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2021-2022学年高一数学培优小卷（人教A版2019）
第2.2课时
基本不等式
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意
1．若，则下列不等式中一定成立的是
A．
B．
C．
D．
2．如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（
）
A．(a+b)2≥4ab
B．当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C．(a-b)2≤4ab
D．(a+b)2>(a-b)2
3．已知a>b>0，全集为R，集合M=，N=，P=，则M，N，P满足（
）
A．P=M
B．P=N
C．P=M
N
D．P=MN
4．下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A．
B．
C．
D．
6．若，，且，则
，
，
，
中最大的一个是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如果正数满足，那么（
）
A．，且等号成立时的取值唯一
B．，且等号成立时的取值唯一
C．，且等号成立时的取值不唯一
D．，且等号成立时的取值不唯一
8．已知正数，满足，则的最大值为（
）.
A．1
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意
9．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知、、、是实数，则下列一定正确的有（
）
A．
B．
C．若，则
D．若，，则
11．下列推导过程，正确的为
（
）
A．因为、为正实数，所以
B．因为，所以
C．，所以
D．因为、，，所以
12．已知a>0，b>0，，对于代数式，下列说法正确的是（
）
A．最小值为9
B．最大值是9
C．当a=b=时取得最小值
D．当a=b=时取得最大值
三、填空题。本大题共4小题
13．设，且，求的最小值_______________．
14．若，则的最小值为_____．
15．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______．
16．已知正数，满足，则的最小值是________．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知、都是正数，求证：
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
18．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
19．已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
20．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
21．已知，，，求证：.
22．（1）求当时，的最小值；
（2）求当时，的最小值.
参考答案
1．C
【解析】试题分析：设
2．C
【解析】对于A，由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，
即有(a+b)2≥4ab，故A正确；
对于B，正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，当a=b时，正方形A1B1C1D1的面积为，
A1，B1，C1，D1四点重合，故B正确；
对于C，结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，
因此C选项错误.
对于D，结合图形可知(a+b)2>(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，故D正确；
故选：C
3．A
4．B
【解析】解：对于：可能是负数
，不成立；
对于：由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号，故成立；
对于：当时，，无解，不成立；
对于：可能是负数，不成立.
故选：.
5．D
【解析】，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．
6．D
【解析】，，且，
，.
故选D.
7．A
【解析】正数满足，∴
4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴
c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A．
8．C
【解析】已知正数，满足，则，当且仅当时取等号.故选C.
9．AD
【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，
.
，由基本不等式可得，
，
另一方面，
，
，则.
故选：AD.
10．AD
【解析】因为，所以A正确；
当时，，故B错误；
当，时，，但，故C错误；
若，，则，，且，，所以，又，所以，故D正确；
故选：AD
11．AD
【解析】对于A选项，因为、为正实数，则、为正实数，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，所以，，B选项错误；
对于C选项，当时，，
当且仅当时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为、，，则、均为负数，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
12．AC
【解析】因为，所以==·
=5+2，当且仅当时，即a=b=时，等号成立.
所以a=b=时，代数式取得最小值9.
故选：AC.
13．
【解析】，
当且仅当
即是等号成立，
所以的最小值是，
故答案为：
14．2
【解析】由，则，
当且仅当时取“”，即的最小值为2．
故答案为：2.
15．
【解析】已知，
由得，即，
令，
所以，所以，
故
，
当且仅当即时，取等号.
故答案为：．
16．9
【解析】，
为正实数，，当且仅当时取等号，
，，即
解得：或（舍去），
，当且仅当时取等号，即的最小值是9．
故答案为：9
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】因为、都是正数，所以.
（1）当积等于定值时，，所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值；
（2）当和等于定值时，，所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.
18．当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
【解析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，
.
当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.
答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
20．最大面积是，.
【解析】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
21．证明见解析；
【解析】证明：，，，
，，均大于0，
又①，②，③，
当且仅当时，等号成立，
①②③三式相加得，
.
故不等式得证.
22．（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，当且仅当时等号成立，
所以当时，函数的最小值为；
（2），
当时，，所以，
当且仅当，即在时等号成立，
所以，当时，的最小值为.

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