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特殊平行四边形（讲义）
知识点睛
菱形
（1）定义：
（2）性质：
菱形的四条边
菱形的对角线
（3）判定：
矩形
（1）定义：
（2）性质：
矩形的四个角
矩形的对角线
（3）判定：
（4）相关定理：
正方形
（1）定义：
（2）性质：
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质．
正方形的四个角
正方形的四条边
正方形的对角线
（3）判定：
精讲精练
下列说法正确的是
．
①菱形的四条边相等；②菱形的四个角相等；③菱形的对角线互相垂直平分；④菱形的每一条对角线平分一组对角；⑤有一组邻边相等的平行四边形是菱形；⑥对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑦对角线互相垂直平分的四边形是菱形；⑧菱形的面积等于对角线乘积；⑨菱形不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．
（2020
贵阳改编）在菱形
ABCD
中，O
是两条对角线的交点，已知
BD=6，AC=8，
则菱形
ABCD
的面积是
，周长是
．
如图，菱形
ABCD
的对角线
AC，BD
相交于点
O，OE⊥AB
于点
E．若∠ADC=130°，
则∠AOE
的度数为（
）
A．75°
B．65°
C．55°
D．50°
D
A
C
（2020
日照）已知菱形的周长为
8，两邻角的度数比为
1:2，则菱形的面积为（
）
A．
8
B．8
C．
4
D．
2
如图，在□ABCD
中，AE，CF
分别是∠BAD
和∠BCD
的平分线，添加一个条件，
仍无法判断四边形
AECF
为菱形的是（
）
A．AE=AF
B．EF⊥AC
C．∠B=60°
D．AC
是∠EAF
的平分线
A
F
D
B
E
C
如图，在□ABCD
中，对角线
BD
的垂直平分线与边
AD，BC
分别交于点
E，F，连接
BE，DF．
求证：四边形
BEDF
是菱形．
A
E
D
B
F
C
下列说法正确的是
．
①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角相等；③矩形的对角线相等且互相平分；
④矩形的每一条对角线平分一组对角；⑤有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
⑥有三个角是直角的四边形是矩形；⑦对角线相等的四边形是矩形；⑧对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑨矩形不仅是中心对称图形，还是轴对称图形．
（2020
青海）在矩形
ABCD
中，对角线
AC，BD
相交于点
O，已知∠BOC=120°，
DC=3
cm，则
AC
的长为
cm．
在矩形
ABCD
中，若
AB=2BC，E
为
CD
上一点，且
AE=AB，则∠BEC=
．
在矩形
ABCD
中，对角线
AC，BD
相交于点
O，点
E，F
分别是边
AD，边
BC
的中点，点
G，H
是线段
AC
上两个动点，有以下说法：①若
AG=HC＜
1
AC
，则四边形
2
GEHF
为平行四边形；②当
EG⊥AC
且
AG=HC＜
1
AC
，四边形
EGFH
为矩形；
2
③当
AG+GO=OH+HC=AO
时，四边形
EGFH
为矩形；④当点
G，H
在线段
AC
上移动过程中，能找到合适的位置使四边形
GEHF
为菱形．其中说法正确的有
．
E
D
F
C
如图，O
是矩形
ABCD
的对角线的交点，E，F，G，H
分别是
OA，OB，OC，OD
上的点，AE=BF=CG=DH．
求证：四边形
EFGH
是矩形．
D
H
G
C
下列说法正确的是
．
①正方形的四条边都相等；②正方形的四个角都相等；③正方形的每一条对角线平分一组对角；④正方形的对角线互相垂直平分；⑤有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；⑥对角线互相垂直的矩形是正方形；⑦有一个角是直角的菱形是正方形；⑧对角线相等的菱形是正方形；⑨对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．
如图，在正方形
ABCD
的外侧作等边三角形
ADE，则∠AEB=
．
A
E
D
如图，在正方形
ABCD
中，延长
AB
至点
E，使
BE=AC，则∠E=
．
C
A
B
E
（2020
包头）如图，在正方形
ABCD
中，E
是对角线
BD
上一点，AE
的延长线交
CD
于点
F，连接
CE．若∠BAE=56°，则∠CEF=
．
D
F
C
（1）如图
1，在正方形
ABCD
中，E，F，G，H
分别在它的四条边上，且
AE=BF=CG=DH．四边形
EFGH
是什么特殊四边形？请说明理由．
（2）如图
2，在正方形
ABCD
中，点
E，F
分别在
AD，DC
上，AE=DF，BE
与
AF
相交于点
G，点
H
为
BF
的中点，连接
GH．
①求证：∠BGF=90°；
②若正方形边长为
5，AE=2，则
GH
的长为
．
A
H
D
A
E
D
G
F
E
B
F
C
B
C
图1
图2
【参考答案】
知识点睛
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
都相等；
互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
四边相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
都是直角；
相等且互相平分；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；
都是直角；
都相等；
相等、垂直且互相平分，每条对角线都平分一组对角；
有一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形
精讲精练
1.
