴NE∥CD，且NE
∵CD∥AB，M是AB的中点
∴NE∥AM且NE＝AM．
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE．
又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）
题型二.
垂直问题
考点1.线面垂直
1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
【解答】（I）证明：∵平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，平面ABD∩平面ABC＝AB，AD?平面ABD，
∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴BC⊥AD，又BC⊥AC，AD∩AC＝A，
∴BC⊥平面ACD．
2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC，
由AC，AB＝2得AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；
考点2.面面垂直
3．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
【解答】证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，
所以PA⊥BC
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，
所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC
又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC
又因为BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
4．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD，
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，
AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，
∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，
∴，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，
∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．
考点3.线线垂直
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）设二面角P﹣BD﹣A的大小为α，直线PA与平面PBC所成角的大小为β，求cos（α+β）的值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，，
∴由余弦定理，得：
BD1，…（2分）
∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
又∵平面PAD⊥平面PBD，∴BD⊥平面PAD，
又PA?平面PAD，∴PA⊥BD．…（5分）
6．如图，四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．
（Ⅰ）求证：AB⊥ED；
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EA＝EB，所以EO⊥AB．
…（2分）
因为AB∥CD，AB＝2CD，
所以BO∥CD，BO＝CD．
又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，
所以AB⊥DO．
…（4分）
因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD．
…（5分）
所以AB⊥ED．
…（6分）
（Ⅱ）解：点F满足，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE．…（7分）
证明如下：取EB中点G，连接CG，FG．
…（8分）
因为F为EA中点，所以FG∥AB，．
因为AB∥CD，，所以FG∥CD，FG＝CD．
所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG．
…（11分）
因为DF?平面BCE，CG?平面BCE，…（12分）
所以DF∥平面BCE．
…（13分）
题型三.存在性问题
1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．
又因为DE?面PBC，PC?面PBC，
所以DE∥平面PBC．
…．（4分）
（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又PA?平面PAC，PA⊥AC，
所以PA⊥面ABC，
因为BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
又因为AB⊥BC，且PA∩AB＝A，
所以BC⊥面PAB．
…．（9分）
（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．
取AB中点F，连EF，连DF．
由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．
因为点E是AC中点，点F为AB的中点，
所以EF∥BC．
又因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．
又因为DE∩EF＝E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．
…．（14分）
2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C、D的点．
（1）证明：DM⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
【解答】解：（1）证明：根据题意，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为半圆弧上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM＝C，BC?平面BMC，CM?平面BMC，
所以DM⊥平面BMC；
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC?平面PBD，OP?平面PBD，
所以MC∥平面PBD．
3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且．
（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；
（2）若R是CD上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面B1C1BC？请给出证明．
【解答】（1）证明：连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以，
又因为，所以，所以PQ∥MD1．
又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA．
（2）当时，能使平面PQR∥平面Bl?lBC．
证明：因为，即有，故，所以QR∥DD1．
又∵DD1∥CC1，∴QR∥CC1，
又CC1?平面Bl?lBC，QR?平面Bl?lBC，
所以QR∥平面Bl?lBC，
由，得PR∥BC，BC?平面Bl?lBC，PR?平面Bl?lBC，
所以PR∥平面Bl?lBC，
又PR∩RQ＝R，
所以平面PQR∥平面Bl?lBC．
题型四.
折叠问题
1．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P﹣ABCD，
（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；
（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．
【解答】证明：（I）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，
∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD＝D
∴CD⊥平面PAD，
∴EF⊥平面PAD，
∵EF?平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAD；
（II）∵G为BC的中点，F为PD的中点，
∴GF∥BP
∵GF?平面PAB，BP?平面PAB，
∴GF∥平面PAB，
由（I）知，EF∥DC
∵AB∥DC，∴EF∥AB
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
∵EF∩GF＝F
∴平面EFG∥平面PAB
∵PA?平面PAB
∴AP∥平面EFG．
2．如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB的中点为E，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】（I）证明：直二面角P﹣DC﹣B的平面角为∠PDA＝90°，且PD⊥DC，DA∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，
则BC＝BD，
在三角形BCD中，BC2+BD2＝CD2，
∴BD⊥BC，
∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBD⊥平面PBC．
（III）∵F∈BD，故可设F（m，m，0），而PB的中点E（1，1，1），
