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第03讲_相似的应用与位似
位似
一．位似的概念
1.位似的概念：两个多边形不仅相似而且对应顶点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形．
2.位似中心：每组对应顶点连线的交点我们称之为位似中心．
3.位似比：位似图形也是相似图形，所以两个图形的相似比即为位似比．
4.位似图形的性质：位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
如图：
一．考点：位似的概念；位似图形
?
二．重难点：
1.位似的概念；
2.位似图形必须满足两个条件：
?
（1）两个图形是相似图形；
?
（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．
?
三．易错点：
1.位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形．
2.题目中没有明确位似图形的位置时，要对是否有同侧和异侧位似的情况分类讨论．
题模一：位似
例1.1.1如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，﹣2）
B．（﹣2，1）
C．（）
D．（1，﹣1）
【答案】D
【解析】∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO=1，则AO=AB=，
∴A（，﹣），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，﹣1）．
故选：D．
例1.1.2如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A．1：2
B．1：4
C．1：5
D．1：6
【答案】B
【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选：B．
例1.1.3如图，△ABO与△A′B′O是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是____________
【答案】
【解析】该题考查的是位似图形.
对于两个位似图形，对应点连线的交点即为位似中心．从图中容易看出与的交点
就是位似中心．
例1.1.4下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（　　）
A．②③
B．①②
C．③④
D．②③④
【答案】A
【解析】此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．
①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
②位似图形一定有位似中心，故②正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，故④错误．
正确的选项为：②③．
故选：A．
例1.1.5如图，△ABC三个定点坐标分别为A（-1，3），B（-1，1），C（-3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△
A1B1C1：S△
A2B2C2的值．
【答案】见解析
【解析】
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示，
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，
∴S△
A1B1C1：S△
A2B2C2=（）2=．
随练1.1下列说法不正确的是（
）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
【答案】D
【解析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而A，B，C正确，D错误．
随练1.2如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　）
A．（，n）
B．（m，n）
C．（m，）
D．（，）
【答案】D
【解析】
∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（，）．
故选D．
随练1.3如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　）
A．1：3
B．1：4
C．1：5
D．1：9
【答案】D
【解析】∵OB=3OB′，
∴，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴=．
∴=，
随练1.4图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　
A．点M
B．点N
C．点O
D．点P
【答案】D
【解析】
点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，
故选：D．
随练1.5如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为
1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
【答案】见解析
【解析】
（1）如图所示：
（2）AA′=CC′=2．
在Rt△OA′C′中，
OA′=OC′=2，得A′C′=2；
同理可得AC=4．
∴四边形AA′C′C的周长=4+6．
相似的应用
一．线段、周长、面积问题：利用相似多边形的相似比为线段比（周长比），面积比为相似比的平方的性质求解相似图形的面积比，周长比，线段比的问题．
二．内接矩形类相似模型：
如图，矩形是的内接矩形，则有:
三．相似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，求解与已知三角形相似三角形的坐标问题一般转化为“边角边”或者“角角”来判定相似问题，此类问题一般答案不唯一．
四．相似与圆：在圆中，相似三角形的出现一般都伴随着射影定理和切线与割线问题，这类题目的问题一般为求解长度问题，利用相似三角形的判定模型与性质，结合勾股定理求解．
一．考点：相似三角形的应用
?
二．重难点：找到相似三角形的模型
?
