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2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市木兰县七年级（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．在，3.1415，，，，，各数中，是无理数的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．点P（2，﹣3）所在的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列调查中，适合用普查（全面调查）方法的是（　　）
A．要了解一批灯泡的使用寿命
B．要了解某校数学教师的年龄状况
C．要了解我县居民的环保意识
D．要了解一批袋装食品是否有防腐剂
5．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝∠AOC，则∠BOC＝（　　）
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
6．估计20的算术平方根的大小在（　　）
A．2与3之间
B．3与4之间
C．4与5之间
D．5与6之间
7．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）
A．ac＞bc
B．ab＞cb
C．a+c＞b+c
D．a+b＞c+b
8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为（　　）
A．a＜4
B．a＞4
C．a＜﹣4
D．a＞﹣4
9．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线m的距离为（　　）
A．4cm
B．5cm
C．小于2cm
D．不大于2cm
10．王大伯为了估计他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出150条鱼，将它们作上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间后，再从中随机捕捞200条鱼，其中有标记的鱼有20条，请估计鱼塘里鱼的数量大约有（　　）
A．1500条
B．1600条
C．1700条
D．3000条
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）.
11．3﹣|﹣|＝　
　．
12．如果点P（a+5，a﹣2）在x轴上，那么P点的坐标为
　
　．
13．已知，则　
　．
14．不等式4（x﹣1）＜3x﹣2的正整数解的个数是
　
　个．
15．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式　
　．
16．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，则∠2的大小是
　
　．
17．已知a﹣1与3﹣2a是正实数b的平方根，那么b＝　
　．
18．根据某商场2018年四个季度的营业额绘制成如图所示的扇形统计图，其中二季度的营业额为1000万元，则该商场全年的营业额为　
　万元．
19．点O在直线AB上，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，若∠AOC＝30°，则∠BOD的度数是
　
　．
20．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了　
　场．
三、解答题（本题共60分，21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27题各10分）
21．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图，点A的坐标是（3，4），点A'的坐标是（﹣2，2），现将△ABC平移，使点A平移到A'的位置，点B'、C'分别是B、C的对应点．
（1）请画出将△ABC平移后得到的△A'B'C'（不写画法）．
（2）直接写出点B、B'的坐标．
22．推理填空：
如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，将求∠AGD的过程填写完整．
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3（
　
　），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（
　
　），
∴AB∥　
　（
　
　），
∴∠BAC+　
　＝180°（
　
　），
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝　
　．
23．（1）解二元一次方程组：；
（2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
24．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图1；
（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？
25．为了防控疫情，保障学生在学校期间保持清洁卫生，学校准备购买甲、乙两种消毒液，已知购买2桶甲种消毒液和3桶乙种消毒液共需140元，购买1桶乙种消毒液比购买2桶甲消毒液少用20元．
（1）求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
（2）若要购买甲、乙两种消毒液共20桶，且总费用不超过546元，求至少要购进甲种消毒液名少桶？
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，CE交AD于点F，若∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠E＝60°，∠B＝80°，求∠APC的度数．
27．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．
（1）写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得△DFC的面积是△DFB面积的2倍？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点P是直线BD上一个动点，连接PC、PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD、∠POB的数量关系．
参考答案
一、单项选择题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．在，3.1415，，，，，各数中，是无理数的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：是分数，属于有理数；
3.1415是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有：，，，共3个．
故选：C．
2．点P（2，﹣3）所在的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．
解：∵点P的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，﹣3）所在象限为第四象限．
故选：D．
3．命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据对顶角的定义对①③进行判断；根据平行线的判定方法对②进行判断；根据平行线的性质对④进行判断．
解：对顶角相等，所以①为真命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，所以②为假命题；
相等的角不一定是对顶角，所以③为假命题；
两直线平行，同位角相等，所以④为假命题．
故选：C．
4．下列调查中，适合用普查（全面调查）方法的是（　　）
A．要了解一批灯泡的使用寿命
B．要了解某校数学教师的年龄状况
C．要了解我县居民的环保意识
