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解三角形中面积（周长）或最值的求法学案
一．学习目标
在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。
同时由余弦定理，两边的平方和与两边的乘积存在自身的等量关系，也应需要学会合理的转化。
二．基础知识
1.正弦定理：
在一个三角形中，各边与它所对的角的正弦成正比；
即（R表示外接圆的半径）；
2.余弦定理：
在一个三角形中，三边与某个角存在如下等量关系；
等价变形：
3.三角形中三个角自带关系：
；
①，
②，
③
④
4.三角形的面积公式
5.正余弦定理结论延伸
与正弦定理有关的结论：
①，，（化边为角）
②（齐次项可代换<两边的组成多项式的各个式子同时含有边或角>）
③，，（化角为边）
④
与余弦定理有关的结论：
在中，如果为锐角，则；如果为直角，则；如果为钝角，则
三．解题方法荟萃
求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有如下思路去解决：
①用余弦定理+基本不等式：构造出基本不等式的形式，若求周长的范围，则应保留和的形式，将乘
积予以消元；若求面积的范围，则应保留乘积的形式，将和予以消元；通
过解相应的不等式求得范围。
②用正弦定理+三角函数的取值范围：此种思路即是将周长或面积转化为某个角的三角函数值，然后利用三角函数的最值予以求得取值范围。
③在由周长推导面积或者由面积推导周长的过程中，合理利用配方的思路点结合平方和与乘积的等量关系：
三．典例分析与性质总结
题型1：已知一边及其对角求面积的最大值
例1：在中，分别为内角的对边，且，
（1）若，且，求的值；（2）求的面积的最大值。
例2：在中，分别为内角的对边，，向量，
，且
①求角；
②求面积的取值范围。
[方法技巧]
1．应用基本不等式求解面积范围
应用基本不等式求得已知角或所求角（如）两边乘积的取值范围，进而利用面积公式求得最值。同时需要注意基本不等式的等号成立条件。
2．利用三角函数性质求解面积范围
该解题思路是将面积用某个角的三角函数表示出来，接着利用三角函数的相关变形与性质求得最值；需要注意的是角度的取值范围。
上述两种思路在求解的时候各有利弊；一般来说，应用基本不等式求解解题过程比较简洁，运算量较少；但是需要合理选取公式以求得最优解；应用三角函数转化时思维过程比较清晰，但是运算量比较大。
[易错提醒]
通常情况下，基本不等式在三角形的形状不明确的时候使用，而应用三角函数的性质时在三角形存在隐含条件（如锐角三角形）时应用，此时需要注意角度的范围，因为此时基本不等式等号成立的条件有可能不存在。
题型2：已知一边及其对角求周长的范围
例3：在中，分别为内角的对边，且
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的最大值.
例4：中，已知．
（1）求；
（2）已知，求周长的取值范围．
总结：在求解周长的范围（即求另外两边的和）时，同求解面积的思路类似，可以利用余弦定理结合基本不等式求解，也可以转化为三角函数予以解决。
[易错提醒]
需要注意的是在求解周长的最小值时，不要忽略了三角形自身的三边关系（两边之和大于第三边）。
题型3：求代数式的范围
例5：已知为锐角三角形，且
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
题型4：周长与面积的转化
由于周长体现的是边长和的关系，面积体现的是边长乘积与夹角的关系，而余弦定理可以将边长的和与乘积以及夹角联系起来（借助配方的思想），因此三角形的周长与面积是可以相互求解的。
例6：在中，已知分别为内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
例7：在中，分别为内角的对边，已知
（1）求；
（2）若，且，求的面积.
四．变式演练与提高
1.在锐角三角形中，分别为内角的对边，若
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
2.已知在中，分别为内角的对边，且，．
①记角，，若是锐角三角形，求的取值范围；
②求的面积的最大值．
3.在锐角中，，
（1）求角；
（2）求的周长的范围.
4.若分别为内角的对边，已知，
（1）求及；
（2）若，求的周长．
5.已知分别为内角的对边，且满足
（1）求.
（2）若的面积，，求的周长.
6.在中，分别为内角的对边，，
（1）求角的大小；
（2）若，，求边上的高；
五．反思总结
在解决三角形的周长与面积的最值问题时，通常有两种思路：
利用正弦定理将所求转化为函数，应用函数思想求其根据题意所卡定的角的范围（即定义域），最终求得最值；
利用余弦定理与基本不等式求解最值：但是此种方法可能会被题意条件所限制，则需要满足基本不等式的范围，方可使用此种方法。
六．课后作业
1.在中，，若的外接圆半径为，则的面积的最大值为
.