三．易错点：1.相似三角形应用模型不正确；2.注意自变量的取值范围
题模一：求线段、角度、面积
例2.1.1如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴=，=，
∴+=+==1．
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=．
故选C．
例2.1.2如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　　　　　　．（用含n的式子表示）
【答案】．
【解析】∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，
S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，
S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，
S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，
S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，
即Sn：=，
∴Sn=．
例2.1.3如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，OE交CD于点H，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，CE=3，DE=4，求BD的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，
∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴=，
∴BD?CE=CD?DE，
∵DE⊥BE，
∴CD===5，
∴3BD=5×4，
∴BD=．
例2.1.4如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的点，点F是BC的延长线一点，CF=DE，连结BE和EF，EF与CD交于点G，且∠FBE=∠FEB．
（1）过点F作FH⊥BE于点H，证明：△ABE∽△HFB；
（2）证明：BE2=2AE?BF；
（3）若DG=1，求AE值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AE=．
【解析】（1）证明：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
又∵∠A=90°，FH⊥BE，
∴∠A=∠BHF，
∴△ABE∽△HFB；
（2）∵∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF，FH⊥BE，
∴FH是等腰△FBE底边上的高，
∴BH=BE，
由（1）得，，
∴，
∴BE2=2AE?BF；
（3）解：∵DG═1，
∴正方形ABCD的边长为2，
设AE=k（0＜k＜2），则DE═2﹣k，BF=4﹣k，
∴在Rt△ABM中，BE2=AB2+AE2=4+k2，
由BE2=2AE?BF，得4+k2=2k（4﹣k），
即3k2﹣8k+4=0，解得，k=2，
∵k≠2，
∴AE=．
题模二：三角形内接矩形问题
例2.2.1如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，则正方形的边长为__________
．
【答案】
【解析】过作，易求：
设，则，即：
，解得：
例2.2.2如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，则的面积__________．
【答案】
【解析】设，，由，，得：，
由，得：
，解得：
例2.2.3如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若cm，
cm，
（1），求矩形PQMN的周长；
（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？
【答案】（1）矩形PQMN的周长为14.4cm；（2）当时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12．
【解析】（1）由题意得；，
∴
又∵，cm，cm，
∴，∴，则，
∴矩形PQMN的周长为14.4cm；
（2）∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，，，
∴△PAN∽△ABC，
∵AD是高，
∴，
∴四边形PQDE是矩形，，
∴，，
设，矩形PQMN的面积为S，
则，，
∴，，∴
∴当时，S的最大值为12．
∴当时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12．
例2.2.4如图，已知在中，，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形……，依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】本题考查几何图形找规律．
容易计算出第一个正方形的边长为
如图，易知，
∵
∵△DHJ∽△DMP
∴
即
解得
∴第二个正方形边长为
同理可计算出，第三个正方形的边长为，……，依次类推，第n个正方形的边长为，可知答案为D．
题模三：相似在坐标系中的应用
例2.3.1如图，在直角坐标系中有两点，，如果点C在x轴上（C与A不重合），当△BOC和△AOB相似时，C点坐标为__________
【答案】，或
【解析】∵点C在x轴上，
∴．
两个三角形相似时，应该与对应，
若OC与OA对应，则，；
若OC与OB对应，则，或者．
∴C点坐标为：，或．
例2.3.2在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=时，n的值为（
）
A．4﹣2
B．2﹣4
C．﹣
D．
【答案】A
【解析】∵AB=3，△PDE是等边三角形，
∴PD=PE=DE=1，
以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
∵△PDE关于y轴对称，
∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴，
∴PF=，
∴△PFM∽△PON，
∵m=，
∴FM=﹣，
∴=，即=，