D．要了解一批袋装食品是否有防腐剂
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A．要了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．要了解某校数学教师的年龄状况，适合用普查（全面调查），故本选项符合题意；
C．要了解我县居民的环保意识，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D．要了解一批袋装食品是否有防腐剂，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝∠AOC，则∠BOC＝（　　）
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
【分析】根据平角、直角及角的和差关系可求出∠AOC+∠EOD＝90°，再与已知∠EOD＝∠AOC联立，求出∠AOC，利用互补关系求∠BOC．
解：∵∠COD＝180°，OE⊥AB，
∴∠AOC+∠AOE+∠EOD＝180°，∠AOE＝90°，
∴∠AOC+∠EOD＝90°，①
又∵∠EOD＝∠AOC，②
由①、②得，∠AOC＝60°，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°．
故选：D．
6．估计20的算术平方根的大小在（　　）
A．2与3之间
B．3与4之间
C．4与5之间
D．5与6之间
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
解：∵16＜20＜25，
∴＜＜，
∴4＜＜5．
故选：C．
7．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）
A．ac＞bc
B．ab＞cb
C．a+c＞b+c
D．a+b＞c+b
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．
解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、ac＜bc，故本选项错误；
B、ab＞cb，故本选项正确；
C、a+c＜b+c，故本选项错误；
D、a+b＜c+b，故本选项错误．
故选：B．
8．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为（　　）
A．a＜4
B．a＞4
C．a＜﹣4
D．a＞﹣4
【分析】先把两式相加求出x+y的值，再代入x+y＜2中得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
解：，
①+②得，x+y＝1+，
∵x+y＜2，
∴1+＜2，
解得a＜4．
故选：A．
9．点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线m的距离为（　　）
A．4cm
B．5cm
C．小于2cm
D．不大于2cm
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
解：当PC⊥m时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离2cm，
当PC不垂直直线m时，点P到直线m的距离小于PC的长，即点P到直线m的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线m的距离不大于2cm，
故选：D．
10．王大伯为了估计他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出150条鱼，将它们作上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间后，再从中随机捕捞200条鱼，其中有标记的鱼有20条，请估计鱼塘里鱼的数量大约有（　　）
A．1500条
B．1600条
C．1700条
D．3000条
【分析】200条鱼里有20条作标记的，则作标记的所占的比例是20÷200＝10%，即所占比例为10%．而有标记的共有150条，据此比例即可解答．
解：根据题意得：
150÷（20÷200）＝1500（条），
答：估计鱼塘里鱼的数量大约有1500条．
故选：A．
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）.
11．3﹣|﹣|＝　　．
【分析】先去掉绝对值符号，再利用二次根式的加减法的法则进行运算即可．
解：3﹣|﹣|
＝﹣（）
＝
＝．
故答案为：．
12．如果点P（a+5，a﹣2）在x轴上，那么P点的坐标为
　（7，0）　．
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点，纵坐标为零，进而得出答案．
解：∵点P（a+5，a﹣2）在x轴上，
∴a﹣2＝0，
解得：a＝2，
∴a+5＝2+5＝7，
则P点的坐标为（7，0）．
故答案为：（7，0）．
13．已知，则　1.01　．
【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．
解：∵，
∴＝＝＝＝1.01；
故答案为：1.01．
14．不等式4（x﹣1）＜3x﹣2的正整数解的个数是
　1　个．
【分析】根据一元一次不等式的求解方法，求出不等式4（x﹣1）＜3x﹣2的解，判断出不等式4（x﹣1）＜3x﹣2的正整数解即可．
解：∵4（x﹣1）＜3x﹣2，
∴4x﹣4＜3x﹣2，
∴x＜2，
∴不等式4（x﹣1）＜3x﹣2的正整数解是1，正整数解的个数是1个．
故答案为：1．
15．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等　．
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
16．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，则∠2的大小是
　72°　．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠3的度数，再利用角平分线的定义结合平角的定义得出答案．
解：如图：
∵AB∥CD，∠1＝54°，
∴∠3＝∠1＝54°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4＝∠3＝54°，
∵∠3+∠4+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠5＝72°．
故答案为：72°．
17．已知a﹣1与3﹣2a是正实数b的平方根，那么b＝　1　．
【分析】根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，列出等式即可求出a，从而得到结果．
解：∵a﹣1与3﹣2a是正实数b的平方根，
∴a﹣1+（3﹣2a）＝0，
∴a＝2，
∴b＝（a﹣1）2＝（2﹣1）2＝1．
故答案为：1．
18．根据某商场2018年四个季度的营业额绘制成如图所示的扇形统计图，其中二季度的营业额为1000万元，则该商场全年的营业额为　5000　万元．
【分析】用二季度的营业额÷二季度所占的百分比即可得到结论．
解：该商场全年的营业额为1000÷（1﹣25%﹣35%﹣20%）＝5000万元，
答：该商场全年的营业额为
5000万元，
故答案为：5000．
19．点O在直线AB上，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，若∠AOC＝30°，则∠BOD的度数是
　60°或120°　．
【分析】根据题意画出图象，分OD在AB的上方和下方两种情况讨论即可．
解：若OD在AB的上方，则情况如下：
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
又∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
若OD在AB的下方，则情况如下：
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
又∵∠AOC＝30°，
