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第01讲_菱形的性质与判定
菱形
一．菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
二．菱形的性质
　　菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有．此外，它还具有以下性质：
1．菱形的四条边都相等；
2．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．
三．菱形的判定
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3．四条边都相等的四边形是菱形．
四．面积问题
如下图：．
一．考点：1．菱形的性质；2．菱形的判定；3．面积问题．
?
二．重难点：菱形的性质和应用，菱形的证明与判定．
?
三．易错点：矩形和菱形性质的区别．
题模一：性质
例1.1.1如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是____
A．3
B．4
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
同理：∠DBF=60°，
即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△△BDF（ASA），
∴DE=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴②正确；
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故④正确．
∵∠ADE=∠BDF，
同理：∠BDE=∠CDF，
但∠ADE不一定等于∠BDE，
∴AE不一定等于BE，
故①错误；
∵△ADE≌△△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故③错误．
故选D．
例1.1.2如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】B
【解析】
如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD，
∵∠BAD=80°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=100°-40°=60°，
∵在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF=60°．
故选B．
例1.1.3已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵∠BAD=60°，
∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AEF=180°-∠DAO-∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，
∴OD=AD=×2=1，
∴AO===，
∴AE=CF=×=，
∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，
∴高EF=2×=，
在Rt△CEF中，CE===．
题模二：判定
例1.2.1如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是（　　）
A．AB=BC
B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC
D．AC=BD
【答案】D
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A、当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得?ABCD是菱形，故本选项正确；
B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得?ABCD是菱形，故本选项正确；
C、当BD平分∠ABC时，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得?ABCD是菱形，故本选项正确；
由排除法可得D选项错误．
故选D．
例1.2.2如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是（
）
A．四边形是梯形
B．四边形是菱形
C．对角线
D．
【答案】D
【解析】在四边形中，分别是的中点，
，，
；
同理，，四边形是平行四边形；
A、若四边形是梯形时，，则，这与平行四边形的对边相矛盾；故本选项错误；
B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误；
C、若对角线时，四边形可能是等腰梯形，证明同选项；故本选项错误；
D、当时，；所以平行四边形是菱形；故本选项正确．
故答案为D选项．
例1.2.3如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．
【答案】见解析
【解析】
证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中
∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FH∥CE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CF∥EH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形．
例1.2.4已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点0．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）菱形
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OB=OD，
∵DG=BG，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
题模三：面积问题
例1.3.1已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（
）
A．12cm2
B．24cm2
C．48cm2
D．96cm2
【答案】B
【解析】该题考查的是菱形的性质．
∵四边形ABCD是菱形
∴四边形ABCD四边长相等，且对角线互相垂直且平分，
∵该菱形周长为20cm
∴它的每个边长为5cm
∵两条对角线的比是
∴
由勾股定理，算出，，
∴两平分线长度分别为6cm，8cm；
∴菱形面积．
故本题答案为B．
例1.3.2如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____
A．4
B．
C．
D．5
【答案】C
【解析】连接BD，交AC于O点，∵AB=BC=CD=AD=5，∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴B0==4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面积是×AC?DB=×6×8=24，∴BC?AE=24，AE=
随练1.1如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（　　）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴BO=3，AO=4，AO⊥BO，
∴AB==5．
∵OH⊥AB，
∴AO?BO=AB?OH，
∴OH=，
故选D．
随练1.2如图，菱形ABCD中，，于点E，且，连接FC，则的度数为_________度.
