资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题09
平面向量
重点题型
题型一、平面向量的概念及其线性运算
1．基本概念（熟记）
（1）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.
（2）相等向量：不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
（3）共线向量：即平行向量，它们均与起点无关．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
（4）非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．
2．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律
共线向量定理（重点）：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
3．运算法则
（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
题型二、平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理及应用
（1）概念：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
（2）应用：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.
2．平面向量的坐标运算
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
（4）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b?x1y2－x2y1=0.
（5）已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
题型三、平面向量的数量积及其应用
1．平面向量的数量积
（1）概念
①已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.注意：零向量与任一向量的数量积为0.
②设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.
2．平面向量数量积的常用公式
设非零向量，是与的夹角.
（1）数量积：.
（2）模：.
（3）夹角：
.
（4）垂直与平行：；a∥b?a·b=±|a||b|.
3．平面向量数量积的几何意义及应用
（1）的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
（2）力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即
为和的夹角).
（3）常见的向量表示形式：
①重心：若点G是的重心，则或
(其中P为平面内任意一点)．反之，若，则点G是的重心．
②垂心：若H是的垂心，则.反之，若，则点H是的垂心．
③内心：若点I是的内心，则.反之，若，则点I是的内心．
④外心：若点O是的外心，则或.反之，若，则点O是的外心.
考点集训
一、单选题
1．已知向量，则x的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，即，
计算得：，所以选项B正确，选项ACD错误.故选B.
2．△中，“△是钝角三角形”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在△中，若∠为锐角，如图画出平行四边形
∴，易知
∴“△是钝角三角形”不一定能推出“”；
在△中，三点不共线，
∵，∴，∴，∴，
∴∠为钝角，∴△为钝角三角形，
∴“”能推出“△是钝角三角形”.
故“△是钝角三角”是“”的必要不充分条件,故选B.
3．已知向量，，且与共线，则x=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵，，与共线，
∴，解得．故选B．
4．设为所在平面内一点，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，为所在平面内一点，，如下图所示
①；②
因为，代入①中可得③
由②③可得，，故选B.
5．已知向量，满足，，则（
）
A．4
B．0
C．2
D．3
【答案】D
【解析】向量，满足，，则，故选．
6．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
∴BA⊥AC,∴△ABC为直角三角形，故选
7．已知平面向量与的模长之比为，且夹角为，则与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为向量与的夹角为，所以，所以，
因为向量与的模长之比为，所以，
所以，所以，
所以，，所以，
因为两个向量的夹角范围为，所以与的夹角为，故选B.
8．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（
）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【解析】由得，说明的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，
，（当且仅当时取等号）．故选．
9．已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（
）
A．8
B．6
C．5
D．4
【答案】A
【解析】∵，，，，
如图，在平行四边形中，
，
设，则，即
同理，在平行四边形中，
，
可得，，∴，；
所以与的夹角为或其补角，
则
∴的面积为8.故选A.
10．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若，，那么（
）
A．2
B．
C．6
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，，
又，，，，
．
故选D．
二、多选题
11．已知点为外接圆的圆心，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】令，则，所以（舍）或，所以，
所以.故选BD.
12．已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】∵，，∴，，得，，故A错误；
又，则，则，故B正确；
，又，∴，故C正确；
∵，∴与不垂直，故D错误.故选BC．
13．已知菱形边长为1，，E是中点，F是中点，M是中点，延长交于N(如图所示)，设，，则下列结论正确的是（
）
A．.
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由F是中点可得，，故A正确；
因为E是中点，M是中点，所以,又,所以错误，故B错误；
因为，，所以，故C正确;
若，则，即,即,由图形可知显然不成立，故D错误.故选AC.
14．已知平面向量，，
，若
，
是夹角为的两个单位向量，，，则下列结论正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】因为是夹角为的两个单位向量，所以，，
①
设，则，，，
设，将代入①得，，即，
因此向量的坐标满足圆，而圆上的点到原点的最大距离为，A正确；
由①知，，
当时等号成立，故C正确.