解得：ON=4﹣2．
例2.3.3如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
【答案】（1）；（2）E（2，2），或（3，）．
【解析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BCE相似，
∴或，
∴==或，
∴BE=2，CE=，或CE=，
∴E（2，2），或（3，）．
题模四：相似在圆中的应用
例2.4.1如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，，，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于（
）
A．4
B．3.5
C．3
D．2.8
【答案】C
【解析】连接DO，交AB于点F，
∵D是的中点，∴DO⊥AB，，
∵，∴，∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO，
∵BC为直径，，，∴，∴，
∴，
∵AC∥DO，∴△DEF∽△CEA，
∴，∴．
例2.4.2如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
而∠ODB=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
而∠ECD=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD；
（2）解：∵AB=2，
∴OA=1，
在Rt△AOC中，AC=2，
∴OC==3，
∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，
∵△CDE∽△CAD，
∴=，即=，
∴CE=．
∴AE=AC﹣CE=2﹣=．
例2.4.3已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC2=AD?CE；
（3）求的值．
【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）2
【解析】（1）解：如图，连接OB（1分）
∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°（2分）
（2）证明：∵∠BAC=45°，∠D=45°，
∴∠BAC=∠D（3分）
∵AD∥OC，
∴∠ACE=∠DAC（4分）
∴△ACE∽△DAC
∴
∴AC2=AD?CE（5分）
（3）解：方法一：如图，延长BO交DA的延长线于F，连接OA
∵AD∥OC，
∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°，
∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=30°
∵OA=OB，
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°、
∴OF=OA
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD
∴
∴=2，即的值为2（7分）
方法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM=，OM=，∠MOE=30°，
ME=OM?tan30°=，BE=，AE=，所以=2
题模五：动点问题
例2.5.1如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是____
A．A选项
B．B选项
C．C选项
D．D选项
【答案】A
【解析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．
∵BC=4，BE=x，
∴CE=4-x．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AEB=∠CFE．
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△AEB∽Rt△EFC，
∴=，
即=，
整理得：y=（4x-x2）=-（x-2）2+
∴y与x的函数关系式为：y=-（x-2）2+（0≤x≤4）
由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x=2．
故选：A．
例2.5.2如图，菱形ABCD的边长为48cm，，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC—CB—BA做匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．
经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求的值．
【答案】（1）48cm（2）直角三角形（3）4cm/s或12cm/s或24cm/s.
【解析】该题考查的是四边形综合．
（1）∵
四边形ABCD是菱形，
∴.…………………………………
1分
又∵，
∴△ABD是等边三角形.
∴.
∴BD的长为48cm
.…………………………………
2分
（2）如图1，12秒后，点P走过的路程为，
∴12秒后点P到达点D.
又∵
12秒后，点Q走过的路程为，
∴12秒后点Q到达AB的中点N.
……………………………
3分
连结MN，由（1）知△ABD是等边三角形，
∴于点N.
∴.
∴△AMN是直角三角形.
………………………………………4分
（3）依题意得，3秒时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3cm.
∴
点E是BD的中点.
∴
…………………………………………5分
①当点Q在NB上时（如图1），，
∴.
∵点E是BD的中点，
若，则点F1与点A重合，这种情况不成立.
∴时，.
由（1）知
∴△EF1B∽△MAN.
∴.
∴.
∴，.
…………………………………
6分
②如图2，由菱形的轴对称性，当点Q在BC上时，.
∴点Q走过的路程为36cm.
∴.
…………………………………
7分
③如图3，当点Q与点C重合时，即点F与点C重合.
由（1）知，△BCD是等边三角形，
∴于点E，.
∴△F3EB∽△MNA.
此时，
∴点Q走过的路程为72cm.
∴
.
……………………………………
8分
综上所述，若△BEF∽△ANM
，则的值为4cm/s或12cm/s或24cm/s.