2.已知，在中，分别为内角的对边
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求周长的取值范围.
3.已知，分别为内角的对边，
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长.
4.分别为内角的对边，已知，的面积为，求周长的取值范围。
5.已知，分别为内角的对边，且满足
（1）求角；
（2）若的面积为，周长为8，求.
6.设的内角的对边分别为；已知
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
七．参考答案
例1：解析：
（1）由余弦定理，∴
∴，
又∵，，解方程组
得或
(舍)．
∴
（2）由余弦定理，∴
∵
∴，当时取得最大值。
又
∴；即三角形最大面积为
例2：解析：
解：（1）∵，∴，
，即；
因，故，又，所以
（2）
由正弦定理，所以，
又，
∴
故而
所以
例3：解析：
（Ⅰ）在中，∵
∴.
由正弦定理，得.整理，得.
∴
又，∴.
（Ⅱ）∵，∴，即，
∵，∴.∴
∴，当且仅当时等号成立；∴的最大值为8.
例4：解析：
（1）由，可得，即，
即，即
∵，∴，即，∴.
（2）因为，由正弦定理可得，所以，，
∴
∵,，故而
即，则
则，即三角形的周长的范围是．
例5：解析：
（1），
∴
即，∵为锐角三角形，
∴，即，∴.??
（2）由正弦定理得，∴，.
由（1）知，∴
∴
因为且，
所以，∴时，取得最大值4.
例6：解析：
（1）由正弦定理，∴
∴，所以，
因为，∴，所以
（2）因为，∴，
由余弦定理，
所以，∴的周长为
例7：解析：
（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
（2）由余弦定理可得，
因为，且，所以，所以.
故的面积为
四．变式演练与提高
1.解析：
（Ⅰ）由及正弦定理得：
，
因为，所以，又，所以；
（Ⅱ）由正弦定理，，
由，得，即①，
由余弦定理得，，解得，
带入①式可得，即，得，当且仅当时，取等号，
，面积的最大值为
2.解析：
（1）在中，，，∴．
由正弦定理，所以，
；即
∵是锐角三角形，∴，得，于是，即的取值范围为
（2）由（1）知，由余弦定理，得，
∴，当且仅当时，等号成立．
此时，故当时，的面积取得最大值．
3.解析：
（1）∵，∴
所以，所以，
因为，所以，∵，所以.
（2）∵，所以，所以，，
所以
因为是锐角三角形，且，所以，解得，
所以，所以；所以
4.解析：
（1）因为，所以．
由正弦定理可得，所以
因为，所以．
因为，所以；解得或．
∵，∴.
（2）因为，所以．
因为，，所以，得，
故的周长为．
5.解析：
（1）
由正弦定理可得：，所以，所以，
∵，∴.
（2），所以
又，∴
所以
即的周长为
6.解析：
（1）在中，因为，
由正弦定理得，，所以，
所以，
所以.
（2）设边上的高为，
因为，，，
所以，即，所以，
，解得，所以边上的高为
六．课后作业
1.解析：
由及余弦定理得，所以
又∵，所以
即，所以，
又由于，故当且仅当时，的面积取最大值
2.解析：
（1）
∴令，解得
∴的单调递增区间为
（2），得，即，即，
∵，∴.
而，由余弦定理知：，有，
所以当且仅当时等号成立，而在中，
∵周长，∴
3.解析：
(1)由已知及正弦定理得：，，
因为，所以，，
因为，所以，所以，
(2)因为，所以，，
由已知及余弦定理可知：，，故
，解得，的周长为.．
4.解析：
因为，所以，
即，所以，
∵，∴
因为，，得，
由余弦定理得，
即的周长，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，.即周长的取值范围是.
5.解析：
（1）∵，
∴，
解得或（舍去），
∵，∴.
（2）∵，∴，
由余弦定理可得，
又∵，∴，解得
6.解析：
(1)由三角形射影定理得
①
又②
由①②得；所以
(2)的面积
由余弦定理得，即
，所以
当且仅当时，等号成立。此时
因此面积的最大值为
思路点拨：解本题的思路是先用正弦定理化边为角，求出，再用基本不等式求面积的最值，注意等号成立的条件．
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精品试卷·第
2
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（共
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