故选AC．
15．在中，有如下四个命题正确的有（
）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的形状为直角三角形
C．内一点G满足，则G是的重心
D．若，则点P必为的外心
【答案】BC
【解析】对于A，由，得，所以，所以角为锐角，但不能判断三角形为锐角三角形，所以A错误，
对于B，因为，所以，即，所以,得，因为，所以，所以三角形为直角三角形，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以（为的中点），所以三点共线，所以点在边的中线上，同理，可得点在其它两边的中线上，所以G是的重心，所以C正确，
对于D，因为，所以，,所以，所以点在边的高上，同理可得点
也在其它两边的高上，所以点为的垂心，所以D错误，
故选：BC
三、填空题
16．已知向量，，在上投影为，则___________.
【答案】
【解析】设与的夹角为，在上投影为，
解得.故答案为：.
17．已知平面向量，，，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
代入数据可得：，解得，故答案为：.
18．已知向量，，若，则实数的值是________．
【答案】4
【解析】因为，故，展开得到，
因为，，故，，故答案为：4.
19．设，向量，，若，则___________.
【答案】
【解析】由已知可得，所以，，
，则，可得，
所以，，解得.故答案为：.
20．如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.
【答案】
【解析】因为为中点，所以，
所以，
所以，故答案为：.
21．已知向量，，，，___________.
【答案】
【解析】，
又，，
利用向量的数量积公式可知，故答案为.
22．在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在???中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.
【答案】
【解析】，故答案为：
23．已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】设点，由，得，所以.
因为，所以，
即，化简得
将代入，得，即，
解得.
因为为线段上一点，且，所以.综上，可知.
故实数的取值范围是.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
专题09
平面向量
重点题型
题型一、平面向量的概念及其线性运算
1．基本概念（熟记）
（1）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.
（2）相等向量：不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
（3）共线向量：即平行向量，它们均与起点无关．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
（4）非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．
2．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律
共线向量定理（重点）：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
3．运算法则
（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
题型二、平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理及应用
（1）概念：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
（2）应用：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.
2．平面向量的坐标运算
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
（4）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b?x1y2－x2y1=0.
（5）已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
题型三、平面向量的数量积及其应用
1．平面向量的数量积
（1）概念
①已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.注意：零向量与任一向量的数量积为0.
②设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.
2．平面向量数量积的常用公式
设非零向量，是与的夹角.
（1）数量积：.
（2）模：.
（3）夹角：
.
（4）垂直与平行：；a∥b?a·b=±|a||b|.
3．平面向量数量积的几何意义及应用
（1）的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
（2）力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即
为和的夹角).
（3）常见的向量表示形式：
①重心：若点G是的重心，则或
(其中P为平面内任意一点)．反之，若，则点G是的重心．
②垂心：若H是的垂心，则.反之，若，则点H是的垂心．
③内心：若点I是的内心，则.反之，若，则点I是的内心．
④外心：若点O是的外心，则或.反之，若，则点O是的外心.
考点集训
一、单选题
1．已知向量，则x的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．△中，“△是钝角三角形”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，且与共线，则x=（
）
A．
B．
C．
D．
4．设为所在平面内一点，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量，满足，，则（
）
A．4
B．0
C．2
D．3
6．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
7．已知平面向量与的模长之比为，且夹角为，则与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（
）
A．
B．2
C．
D．3
9．已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（
）
A．8
B．6
C．5
D．4
10．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若，，那么（
）
A．2
B．
C．6
D．
二、多选题
11．已知点为外接圆的圆心，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知菱形边长为1，，E是中点，F是中点，M是中点，延长交于N(如图所示)，设，，则下列结论正确的是（
）
A．.
B．
C．
D．
14．已知平面向量，，
，若
，
是夹角为的两个单位向量，，，则下列结论正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
15．在中，有如下四个命题正确的有（
）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则的形状为直角三角形
C．内一点G满足，则G是的重心
D．若，则点P必为的外心
三、填空题
16．已知向量，，在上投影为，则___________.
17．已知平面向量，，，则___________.
18．已知向量，，若，则实数的值是________．
19．设，向量，，若，则___________.
20．如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.
21．已知向量，，，，___________.
22．在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在???中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.
23．已知(1，1)，(0，1)，(1，0)，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是___________.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