随练2.1如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落下点处；作的平分线交于点．设，，那么关于的函数图象大致应为（
）
A．A选项
B．B选项
C．C选项
D．D选项
【答案】C
【解析】由翻折的性质得，，平分，，，，又，
，，即，
随练2.2在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上．
（1）若，，求GF的长；
（2）若，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：；
（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）矩形DEFG的面积的最大值是12．
【解析】（1）∵△ABC的面积是24，若，
∴△ABC的高．
设，则，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
解得：，∴；
（2）过G作GP∥BC，过D作DP∥EN，GP、DP交于P点．在DM上截取，连接QG，则△GPD≌△FNE．
∴，
∵，
∴△GPD≌△GQD．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（3）作CM⊥AB于M，交GF于点N．
设，AB边上的高是h，，则，，，设．
∵△CGF∽△CAB，
∴，即，则，
则．
则矩形DEFG的面积，即
当时，s有最大值．
最大值是：
故矩形DEFG的面积的最大值是12．
随练2.3在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，，分别是线段，上的点，以所在直线为对称轴，把作轴对称变换得，点恰好在轴上，若与相似，则点的坐标为__________．
【答案】或（）
【解析】点的坐标为，点的坐标为，，，，
若，则，设，则，，
即，解得：，
，；
若，则，同理可得：．
随练2.4如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=8，AC=6，D是弧AB的中点，CD与AB的交点为E，则CE：DE等于（　　）
A．7：2
B．5：2
C．4：1
D．3：1
【答案】D
【解析】连接DO，交AB于点F，
∵D是的中点，
∴DO⊥AB，AF=BF，
∵AB=8，
∴AF=BF=4，
∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO，
∵BC为直径，AB=8，AC=6，
∴BC=5=10，FO=AC=3，
∴DO=5，
∴DF=5﹣3=2，
∵AC∥DO，
∴△DEF∽△CEA，
∴，
∴=3．
故选：D．
随练2.5如图，已知在中，是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长；
（3）在满足的条件下，若，，求的半径．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）证明：连接，是的直径，，，
又，，，，
，而是的直径，是的切线；
（2）解：由（1）知，，又，，，
又，，而，，，
即，，，；
（3）解：设，，，，
在中，，，即，解得x=2，，，
半径为
随练2.6已知：如图，一次函数的图象与二次函数的图象与x轴交于同一点A，且与y轴交于点B，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．
【答案】或
【解析】该题考查的是二次函数综合问题．
令，一次函数与y轴的交点，
二次函数与y轴的交点为，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∵中，和都不等于，，
∴和
是对应角为，
∴点C在点A的左边，
AC和BD是对应边时，∵，
∴，
∴，
∴，
点C的坐标为
AC和AB是对应边时，
∵，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为
综上所述，在x轴上有一点或，使以点A、B、C组成的三角形与相似．
随练2.7如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】在菱形ABCD中，∠1=∠2，
又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM=∠AFN=90°，
∴△AFN∽△AEM，
∴=，
即=，
解得AN=4．
随练2.8已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）y
=-t2+t+48（3）
【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．
在Rt△AOB中，AB==10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴=．
即=，
∴DF=t．
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP=DF．
即10-t=t，
解这个方程，得t=．
∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．
（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=AB?CG=AC?BD，
即10?CG=×12×16，
∴CG=．
∴S梯形APFD=（AP+DF）?CG
=（10-t+t）?=t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴=．
即=，
∴QF=t．
同理，EQ=t．
∴EF=QF+EQ=t．
∴S△
EFD=EF?QD=×t×t=t2．
∴y=（t+48）-t2=-t2+t+48．
（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，
则-t2+t+48=×96，
即5t2-8t-48=0，
解这个方程，得t1=4，t2=-（舍去）
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t=4时，
∵△PBN∽△ABO，
∴==，即==．
∴PN=，BN=．
∴EM=EQ-MQ=3-=．
PM=BD-BN-DQ=16--4=．
在Rt△PME中，
PE===（cm）．
相似的实际应用
一．利用相似解决一些实际测量问题
?
1.测高（不能直接用皮尺或刻度尺测量）
测量不能到达顶部物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决；
2.测距（不能直接测量的两点之间的距离）
测量不能到达两点之间的距离，常构造相似三角形解决．
?
二．解相似三角形实际问题的一般步骤
1.审题；
2.构建图形；
3.利用相似解决问题
一．考点：利用相似三角形性质、判定解决实际测量问题
?
二．重难点：相似三角形性质及判定的应用
?