∴，
∵，，
∴，解得m，
∴线段BD上是否存在一点F（），使EF⊥平面PBC．
3．如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB，∠DAB．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：
（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．
（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；
（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，
∵AB＝2，∠DAB，∴AD，BD，
∴S△ABDAD?BD．
∵∠CAB，∴OC⊥AB，OCAB＝1．
在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，OC⊥AB，
∴OC⊥平面ABD
∴VD﹣ABC＝VC﹣ABD．
（2）∵OA＝OD，∠DAB，∴△OAD是等边三角形，
∵E是OA中点，∴DE⊥OA，
∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，DE⊥AB，
∴DE⊥平面ABC，∵BP?平面ABC，
∴DE⊥BP．
（3）上存在一点G，满足，使得FG∥平面ACD，
理由如下：取BD中点M，连结FM，MG，FG，
则MG⊥BD，∴MG∥AD，
∵F，M分别是BC，BD的中点，
∴FM∥CD，
∵FM?平面FMG，MG?平面FMG，CD?平面ACD，AD?平面ACD，AD∩CD＝D，FM∩MG＝M，
∴平面FMG∥平面ACD，
∵FG?平面FMG，
∴FG∥平面ACD．
题型五.平行与垂直选填综合
1．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；
③若l∥α，且m∥α，则l∥m；
④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．
则正确的命题个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【解答】解：①根据线面平行的性质知，若m∥l，且m⊥α，则l⊥α正确；故①正确，
②根据面面垂直的性质知，若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n正确；故②正确，
③若l∥α，且m∥α，则l∥m不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误，
④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β不一定成立，有可能相交．故④错误，
故正确的是①②③，
故选：B．
2．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（　　）
A．5
B．8
C．10
D．6
【解答】解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC，∴△PAB，△PAD，△PAC都是直角三角形；
②∵∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；
③∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∴△ABD，△ACD是直角三角形．
④由三垂线定理可知：BC⊥PD，∴△PBD，△PCD也是直角三角形．
综上可知：直角三角形的个数是8个．
故选：B．
3．已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，BF＝FC，CHHD，AGGD，则下列说法错误的是（　　）
A．AC∥平面EFH
B．四边形EFHG是梯形
C．直线EG，FH，BD相交于同一点
D．BD∥平面EFG
【解答】解：∵AE＝EB，BF＝FC，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EFAC，
∵EF?平面EFH，AC?平面EFH，
∴AC∥平面EFH，故A正确，
∵CHHD，AGGD，
∴GH∥AC，且GHAC，
则EF∥GH，∴四边形EFHG是梯形，故B正确；
则直线FH，EG相交，设交点为M，
则M∈EG，M∈平面ABD，M∈FH，M∈平面BCD，
则M是平面ABD和平面BCD的公共点，
又平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴M∈BD，
即直线EG，FH，BD相交于同一点，故C正确，D错误，
故选：D．
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，
连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，
所以ME∥AB，且ME＝AB，
所以四边形ABEM是平行四边形，
所以AM∥BE，又因为BE?平面BDFE，AM不在平面BDFE内，
所以AM∥平面BDFE，
同理AN∥平面BDFE，
因为AM∩AN＝A，
所以平面AMN∥平面BDFE，
即平面a截该正方体所得截面为平面BDFE
BD，EF，DF，梯形BDFE如图：
过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，
∴FG，
故四边形BDFE的面积为．
故选：B．
5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：取CD的中点P，DD1的中点Q，连接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，
如图所示：
因为P、N分别为CD、BC中点，
所以PN//BD，
因为PN?平面A1DB，BD?平面A1DB，
所以PN∥平面A1DB，
同理，P、Q分别为CD、DD1中点，
所以PQ//D1C，
因为A1D1＝BC，且A1D1//BC，
所以四边形BCD1A1是平行四边形，
所以A1B//D1C，
所以PQ//A1B，
因为PQ?平面A1DB，A1B?平面A1DB，
所以PQ//平面A1DB，
又PQ∩PN＝P，PQ?平面PQN，PN?平面PQN，
所以平面PQN//平面A1BD，
因为MN//平面A1BD，
所以MN?平面PQN，又点M在平面DCC1D1内运动，
所以点M在平面PQN和平面DCC1D1的交线上，即M∈PQ，
在△PQN中，PN，PQCD1，QN，
所以cos∠NPQ，
所以∠NPQ＝120°，
所以N点到PQ的最小距离d＝PN?sin（180°﹣120°
），
所以线段MN的最小值为．
故选：B．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长度为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：设BM＝x，MC＝y，则BC＝AD＝x+y，
∵PA⊥平面ABCD，MD?平面ABCD，∴PA⊥MD，
又AM⊥MD，PA∩AM＝A，∴MD⊥平面PAM，
由题意知AM，MD，
在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2，
即x2+1+y2+1＝（x+y）2，化简，得xy＝1，
在Rt△PMD中，PM，MD，
∴S△PMD，当且仅当时，取等号，
此时，BC＝x+y．
故选：B．
7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于　　．
【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF?平面AC，平面AB1C∩平面AC＝AC，
∴EF∥AC，
又点E为AD的中点，点F在CD上，
∴点F是CD的中点，
∴EF．
故答案为．
8．如图，棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点O为MN中点，则O点的轨迹的长度是
　　．
【解答】解：因为M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，点M，N在直线与平面ACC1A1不相交，
所以MN∥平面ACC1A1，
则A1M＝CN，
当A1M＝CN＝0时，此时MN的中点O为平面ACC1A1的中心，即A1C的中点，
当A1M＝CN时，此时MN的中点O为BB1的中点，
所以点O的轨迹为△DEF的高，且△DEF为边长是1的等边三角形，
故点O的轨迹长度是．
故答案为：．
9．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过点E作平面a，使得平面a∥平面AB1C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为　6　．
【解答】解：如图，F，G，H，I，J分别为棱AD，AA1，A1B1，B1C1，CC1的中点，则HI∥A1C1∥GJ，故GHIJ四点共面，同理EFGJ四点共面．
因为EJ∥AB1，EF∥AC，EF∩EJ＝E，所以平面EFGJ∥平面AB1C，
又因为HE的中点为正方体的中心，FI的中点也是正方体的中心设正方体中心为O，则HE∩FI＝O，∴H，I∈平面EFGJ，所以平面EFGHIJ即为平面a，
根据三角形的中位线的性质可得，六边形每条边的长度都等于正方体表面对角线的一半，即每边长都等于，故六边形的周长为：6．
故填：6．
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为　　．
【解答】解：由正方体的性质可知，当P位于点C时，D1O⊥OC，
当点P位于BB1的中点P1时，DD1＝2，DO＝BO，BP1＝B1P1＝1，B1D1，
求得，，
所以，故OD1⊥OP1，
又OP1∩OC＝O，所以D1O⊥平面OP1C，
故点P的轨迹在线段P1C上，
由C1P1＝CP1，可得∠C1CP1为锐角，而CC1＝2，
故点P到棱C1D1的最大值为，
所以△D1C1P面积的最大值为．
故答案为：．
课后作业.
