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第三章
圆锥曲线的方程
3.1.1
椭圆及其标准方程
学案
一、学习目标
1.掌握椭圆的定义及标准方程.
2.理解椭圆标准方程的推导过程，体会数形结合的思想.
3.会用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
二、基础梳理
1.椭圆的定义：把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
2.椭圆的标准方程：
①焦点在x轴上的椭圆的标准方程是.两个焦点分别是，的椭圆，且.
②焦点在y轴上的椭圆的标准方程是.两个焦点分别是，的椭圆，且.
3.解析几何中求点的轨迹方程常用的方法：寻求点M的坐标中x，y与，之间的关系，然后消去，，得到点M的轨迹方程.
三、巩固练习
1.已知椭圆的左焦点为，则(
)
A.9
B.4
C.3
D.2
2.设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则是(
)
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.斜三角形
D.直角三角形
3.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是(
)
A.
B.
C.
D.或
4.设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
5.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是(
)
A.
B.
C.
D.
6.已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是(
)
A.2
B.4
C.8
D.
7.已知的周长为20，且顶点，，则顶点A的轨迹方程是(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为(
)
A.5
B.7
C.13
D.15
9.如图所示，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
10.设椭圆过点，则焦距等于____________.
11.已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的方程为________.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，若，则___________.
13.已知椭圆，点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆C上，则_________________.
14.已知椭圆焦点为，，且过点，椭圆第一象限上的一点P到两焦点，的距离之差为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的内切圆方程.
15.如图所示，已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P在第二象限，，求的面积.
答案以及解析
1.答案：B
解析：依题意，椭圆焦点在x轴上，且，因此，又，所以.
2.答案：D
解析：由椭圆的定义，知，由题可得，则，，或，，又，所以为直角三角形.
3.答案：D
解析：由焦距是6，得，，由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，得，，则，题目中没有指明焦点的位置，故焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，所以椭圆的标准方程是或.故选D.
4.答案：C
解析：线段的中点在y轴上，轴，，，.
5.答案：B
解析：依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入，得，则所求椭圆的方程为.故选B.
6.答案：B
解析：设椭圆左焦点为F，右焦点为，，，，为的中点，O为的中点，.
7.答案：B
解析：由，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，则，，所以，
所以椭圆方程为，又因为A，B，C三点要构成三角形，所以点A的轨迹方程为.故选B.
8.答案：B
解析：由题意知椭圆的两个焦点，分别是两圆的圆心，且，从而的最小值为.
9.答案：B
解析：因为是面积为的正三角形，所以，解得，所以点P的坐标为，将其代入椭圆方程得，与联立，解得.故选B.
10.答案：
解析：因为椭圆过点，所以将其代入，得，所以，，故焦距.
11.答案：
解析：分析知，，由椭圆的定义，得①，在中，②，由①②得，所以.故椭圆C的方程为.
12.答案：120°
解析：由椭圆的定义知，，，，即，，，，
，
又，.
13.答案：12
解析：如图，设的中点为P，连接，则由是的中点，可知.
同理可得，.
根据椭圆的定义得，.
14.解析：(1)由题意，可知，解得，
所以椭圆的标准方程为.
(2)由，解得.
又，所以，
故的内切圆半径，内切圆圆心为，
所以内切圆的方程为.
15.解析：（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
则由已知得，，
所以，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）在中，.
由余弦定理，得，
即，所以，
所以.

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