三．易错点：做题过程中注意计算问题
题模一：利用相似解决一些实际测量问题
例3.1.1如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　　　　　　米．
【答案】6
【解析】根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4，FD=9；
易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴=；
即DC2=ED?FD，
代入数据可得DC2=36，
DC=6；
故答案为6．
例3.1.2圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（　　）
A．0.324πm2
B．0.288πm2
C．1.08πm2
D．0.72πm2
【答案】D
【解析】如图所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOC，
∴=，即=，
解得：BD=0.9m，
同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m，
∴S圆环形阴影=0.92π﹣0.32π=0.72π（m2）．
例3.1.3为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度m，标杆与旗杆的水平距离m，人的眼睛与地面的高度m，人与标杆CD的水平距离m，E、C、A三点共线，则旗杆AB的高度为________米．
【答案】
【解析】该题考查的是解直角三角形．
∵，，
∴CD∥AB，
∴△∽△，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴（m）．
例3.1.4小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
【答案】20.0米
【解析】
过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，
∵EF∥AB，
∴=，
由题意，知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5，
∴=，解得，BG=18.75，
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．
随练3.1如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边m，cm，测得边DF离地面的高度m，m，求树高．
【答案】米
【解析】该题考查的是相似三角形的距离应用．
∵，，
∴△DEF≌△DCB
∵，，
∴
∵
∴
即树高为米．
随练3.2阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离，窗口高，则窗口底边离地面的高_________．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】阳光可看做平行线，，则有，根据相似三角形对应边成比例有可得，解得．
随练3.3如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，）测量零件的内孔直径AB．若，且量得，则零件的厚度x=_______mm
【答案】3
【解析】该题考查的是相似三角形中的长度计算．
∵，
∴
∴
又∵，
∴△OAB∽△OCD
∴
∴mm
∴
故答案为3．
随练3.4如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．
【答案】（11﹣4）米．
【解析】如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC?cos30°=m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴
∴PB===11米，
∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．
作业1如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，若五边形ABCDE的面积为15cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为　　　　　　．
【答案】cm2．
【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，
∴=，
∵五边形ABCDE的面积为15cm2，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积为：cm2．
作业2如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△
ABC=8，则S△
A′B′C′=____．
【答案】18
【解析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方．
△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA=2AA′可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方．
△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′．可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，又由△ABC的面积为8，得△A′B′C′的面积为18．
作业3如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为　　　　　　．
【答案】（﹣8，﹣3）或（4，3）．
【解析】∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=﹣2，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴==，
∴O′B′=3，AO′=6，
∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．
作业4如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2）
B．（3，1）
C．（2，2）
D．（4，2）
【答案】A
【解析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，
∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
作业5如图，在平面直角坐标系中，，．
（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；
（2）在（1）的条件下，写出点A的对应点C的坐标为_______，点B的对应点D的坐标为________．
【答案】（1）见解析（2）或；或．
【解析】该题考察的是位似图形的性质．
（1）如下图所示画图正确
（2）点A的对应点C的坐标为或，
点B的对应点D的坐标为或．
作业6如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，若，则的面积是__________．
【答案】
【解析】
平分，；又四边形是平行四边形
，，，
，垂足为，．在中，，，，
，；．
，，，．
，，，则．
作业7中，．取边的中点，作于点，取的中点，连接，交于点．
（1）如图，如果，那么__________，__________；
（2）如图，如果，猜想的度数和的值，并证明你的结论；
【答案】（1），．（2），
【解析】解：（1）90，．
（2），∴是等边三角形．∵为的中点，．
．又，．．．
设，则，．为的中点，
，．
，．
．又，．
，．又，，．．
作业8锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN，设MN的长为X，矩形MPQN的面积为Y，则y关于x的函数图象大致形状是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作AD⊥BC于点D，交MN于点E，如下图所示，
∵锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，
∴，
解得，AD=4，
∵两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN，
∴MP=ED，△AMN∽△ABC，
∴
又∵MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，
∴
解得，AE=，
