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3．2　导数的计算
3.2.1　几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
Q　
在17世纪60年代，牛顿就已经发现利用导数能解决数学和物理学科的许多问题．但是运用定义法求解导数运算太复杂，有时甚至无法完成．是否有更简单的求导方法呢？
X　
1．几个常用函数的导数
函数
导数
函数
导数
f(x)＝c
f′(x)＝__0__
f(x)＝x
f′(x)＝__1__
f(x)＝x2
f′(x)＝__2x__
f(x)＝
f′(x)＝__　－　__
2．基本初等函数的导数公式
函数
导数
函数
导数
f(x)＝c
f′(x)＝__0__
f(x)＝ax
f′(x)＝__　axln
a　__
(a>0)
f(x)＝xα
(α∈Q
)
f′(x)＝__αxα－1__
f(x)＝ex
f′(x)＝__ex__
f(x)＝sin
x
f′(x)＝__cos_x__
f(x)＝logax
f′(x)＝__　　__
(a>0且a≠1)
f(x)＝cos
x
f′(x)＝__－sin_x__
f(x)＝ln
x
f′(x)＝__　　__
Y　
1．下列结论不正确的是(　D　)
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若y＝x，则y′＝x
[解析]　当y＝x时，y′＝(x)′＝()′＝＝x－.
D不正确．故应选D.
2．(2019·山东临沂高二检测)已知函数f(x)＝，则f′(3)＝(　A　)
A．　　　　　　　　　　
B．0
C．
D．
[解析]　∵f′(x)＝，∴f′(3)＝＝.
3．已知函数f(x)＝，则f
′(－2)＝(　D　)
A．4
B．
C．－4
D．－
[解析]　∵f
′(x)＝′＝－，
∴f
′(－2)＝－|x＝－2＝－.
4．若f(x)＝tan
x,
f
′(x0)＝1，则x0的值为__　x0＝kπ，k∈Z　__.
[解析]　∵f
′(x)＝(tan
x)′＝，
f
′(x0)＝1，
∴cos
x0＝±1，∴x0＝kπ，k∈Z.
5．求下列函数的导数：
(1)y＝a2(a为常数)；
(2)y＝x12；
(3)y＝x－4；
(4)y＝lg
x.
[解析]　(1)∵a为常数，
∴a2为常数，
∴y′＝(a2)′＝0.
(2)y′＝(x12)′＝12x11.
(3)y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(4)y′＝(lg
x)′＝.
H　
命题方向1　?求基本初等函数的导数
典例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x13；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝
.
[解析]　(1)y′＝(x13)′＝13x12.
(2)y′＝()′＝(x－3)′＝－3x－4.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(4)y′＝′＝(x－)′＝－x－.
『规律方法』　1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．
2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
〔跟踪练习1〕
求下列函数的导数
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝2x；
(4)y＝log3x.
[解析]　(1)y′＝′＝(x－2)′
＝－2x－3.
(2)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(3)y′＝(2x)′＝2xln
2.
(4)y′＝(log3x)′＝.
命题方向2　?求某一点处的导数
典例2　求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
[解析]　f
′(x)＝′＝(x－)′＝－x－－1
＝－x－＝－，
∴f
′(1)＝－＝－，
∴函数f(x)在x＝1处的导数为－.
『规律方法』　求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：
(1)先求函数的导函数；
(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
〔跟踪练习2〕
已知f(x)＝，且f
′(1)＝－，求n.
[解析]　f
′(x)＝′＝(x－)′
＝－x－－1＝－x－，
∴f
′(1)＝－，
由f
′(1)＝－得－＝－，得n＝3.
命题方向3　?利用导数公式求切线方程
典例3　求过曲线y＝cos
x上点P且与在这点的切线垂直的直线方程．
[解析]　∵y＝cos
x，∴y′＝－sin
x，
曲线在点P处的切线斜率是
y′|x＝＝－sin＝－.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，
∴所求的直线方程为y－＝，
即2x－y－＋＝0.
『规律方法』　1.求切线方程的步骤：
(1)利用导数公式求导数．
(2)求斜率．
(3)写出切线方程．
注意导数为0和导数不存在的情形．
2．(1)在应用(sin
x)′＝cos
x与(cos
x)′＝－sin
x时，一要注意函数的变化；二要注意符号的变化．
(2)对于公式(ax)′＝axlna与(logax)′＝记忆较难，又易混淆，要注意区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分，找出差异记忆公式．
〔跟踪练习3〕
(2019·全国卷Ⅰ文，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为__y＝3x__.
[解析]　∵
y＝3(x2＋x)ex，∴
y′＝3(x2＋3x＋1)ex.
令x＝0，得切线的斜率为k＝y′|x＝0＝3.又切点坐标为(0,0)，
∴
切线方程为y＝3x.
X　　导数的应用　　
典例4　已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
[思路分析]　由条件知B点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．
[解析]　由于点B(3,5)不在曲线上，所以点B不是切点，设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，
∴切线斜率为k＝2x0，
∴切线方程为：y－x＝2x0(x－x0)．
∵B(3,5)在切线上，
∴5－x＝2x0(3－x0)，
解之，得x0＝1或x0＝5.
所以所求切线方程为
y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
『规律方法』　求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：
①设出切点坐标为(x0，y0)；
②写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)；
③代入点P的坐标，求出x0、y0.
