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（4）三角函数及解三角形——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编
1.【2021年新高考Ⅰ卷，4】下列区间中，函数单调递增的区间是(
)
A.
B.
C.
D.
2.【2021年全国乙卷(文)，4】函数的最小正周期和最大值分别是(
)
A.3π和
B.3π和2
C.6π和
D.6π和2
3.【2021年新高考Ⅰ卷，6】若，则(
)
A.
B.
C.
D.
4.【2021年全国乙卷(文)，6】(
)
A.
B.
C.
D.
5.【2021年全国乙卷(理)，7】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则(
)
A.
B.
C.
D.
6.【2021年全国甲卷(理)，8】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰髙程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，，满足，.由C点测得B点的仰角为15°，与的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面的高度差约为（）(
)
A.346
B.373
C.446
D.473
7.【2021年全国甲卷(文)，8】在中，已知，，，则(
)
A.1
B.
C.
D.3
8.【2021年全国乙卷(理)，9】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高(
)
A.
B.
C.
D.
9.【2021年全国甲卷(理)，9】若，，则(
)
A.
B.
C.
D.
10.【2021年全国甲卷(文)，15】已知函数的部分图象如图所示，则___________.
11.【2021年全国乙卷(理)，15】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则_____________.
12.【2021年全国甲卷(理)，16】已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为___________.
13.【2021年北京卷，16】已知在中，，.
（1）求B的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.
①；②周长为；③面积为；
14.【2021年新高考Ⅱ卷，18】在中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，，.
（1）若，求的面积.
（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由.
15.【2021年新高考Ⅰ卷，19】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，点D在边AC上，.
(1)证明：；
(2)若，求.
答案以及解析
1.答案：A
解析：本题考查三角函数的单调性，熟记三角函数的单调区间是解决此类问题的关键.因为，所以，解得，只有A项符合.
2.答案：C
解析：本题考查三角函数的化简与性质.由三角函数，得其最小正周期为，最大值为.
3.答案：C
解析：本题考查三角函数的化简与计算.因为，所以.
4.答案：D
解析：.
5.答案：B
解析：本题考查三角函数图象的伸缩变换和平移变换、三角函数的解析式.根据题目条件逆向思维，把函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得，即.
6.答案：B
解析：本题考查空间几何体、三角变换、正弦定理.由题意可知.在中，由正弦定理可知，则，过B点作于点M，易得，则.
7.答案：D
解析：本题考查三角形及余弦定理.由于，，，根据余弦定理，可得，则有，即，解得或（舍去）.
8.答案：A
解析：本题考查数学文化、解三角形问题.如图所示，连接FD并延长交AB于点M，设，，则有，而.又，，所以，则有，所以.
9.答案：A
解析：本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式.由，，，得，所以，由，故.
10.答案：
解析：本题考查三角函数的图象与性质、三角函数值的求解.由图象可得，函数的周期，故，所以，结合，取满足条件的一个，则有，故.
11.答案：
解析：本题考查解三角形的应用.由三角形的面积公式得，解得.又，由余弦定理，得，所以.
12.答案：2
解析：本题考查三角函数的图象、性质，不等式.由已知可知的周期T满足，故，.由，可令.故，所以，，原不等式化为，可得或.结合图象，若x取正数，①当时，，此时没有满足条件的正整数；②当时，，此时满足条件的最小正整数为2.
13.答案：（1）由正弦定理，得，
故（舍）或，故；
（2）由（Ⅰ）知，，故不能选①.
选②，设，则，
故周长为，
解得，即，，
设BC中点为D，则在中，
由余弦定理，，
解得.
选③，设，则，
故，
解得，即，，
设BC中点为D，则在中，由余弦定理，，解得.
14.答案：（1）由正弦定理知，联立，解得
则.
由余弦定理可知.
因为，所以，
则的面积为.
（2）因为，所以，
所以若存在正整数a，使得为钝角三角形，只需角C为钝角，
所以只需满足，即，
则，
化简得，解得.
因为a为正整数，所以a可取1，2.
当时，的三边的长度分别为1，2，3，此时不满足三角形的三边关系，即该三角形不存在；
当时，的三边的长度分别为2，3，4满足题意.
因此当时，为钝角三角形.
15.答案：（1）在中，.①
因为，
所以，②
联立①②得，即.
因为，所以.
（2）由（1）知，因为，所以，.
在中，，
在中，.
因为，
所以，即.
因为，
所以，即或.
在中，，
当时，（舍去）；
当时，.
综上所述，.

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