∴ED=AD﹣AE=4﹣，
∴MP=，
∴矩形的面积y=x（）==，
∴y关于x的函数图象是二次函数，顶点坐标是（3，6），
故选B．
作业9如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是____
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：
∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM=AB=，
又∵△OA1B1为等腰直角三角形，
∴ON=A1B1=MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，
同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，
则第n个正方形AnBnDnCn的边长．
故选B
作业10如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△
POA=2S△
AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-x，A的坐标为（6，0）
（2）满足条件的点P有两个，其坐标为：P1（3+3，2），P2（3-3，2）
（3）在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：（3，-）或（9，3）或（-3，3）
【解析】
（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），
又∵函数的顶点坐标为（3，-），
∴，
解得：，
故函数解析式为：y=x2-x，
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；
（2）∵S△
POA=2S△
AOB，
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，
代入函数解析式得：2=x2-x，
解得：x1=3+3，x2=3-3，
即满足条件的点P有两个，其坐标为：P1（3+3，2），P2（3-3，2）．
（3）存在．
①当点Q与点B重合时，满足△AQO与△AOB相似，
此时点Q的坐标为（3，-）；
②当点Q与点B不重合时，
过点B作BP⊥OA，则tan∠BOP==，
故可得∠BOA=30°，
设Q1坐标为（x，x2-x），过点Q1作Q1F⊥x轴，
∵△OAB∽△OQ1A，
∴∠Q1OA=30°，
故可得OF=Q1F，即x=（x2-x），
解得：x=9或x=0（舍去），
经检验得此时OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．
即可得Q1坐标为（9，3），
根据函数的对称性可得Q2坐标为（-3，3）．
∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：（3，-）或（9，3）或（-3，3）．
作业11如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连结OD，如图，
∵EF=ED，
∴∠EFD=∠EDF，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠CFO=∠EDF，
∵OC⊥OF，
∴∠OCF+∠CFO=90°，
而OC=OD，
∴∠OCF=∠ODF，
∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OF：OB=1：3，
∴OF=1，BF=2，
设BE=x，则DE=EF=x+2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO=∠BDE，
而∠ADO=∠A，
∴∠BDE=∠A，
而∠BED=∠DAE，
∴△EBD∽△EDA，
∴==，即==，
∴x=2，
∴==．
作业12如图，AB是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）求证：ED是的切线；
（2）若，，求CF的长
【答案】（1）见解析（2）
【解析】该题考查的是圆的切线证明与圆中线段长度计算问题．
（1）连结，则．
∴
∵平分
∴
∴∥．…………………………………．1分
∴．
∵，即，
∴，即．
∴与相切．……………………………．．2分
（2）连结．
∵是的直径，
∴．
∴………………………………………………………．3分
∵，．
∴∽
∴，即，得．
∴．…………………………………………………4分
可证∽
∴，
∴．…………………………………………………………………………5分
作业13为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面，标杆长为，且，，则树高________
【答案】10.1
【解析】此题考查了相似三角形的应用．
过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H，
由题意可得四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，
AB∥CF∥DE
∴△AHF∽△AGE
∴
由题意可得，，
∴
∴
∴
作业14如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2
m，OC=0.5m，通过计算得到此时的h1，再将横板AB换成横板A′B′，O为横板A′B′的中点，且A′B′=3m，此时B′点的最大高度为h2，由此得到h1与h2的大小关系是：h1
h2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h随横板的长度的变化而
（填“不变”或“改变”）．
【答案】=，不变
【解析】本题考查相似的应用。
作业15如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，每平方米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．
（1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
（2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小，最小值为多少？
【答案】（1）40米（2）20米；26400元
【解析】
（1）设FG=x米，则AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：=，
∴HG=120-x，
BE+FC=120-（120-x）=x，（2分）
∴?（120-x）?（80-x）=×x?x，
解得x=40．
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等．（5分）
（2）设改造后的总投资为W元．
则W=?（120-x）?（80-x）?6+×x?x?10+x（120-x）?4
=6x2-240x+28800
=6（x-20）2+26400
∵二次项系数6＞0，0＜x≤80，
∴当x=20时，W最小=26400．
答：当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元．（8分）
作业16如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离．（≈1.732，结果精确到0.1m）
【答案】7.7m
【解析】
设AB、CD的延长线相交于点E．
∵∠CBE=45°，CE⊥AE，
∴CE=BE．
∵CE=26.65-1.65=25，
∴BE=25．
∴AE=AB+BE=30．
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，
∴DE=AE×tan30°=30×=10，
∴CD=CE-DE=25-10≈25-10×1.732=7.68≈7.7（m）．
答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m．
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第03讲_相似的应用与位似
位似
一．位似的概念
1.位似的概念：两个多边形不仅相似而且对应顶点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形．
2.位似中心：每组对应顶点连线的交点我们称之为位似中心．
3.位似比：位似图形也是相似图形，所以两个图形的相似比即为位似比．
4.位似图形的性质：位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
如图：
一．考点：位似的概念；位似图形
?