〔跟踪练习4〕
已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
[解析]　由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令x＝2－x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，
即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，
联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，
∴f
′(x)＝2x，f
′(2)＝4，即所求切线斜率为4，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
Y　　准确应用公式　　
典例5　求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．
[错解]　∵y′＝(2x)′＝x·2x－1，∴y′|x＝1＝1，又x＝1时，y＝2，
∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
[错解分析]　y＝2x是指数函数，而不是幂函数，错解将幂函数y＝xα(α∈Q)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的导数公式记混用错．
[正解]　∵y′＝(2x)′＝2xln
2，∴y′|x＝1＝2ln
2，
又x＝1时，y＝2，∴切线方程为y－2＝2ln2
(x－1)，即2xln
2－y－2ln
2＋2＝0.
K　
1．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为(　A　)
A．y＝x－2　　　　　
B．y＝x
C．y＝x＋2
D．y＝－x－2
2．质点的运动方程是s＝(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3
s时的速度为(　D　)
A．－4×3－4
m/s
B．－3×3－4
m/s
C．－5×3－5
m/s
D．－4×3－5
m/s
3．若f(x)＝x3，f′(x0)＝9，则x0的值是(　D　)
A．1　　　
B．－1　　　
C．±1　　　
D．±
4．已知f(x)＝，则f′(16)＝__　　__.
5．(2019·沈阳高二检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，求h′(1)的值．
[解析]　由题图可知曲线的切线l经过点(1,2)，则k＋3＝2，得k＝－1，
即f
′(1)＝－1，且f(1)＝2，
因为h(x)＝xf(x)，所以h′(x)＝f(x)＋xf
′(x)，
则h′(1)＝f(1)＋f
′(1)＝2－1＝1.
A级　基础巩固
一、选择题
1．设y＝e3，则y′等于(　C　)
A．3e2　　　　　　　　
B．e2
C．0
D．以上都不是
[解析]　∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.
2．(2019·广西南宁高二检测)若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为(　B　)
A．2x　　　
B．2　　　
C．3　　　
D．4
[解析]　f′(x)＝2x，
∴f(x)在x＝1处的导数为f′(1)＝2.
3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　B　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定
[解析]　∵f
′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．
4．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，则f
′(1)＝3，其中正确的个数是(　B　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　②y′＝；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正确的．
5．下列结论正确的是(　A　)
A．若y＝sin
x，则y′＝cos
x
B．若y＝cos
x，则y′＝sin
x
C．若y＝，则y′＝
D．若y＝，则y′＝
[解析]　∵B项中，y′＝－sin
x；C项中，y′＝－；
D项中，y′＝，∴选A．
6．(2019·滁州民办高中检测)已知函数h(x)＝，则h′(4)等于(　C　)
A．－
B．
C．－
D．
[解析]　　　
因为h(x)＝＝4x－，所以h′(x)＝4×(－)x－，h′(4)＝4×(－)×4－＝－.故选C．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3则a的值为__3__.
[解析]　f′(x)＝a(lnx＋x·)＝a(1＋lnx)，
∵f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，∴a＝3.
8．函数y＝sin
π，则y′＝__0__.
[解析]　y＝sin
π＝0，∴y′＝0.
三、解答题
9．求曲线y＝cos
x在x＝处的切线方程．
[解析]　∵y＝cos
x，∴y′＝－sin
x.
∴曲线y＝cos
x在x＝处的切线的斜率
k＝－sin＝－.
又当x＝时，y＝cos＝，
故曲线在x＝处的切线方程为
y－＝－(x－)，
即y＝－x＋＋.
B级　素养提升
一、选择题
1．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为(　C　)
A．1
B．－
C．
D．
[解析]　∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan
α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
2．(2019·武汉期末)若f(x)＝x5，f
′(x0)＝20，则x0的值为(　B　)
A．
B．±
C．－2
D．±2
[解析]　函数的导数f
′(x)＝5x4，
∵f
′(x0)＝20，
∴5x＝20，得x＝4，
则x0＝±，
故选B.
3．正弦曲线y＝sin
x上切线的斜率等于的点为(　D　)
A．(，)
B．(－，－)或(，)
C．(2kπ＋，)
D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)
[解析]　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cos
x0＝，
∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.
4．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为(　D　)
A．e2
B．2e2
C．e2
D．
[解析]　∵y′|x＝2＝e2，
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
故切线与坐标轴围成三角形面积为×|－e2|×1＝，故选D.
5．(2019·全国Ⅱ卷文，10)曲线y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为(　C　)
A．x－y－π－1＝0
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
[解析]　设y＝f(x)＝2sin
x＋cos
x，则f′(x)＝2cos
x－sin
x，∴
f′(π)＝－2，∴
曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
故选C．
二、填空题
6．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__(1,1)__.
[解析]　由于(ex)′＝ex，()′＝－，故曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1，设P(x0，)，曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率－，若两直线垂直则有1×(－)＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．
7．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为__(2,1)__.
[解析]　设P(x0，y0)，
∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan
135°＝－1，
∴－8x＝－1.
∴x0＝2，y0＝1.
三、解答题
8．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；
(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
[解析]　(1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，
∴切线方程y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，
∴(x－1)2(x＋2)＝0，
∴x1＝1，x2＝－2.
∴其他公共点为(－2，－8)．

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