平行与垂直证明
1．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：因为BC∥AD，BC?平面PAD．
AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）
（2）：平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N是PC的中点，E是PD的中点
∴NE∥CD，且NE
∵CD∥AB，M是AB的中点
∴NE∥AM且NE＝AM．
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE．
又MN?平面PAD，AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）
2．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点
（1）求证：BC1∥平面AB1D1
（2）求证：平面AB1D1∥平面C1BD．
【解答】证明：（1）连结A1B，交AB1于O，连结OD1，
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点，
∴OD1∥BC1，
∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1．
（2）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点，
∴BD∥B1D1，
∵BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
∴BD∥平面AB1D1，
又BC1∥平面AB1D1，BD∩BC1＝B，
BD、BC1?平面C1BD，
∴平面AB1D1∥平面C1BD．
3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1
中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1，D
是A1B1
中点．
（1）求证C1D⊥平面A1B；
（2）当点F
在BB1
上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
【解答】证明：（1）如图，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．
又
D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面A1B．
解：（2）作DE⊥AB1交AB1于E，
延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．
事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1?平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，
∴AB1⊥平面C1DF．
4．如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．
（1）若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；
（2）若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．
【解答】证明：（1）如图所示，取DA的中点G，连接FG，GE．
∵F为AC的中点，
∴GF∥DC，且GFDC．
又DC∥BE，CD＝2BE＝4，
∴EB∥GF，且EB＝GF，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥EG．
∵EG?平面ADE，BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE．
（2）取DE的中点H，连接AH，CH．
∵△ADE是边长为2的等边三角形，
∴AH⊥DE，且AH．
在△DHC中，DH＝1，DC＝4，∠HDC＝60°
根据余弦定理可得HC2＝DH2+DC2﹣2DH?DCcos60°＝12+42﹣2×1×413，即HC．
在△AHC中，AH，HC，AC＝4．
所以AC2＝AH2+HC2，即AH⊥HC．
因为AH⊥DE，AH⊥HC，且DE?平面BCDE，HC?平面BCDE，DE∩HC＝H，
∴AH⊥平面BCDE．
又AH?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCDE．
5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱锥D﹣ABC的体积．
【解答】解：（1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点，又M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OMAB，
因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD；
（2）证明：由题意，OM＝OD＝3，
因为，所以∠DOM＝90°，OD⊥OM．
又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．
因为OM∩AC＝O，
所以OD⊥平面ABC，
因为OD?平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO．
（3）解：由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD＝3为三棱锥D﹣ABC的高，
因为菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，
所以S△ABC9，
所以所求三棱锥的体积为V，V9．
即三棱锥D﹣ABC的体积9．
6．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图所示．
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若棱锥E﹣DFC的体积为，求a的值；
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）AB∥平面DEF，
如图．在△ABC中，∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB，
又AB不包含于平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．…（4分）
（Ⅱ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，
∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD，取CD中点M，则EM∥AD，
∴EM⊥平面BCD，且EM，
∵棱锥E﹣DFC的体积为，
∴V，解得a＝2．…（8分）
（Ⅲ）线段AC上存在一点P，使BP⊥DF．
三角形BDF为正三角形，过B做BK⊥DF，
延长BK交DC于K，过K做KP∥DA，交AC于P．则点P即为所求．
证明：∵AD⊥平面BCD，KP∥DA，
∴PK⊥平面BCD，PK⊥DF，又
BK⊥DF，PK∩BK＝K，
∴DF⊥平面PKB，DF⊥PB．又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，∴DK＝KF＝KC/2．
故AP：OC＝1：2，AP：AC＝1：3
…（12分）

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