二．重难点：
1.位似的概念；
2.位似图形必须满足两个条件：
?
（1）两个图形是相似图形；
?
（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．
?
三．易错点：
1.位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形．
2.题目中没有明确位似图形的位置时，要对是否有同侧和异侧位似的情况分类讨论．
题模一：位似
例1.1.1如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（　　）
A．（1，﹣2）
B．（﹣2，1）
C．（）
D．（1，﹣1）
例1.1.2如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A．1：2
B．1：4
C．1：5
D．1：6
例1.1.3如图，△ABO与△A′B′O是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是____________
例1.1.4下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（　　）
A．②③
B．①②
C．③④
D．②③④
例1.1.5如图，△ABC三个定点坐标分别为A（-1，3），B（-1，1），C（-3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△
A1B1C1：S△
A2B2C2的值．
随练1.1下列说法不正确的是（
）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
随练1.2如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　）
A．（，n）
B．（m，n）
C．（m，）
D．（，）
随练1.3如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　）
A．1：3
B．1：4
C．1：5
D．1：9
随练1.4图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　
A．点M
B．点N
C．点O
D．点P
随练1.5如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点0和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以O为位似中心，在网络图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为
1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
相似的应用
一．线段、周长、面积问题：利用相似多边形的相似比为线段比（周长比），面积比为相似比的平方的性质求解相似图形的面积比，周长比，线段比的问题．
二．内接矩形类相似模型：
如图，矩形是的内接矩形，则有:
三．相似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，求解与已知三角形相似三角形的坐标问题一般转化为“边角边”或者“角角”来判定相似问题，此类问题一般答案不唯一．
四．相似与圆：在圆中，相似三角形的出现一般都伴随着射影定理和切线与割线问题，这类题目的问题一般为求解长度问题，利用相似三角形的判定模型与性质，结合勾股定理求解．
一．考点：相似三角形的应用
?
二．重难点：找到相似三角形的模型
?
三．易错点：1.相似三角形应用模型不正确；2.注意自变量的取值范围
题模一：求线段、角度、面积
例2.1.1如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
例2.1.2如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn=　　　　　　．（用含n的式子表示）
例2.1.3如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，OE交CD于点H，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，CE=3，DE=4，求BD的长度．
例2.1.4如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的点，点F是BC的延长线一点，CF=DE，连结BE和EF，EF与CD交于点G，且∠FBE=∠FEB．
（1）过点F作FH⊥BE于点H，证明：△ABE∽△HFB；
（2）证明：BE2=2AE?BF；
（3）若DG=1，求AE值．
题模二：三角形内接矩形问题
例2.2.1如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，则正方形的边长为__________
．
例2.2.2如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，则的面积__________．
例2.2.3如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若cm，
cm，
（1），求矩形PQMN的周长；
（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？
例2.2.4如图，已知在中，，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形……，依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为（）
A．
B．
C．
D．
题模三：相似在坐标系中的应用
例2.3.1如图，在直角坐标系中有两点，，如果点C在x轴上（C与A不重合），当△BOC和△AOB相似时，C点坐标为__________
例2.3.2在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=时，n的值为（
）
A．4﹣2
B．2﹣4
C．﹣
D．
例2.3.3如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
题模四：相似在圆中的应用
例2.4.1如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，，，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于（
）
A．4
B．3.5
C．3
D．2.8
例2.4.2如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．
例2.4.3已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC2=AD?CE；
（3）求的值．
题模五：动点问题
例2.5.1如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是____
A．A选项
B．B选项
C．C选项
D．D选项
例2.5.2如图，菱形ABCD的边长为48cm，，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC—CB—BA做匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．
经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求的值．
随练2.1如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落下点处；作的平分线交于点．设，，那么关于的函数图象大致应为（
）
A．A选项
B．B选项
C．C选项
D．D选项
随练2.2在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上．
（1）若，，求GF的长；
（2）若，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：；
（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值．
随练2.3在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，，分别是线段，上的点，以所在直线为对称轴，把作轴对称变换得，点恰好在轴上，若与相似，则点的坐标为__________．
随练2.4如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=8，AC=6，D是弧AB的中点，CD与AB的交点为E，则CE：DE等于（　　）
A．7：2
B．5：2
C．4：1
D．3：1
随练2.5如图，已知在中，是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长；
（3）在满足的条件下，若，，求的半径．
随练2.6已知：如图，一次函数的图象与二次函数的图象与x轴交于同一点A，且与y轴交于点B，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．
随练2.7如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=NM=2，ME=3，则AN=（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
随练2.8已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．
相似的实际应用
一．利用相似解决一些实际测量问题
?
