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3.6　圆内接四边形
【基础练习】
1.在圆内接四边形ABCD中,已知∠A=70°,则∠C的度数为
(　　)
A.20°
B.30°
C.70°
D.110°
2.如图1,点A,B,C,D在☉O上,点E在AD的延长线上,若∠ABC=60°,则∠CDE的度数为
(　　)
图1
A.30°
B.45°
C.60°
D.70°
3.在圆内接四边形ABCD中,与的比为3∶2,则∠B的度数为
(　　)
A.
36°
B.
72°
C.
108°
D.216°
4.[2020·诸暨期末]
如图2,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE.若∠ABC=64°,则∠AEC的度数为
(　　)
图2
A.106°
B.116°
C.126°
D.136°
5.如图3,AB经过圆心O,四边形ABCD内接于☉O,∠B=3∠BAC,则∠ADC的度数为　　　　.?
图3
6.如图4所示,AB是半圆O的直径,C,D是半圆上的两点,∠ADC=120°,则∠BAC=　　　　°.?
图4
7.
已知在圆的内接四边形ABCD中,弧的度数比为∶∶=4∶2∶5.若∠B=120°,则∠A=　　　　,∠C=　　　　,∠D=　　　　.?
8.[教材课内练习第2题变式]
在圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6,则∠D=　　　　°.?
9.如图5所示,已知A,B,C,D是☉O上的四点,延长DC,AB相交于点E,若BC=BE,求证:△ADE是等腰三角形.
图5
10.如图6,四边形ABCD内接于☉O,AC平分∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E.
(1)若∠ADC=86°,求∠CBE的度数;
(2)若AC=EC,求证:AD=BE.
图6
【能力提升】
11.圆内接四边形ABCD的四个内角的度数之比可能是
(　　)
A.1∶2∶3∶4
B.1∶3∶4∶5
C.2∶3∶4∶5
D.2∶3∶5∶4
12.如图7,在平面直角坐标系中,☉C过原点O,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,3),M是上一点,且在第三象限内.若∠BMO=120°,则☉C的半径为
(　　)
图7
A.6
B.5
C.3
D.3
13.如图8,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB交CB的延长线于点E,若BA平分∠DBE,AD=5,CE=,则AE的长为
(　　)
图8
A.3
B.3
C.4
D.2
14.如图9,圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,∠A=55°,∠E=30°,则∠F=　　　　°.?
图9
15.如图10,☉O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F.
图10
(1)若∠E=∠F,求证:∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=42°,求∠A的度数;
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β,请你用含有α,β的代数式表示∠A的大小.
16.(1)已知:如图11①,四边形ABCD内接于☉O,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=∠180°.
(2)依已知条件和(1)中的结论解答问题:
?如图②,若点C在☉O外,且A,C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系;
?如图③,若点C在☉O内,且A,C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系.
图11
(3)如图12,四边形ABCD内接于☉O,∠DAB=130°,连结OC,P是半径OC上任意一点,连结DP,BP,则∠BPD的度数可能为　　　　(写出一个即可).?
图12
答案
1.D
2.C　[解析]
∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠CDE+∠ADC=180°,∠ABC=60°,
∴∠CDE=∠ABC=60°.
故选C.
3.C　[解析]
如图.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠B+∠D=180°.
∵与的比为3∶2,
∴∠B∶∠D=3∶2,
∴∠B=180°×=108°.
故答案为C.
4.B　[解析]
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠D=180°-∠ABC=116°.
∵点D关于AC的对称点E在边BC上,
∴∠AEC=∠D=116°.
故选B.
5.112.5°　[解析]
∵AB经过圆心O,
∴∠ACB=90°.
∵∠B=3∠BAC,
∴∠B=67.5°.
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠ADC=180°-∠B=112.5°.
6.30
7.70°　110°　60°
8.112.5　[解析]
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6,
∴可设∠A=2α,∠B=3α,∠C=6α,则2α+6α=180°,
∴α=22.5°,∴∠B=3α=67.5°,
∴∠D=180°-∠B=112.5°.
9.证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°.
又∵∠BCE+∠DCB=180°,
∴∠A=∠BCE,则∠A=∠E,
∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.
10.解:(1)∵四边形
ABCD
内接于☉O,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
又∵∠CBE+∠ABC=180°,
∴∠ADC=∠CBE.
∵∠ADC=86°,∴∠CBE=86°.
(2)证明:∵AC=EC,
∴∠E=∠CAE.
∵AC
平分∠BAD,
∴∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠E.
∵四边形
ABCD
内接于☉O,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
又∵∠EBC+∠ABC=180°,
∴∠ADC=∠EBC.
在△ADC
和△EBC
中,
∵
∴△ADC≌△EBC(AAS),∴AD=BE.
11.D
12.D　[解析]
∵四边形ABMO内接于☉C,
∴∠BMO+∠BAO=180°.
∵∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°.
又∵AO⊥BO,A(0,3),
∴AB是☉C的直径,且AB=2AO=6,
∴☉C的半径为3.故选D.
13.D　[解析]
连结AC,如图.
∵BA平分∠DBE,
∴∠1=∠2.
∵∠1+∠ABC=180°,∠ABC+∠CDA=180°,
∴∠1=∠CDA.
又∵∠2=∠3,∴∠3=∠CDA,
∴AC=AD=5.
∵AE⊥CB,∴∠AEC=90°,
∴AE===2.
故选D.
14.40　[解析]
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠BCF=180°-∠BCD=∠A=55°.
∵∠A=55°,∠E=30°,
∴∠CBF=∠A+∠E=85°,
∴∠F=180°-∠BCF-∠CBF=40°.
15.解:(1)证明:∵∠E=∠F,∠ECD=∠FCB,
∴∠E+∠ECD=∠F+∠FCB,
∴∠ADC=∠ABC.
(2)∵∠A+∠BCD=180°,∠ECD+∠BCD=180°,∴∠A=∠ECD.
∵∠EDC=∠A+∠F,∠EDC+∠E+∠ECD=180°,
∴2∠A+∠E+∠F=180°.
∵∠E=∠F=42°,∴∠A=48°.
(3)由(2)中的结论可知2∠A+∠E+∠F=180°,∴2∠A+α+β=180°,解得∠A=90°-(α+β).
16.解:(2)?如图①,连结DE.
∵∠A+∠BED=180°,∠BED>∠BCD,
∴∠A+∠BCD<180°.
?如图②,延长DC交☉O于点E,连结BE.
∵∠A+∠E=180°,∠BCD>∠E,
∴∠A+∠BCD>180°.
(3)答案不唯一,如80°

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