①③④⑤⑥⑦⑨
2.
24；20
B
D
C
证明略．
提示：可证△EOD≌△FOB．
7.
①②③⑤⑥⑧⑨
8.
6
9.
75°
10.
①
11.
证明略．
提示：由矩形
ABCD
得
AO=BO=CO=DO，结合已知得
EO=FO=GO=HO，所以四边形
EFGH
是矩形．
12.
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
13.
15°
14.
22.5°
15.
22°
16.
（1）四边形
EFGH
是正方形，理由略；
（2）①证明略；②
34
．
2
复习巩固
特殊平行四边形（习题）
已知菱形的周长为
40，两对角线之比为
3:4，则两对角线的长分别为（
）
A．12，16
B．6，8
C．24，32
D．48，64
下列关于矩形的说法正确的是（
）
对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分
下列命题正确的是（
）
一组邻边相等的平行四边形是正方形
一组邻边垂直，一组对边相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形
下列说法：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线垂直且互相平分；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．
其中正确的有（
）
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
如图，在正方形
ABCD
中，对角线
AC，BD
相交于点
O，则图中的等腰三角形共有
（
）
个
B．6
个
C．8
个
D．10
个
D
B
D
C
C
第
5
题图
第
6
题图
如图，在菱形
ABCD
中，已知∠ABC=60°，E
是
AD
的中点，EP⊥AD，交
BD
于点
P．
若
BD=12
cm，则
EP
的长为
．
已知菱形两对角线的长分别为
12，16，则该菱形的面积为
，周长为
．
添加下列条件，不能判定□ABCD
是菱形的是（
）
A．AB=BC
B．AC⊥BD
C．BD
平分∠ABC
D．AC=BD
已知矩形
ABCD
中，AC，BD
相交于点
O，且∠AOB=60°．若
BD=10
cm，则
AD=
．
已知正方形
ABCD
中，AC，BD
相交于点
O，OE⊥BC
于点
E．若
OE=2，则正方形
ABCD
的面积为
．
如图，E
为正方形
ABCD
内一点，且△BCE
为等边三角形，则∠BAE
的度数为
．
D
C
如图，在□ABCD
中，各内角的平分线分别相交于点
E，F，G，H，求证：四边形
EFGH
是矩形．
A
D
H
【思路分析】
E
G
①读题标注：
F
②梳理思路：
B
C
要证四边形
EFGH
是矩形，根据题目中已有的条件选择判定定理：
．
【过程书写】
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分
ABCD
是菱形吗？为什么？
【思路分析】
①读题标注：
②梳理思路：
要证四边形
ABCD
是菱形，根据题目中已有的条件选择判定定理：
．
【过程书写】
如图，在四边形
ABCD
中，AB=BC，对角线
BD
平分∠ABC．P
是
BD
上一点，过点
P
作
PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点
M，N．
A
求证：∠ADB=∠CDB；
M
若∠ADC=90°，求证：四边形
MPND
是正方形．
B
P
D
N
C
思考小结
对角线一定互相垂直平分的四边形是（
）
平行四边形、菱形
B．矩形、菱形
C．矩形、正方形
D．菱形、正方形
菱形和矩形一定都具有的性质是（
）
对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．每条对角线平分一组对角
菱形具有而矩形不具有的性质是（
）
对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分且相等
正方形具有而菱形不具有的性质是（
）
对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（
）
四条边都相等
B．两组邻边分别相等
C．对角线互相垂直平分
D．两条对角线分别平分一组对角
下列命题错误的是（
）
矩形的对角线相等
对角线互相垂直的四边形是菱形C．平行四边形的对边相等
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知四边形
ABCD
是平行四边形，对角线
AC，BD
相交于点
O，则下列结论不正确的是（
）
当
AB=BC
时，四边形
ABCD
是菱形
当
AC⊥BD
时，四边形
ABCD
是菱形
当
OA=OB
时，四边形
ABCD
是矩形
当∠ABD=∠CBD
时，四边形
ABCD
是矩形
XE
"众享"
XE
"众享"
XE
"众享"
\t
"请参阅
"
\b
XE
"众享"
\t
"请参阅
"
\b
?[1]?【参考答案】
复习巩固
A
D
C
A
C
2
cm
7.
96；40
D
5
3
cm
10.
16
11.
75°
有三个角是直角的四边形是矩形；过程书写略．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；过程书写略．
证明略．
思考小结
D
B
C
C
B
B
D
O
E
B
3
3
3
O
G
O
H
O
E
G
H
O
A
E
P
E
A
D
B
C
^1

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