1.测高（不能直接用皮尺或刻度尺测量）
测量不能到达顶部物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决；
2.测距（不能直接测量的两点之间的距离）
测量不能到达两点之间的距离，常构造相似三角形解决．
?
二．解相似三角形实际问题的一般步骤
1.审题；
2.构建图形；
3.利用相似解决问题
一．考点：利用相似三角形性质、判定解决实际测量问题
?
二．重难点：相似三角形性质及判定的应用
?
三．易错点：做题过程中注意计算问题
题模一：利用相似解决一些实际测量问题
例3.1.1如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为　　　　　　米．
例3.1.2圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（　　）
A．0.324πm2
B．0.288πm2
C．1.08πm2
D．0.72πm2
例3.1.3为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度m，标杆与旗杆的水平距离m，人的眼睛与地面的高度m，人与标杆CD的水平距离m，E、C、A三点共线，则旗杆AB的高度为________米．
例3.1.4小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB．（结果精确到0.1m）
随练3.1如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边m，cm，测得边DF离地面的高度m，m，求树高．
随练3.2阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离，窗口高，则窗口底边离地面的高_________．
A．
B．
C．
D．
随练3.3如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，）测量零件的内孔直径AB．若，且量得，则零件的厚度x=_______mm
随练3.4如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．
作业1如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，若五边形ABCDE的面积为15cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为　　　　　　．
作业2如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，S△
ABC=8，则S△
A′B′C′=____．
作业3如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为　　　　　　．
作业4如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2）
B．（3，1）
C．（2，2）
D．（4，2）
作业5如图，在平面直角坐标系中，，．
（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；
（2）在（1）的条件下，写出点A的对应点C的坐标为_______，点B的对应点D的坐标为________．
作业6如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，若，则的面积是__________．
作业7中，．取边的中点，作于点，取的中点，连接，交于点．
（1）如图，如果，那么__________，__________；
（2）如图，如果，猜想的度数和的值，并证明你的结论；
作业8锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN，设MN的长为X，矩形MPQN的面积为Y，则y关于x的函数图象大致形状是（　　）
A．
B．
C．
D．
作业9如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；…；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是____
A．
B．
C．
D．
作业10如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△
POA=2S△
AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
作业11如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．
作业12如图，AB是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）求证：ED是的切线；
（2）若，，求CF的长
作业13为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面，标杆长为，且，，则树高________
作业14如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2
m，OC=0.5m，通过计算得到此时的h1，再将横板AB换成横板A′B′，O为横板A′B′的中点，且A′B′=3m，此时B′点的最大高度为h2，由此得到h1与h2的大小关系是：h1
h2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h随横板的长度的变化而
（填“不变”或“改变”）．
作业15如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，每平方米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．
（1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
（2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小，最小值为多少？
作业16如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离．（≈1.732，结果精确到0.1m）
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