【答案】15
【解析】，，∵，∵
∴△CDF是等腰直角三角形，∴，∴
随练1.3如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
【答案】C
【解析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°-28°=62°．
故选：C．
随练1.4已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
【答案】（1）见解析（2）16
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，
∴AC是EM的垂直平分线，
∴AE=AM，
∵AE=AM=AB=AD，
∴AM=DM．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AEM=∠F．
又∵∠FMD=∠AME，∠AME=∠AEM，
∴∠FMD=∠F，
∴△DFM是等腰三角形，
∴DF=DM=AD．
∴AD=4．
∴菱形ABCD的周长是16．
随练1.5如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
【答案】见解析
【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
随练1.6若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是____
A．矩形
B．等腰梯形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
【答案】C
【解析】
如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG，
∴BD=AC．
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：C．
随练1.7如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．
【答案】（1）见解析（2）5
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8-x）2+42，
解得：x=5，
答：MD长为5．
随练1.8如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（　　）
A．
48
B．
96
C．
80
D．
192
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC，
在Rt△AOB中，BO==6，
则BD=2BO=12，
故S菱形ABCD=AC×BD=96．
故选B．
随练1.9如图，边长为1的菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积是_________，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形，使；连接，再以为边作第三个菱形，使；．．．，按此规律所作的第n个菱形的面积为__________．
【答案】；
【解析】该题考查的是找规律．
边长为1的菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积是，经计算得，第一个图形面积是，第二个是，第三个是．．．，则第n个图像的面积是．
作业1将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为____
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．
∵AC=2BC，∠B=90°，
∴AC2=AB2+BC2，
∴（2BC）2=32+BC2，
∴BC=．
故选D．
作业2如图所示，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是（　　）
A．14
B．28
C．6
D．10
【答案】D
【解析】
如图：
作EE′⊥BD交BC于E′，连接E′F，
则E′F就是HE+HF的最小值，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴E′FAB，
而由已知可得AB=10，
∴HE+HF的最小值为10．
作业3如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=____．
【答案】36
【解析】
如右图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH=BD=3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF=GH=AC=3，FG=BD=3，
∴EH=EF=GH=FG=3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG=2OE，FH=2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，
∴（2OE）2+（2OH）2=36，
即EG2+FH2=36．
故答案为：36．
作业4如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．
【答案】17
2
【解析】
如图，菱形的周长最大，
设菱形的边长AC=x，则AB=4-x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
即x2=（4-x）2+12，
解得x=，
所以，菱形的最大周长=×4=．
故答案为：．
作业5如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____．
【答案】-1
【解析】
如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FM=DM×cos30°=，
∴MC==，
∴A′C=MC-MA′=-1．
故答案为：-1．
作业6如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
证明：（1）∵CE∥BF，
∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；
又∵D是BC的中点，即BD=DC，
∴△BDF≌△EDC；（AAS）
（2）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三线合一），
由（1）知：△BDF≌△EDC，
则DE=DF，DB=DC；
∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．
作业7如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2．
以上结论中，你认为正确的有____个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF===2，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个．
故选：C．
作业8如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB=∠GAD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB=GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB=60°，
∴∠PAB=30°，
∴BP=AB=1，
AP==，AE=AG=，
∴EP=2，
∴EB===，
∴GD=．
作业9已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
【答案】见解析
【解析】
（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF，
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，
②结论：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．
（2）结论∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB-∠DAC．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF．
∴∠ADB=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC．
（3）补全图形如下图：
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC
（或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．
作业10菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（
）
A．3cm2
B．4cm2
C．cm2
D．cm2
【答案】D
【解析】该题考查的是菱形的面积．
菱形面积为对角线乘积的二分之一，
由题可知，较短的对角线与边长围成的三角形是等边三角形，
所以另一对角线长为，菱形面积
故答案是D．
0教师辅导讲义
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第01讲_菱形的性质与判定
菱形
一．菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
二．菱形的性质
　　菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有．此外，它还具有以下性质：
1．菱形的四条边都相等；
2．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．
三．菱形的判定
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3．四条边都相等的四边形是菱形．
四．面积问题
如下图：．
一．考点：1．菱形的性质；2．菱形的判定；3．面积问题．
?
二．重难点：菱形的性质和应用，菱形的证明与判定．
?
三．易错点：矩形和菱形性质的区别．
题模一：性质
例1.1.1如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是____
A．3
B．4
C．1
D．2
例1.1.2如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
例1.1.3已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的长．
题模二：判定
例1.2.1如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是（　　）
A．AB=BC
B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC
D．AC=BD
例1.2.2如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是（
）
A．四边形是梯形
B．四边形是菱形
C．对角线
D．
例1.2.3如图．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别于BC、CD交于E、F，EH⊥AB于H．连接FH，求证：四边形CFHE是菱形．
例1.2.4已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点0．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由．
题模三：面积问题
例1.3.1已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（
）
A．12cm2
B．24cm2
C．48cm2
D．96cm2
例1.3.2如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____
A．4
B．
C．
D．5
随练1.1如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（　　）
A．2
B．
C．
D．
随练1.2如图，菱形ABCD中，，于点E，且，连接FC，则的度数为_________度.
随练1.3如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
随练1.4已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM=DM；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．
随练1.5如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
随练1.6若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是____
A．矩形
B．等腰梯形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
随练1.7如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．
随练1.8如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为（　　）
A．
48
B．
96
C．
80
D．
192
随练1.9如图，边长为1的菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积是_________，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形，使；连接，再以为边作第三个菱形，使；．．．，按此规律所作的第n个菱形的面积为__________．
作业1将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为____
A．1
B．2
C．
D．
作业2如图所示，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是（　　）
A．14
B．28
C．6
D．10
作业3如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=____．
作业4如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．
作业5如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____．
作业6如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．
作业7如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2．
以上结论中，你认为正确的有____个．
A．1
B．2
C．3
D．4
作业8如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．
作业9已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
作业10菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（
）
A．3cm2
B．4cm2
C．cm2
D．cm2
0

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