∠AOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°，
故答案为60°或120°．
20．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了　9　场．
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“积分29分”和“共赛了15场”，列方程组求解即可．
解：设这支球队胜了x场，平了y场，则
，
解得
，
所以球队胜了9场．
故答案为9．
三、解答题（本题共60分，21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27题各10分）
21．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图，点A的坐标是（3，4），点A'的坐标是（﹣2，2），现将△ABC平移，使点A平移到A'的位置，点B'、C'分别是B、C的对应点．
（1）请画出将△ABC平移后得到的△A'B'C'（不写画法）．
（2）直接写出点B、B'的坐标．
【分析】（1）（2）利用第一象限点的坐标特征写出B、C点的坐标，再利用点A与点A′的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出B′、C′点的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△A'B'C′为所作；
（2）B（1，3），B'（﹣4，1）．
22．推理填空：
如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，将求∠AGD的过程填写完整．
∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3（
　两直线平行，同位角相等　），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（
　等量代换　），
∴AB∥　DG　（
　内错角相等，两直线平行　），
∴∠BAC+　∠DGA　＝180°（
　两直线平行，同旁内角互补　），
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝　110°　．
【分析】根据题意，利用平行线的性质和判定填空即可．
解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝70°，
∴∠AGD＝110°．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补；110°．
23．（1）解二元一次方程组：；
（2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1），
②×4得20x﹣4y＝12
③，
①+③得：23x＝23，
所以x＝1，
将x＝1代入②得：5×1﹣y＝3，
解得：y＝2，
所以；
（2），
解不等式①得：x＜5，
解不等式②得：x≥﹣1，
所以原不等式的解集为﹣1≤x＜5，
在数轴上表示如图所示：
24．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图1；
（2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？
【分析】（1）根据认为无所谓的家长是80人，占20%，据此即可求得总人数；
（2）利用360乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数6500乘以对应的比例即可求解．
解：（1）这次调查的家长人数为80÷20%＝400人，反对人数是：400﹣40﹣80＝280人，
；
（2）360°×＝36°；
（3）反对中学生带手机的大约有6500×＝4550（名）．
25．为了防控疫情，保障学生在学校期间保持清洁卫生，学校准备购买甲、乙两种消毒液，已知购买2桶甲种消毒液和3桶乙种消毒液共需140元，购买1桶乙种消毒液比购买2桶甲消毒液少用20元．
（1）求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
（2）若要购买甲、乙两种消毒液共20桶，且总费用不超过546元，求至少要购进甲种消毒液名少桶？
【分析】（1）设购买甲、乙两种消毒液每桶各需x元，y元，由题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设要购进甲种消毒液m桶，则购进乙种消毒液（20﹣m）桶，由题意即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，则可得出答案．
解：（1）设购买甲、乙两种消毒液每桶各需x元，y元，
根据题意得：，
解得：，
答：购买甲、乙两种消毒液每桶各需25元、30元；
（2）设要购进甲种消毒液m桶，则购进乙种消毒液（20﹣m）桶，
根据题意得：25m+30（20﹣m）≤546，
解得：m≥10.8，
∵m是正整数，
∴m≥11，
答：至少要购进甲种消毒液11桶．
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，CE交AD于点F，若∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠E＝60°，∠B＝80°，求∠APC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定证明即可；
（2）过点P作PG//AB，交BC于点G，由AD∥BC，AB∥CD，可得∠EAD＝∠B＝80°，∠ECD＝∠E＝60°，再根据角平分线的性质解答即可，由平行公理可得PG//CD，再根据角的和差关系计算即可．
解：（1）∵AD//BC，
∴∠B＝∠EAD，
∵∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠D，
∴AB//CD；
（2）过点P作PG//AB，交BC于点G，
∵AD//BC，
∴∠EAD＝∠B＝80°，
∵AP平分∠EAD，
∴，
由（1）知AB//CD，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
∵CP平分∠ECD，
∴，
∵PG//AB，AB//CD，
∴PG//CD，
∴∠APG＝∠EAP，∠CPG＝∠PCD，
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠EAP+∠DCP＝40°+30°＝70°．
27．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），现同时将点A、B向上平移2个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．
（1）写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得△DFC的面积是△DFB面积的2倍？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点P是直线BD上一个动点，连接PC、PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD、∠POB的数量关系．
【分析】（1）由平移的性质得到点C（0，2），点D（4，2），进而求解；
（2）△DFC的面积是△DFB面积的2倍，则×CD×OC＝2×BF×OC，即可求解；
（3）如图，作PE∥CD，则CD∥PE∥AB，故∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，进而求解．
解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴点C（0，2），点D（4，2），AB＝4，AB∥CD，AB＝CD，
∴OC＝2，四边形ABDC是平行四边形，
∴S四边形ABDC＝4×2＝8；
（2）存在，理由：
设F坐标为（m，0），
∵△DFC的面积是△DFB面积的2倍，
∴×CD×OC＝2×BF×OC，即4＝2|m﹣3|，解得m＝5或1，
∴P点的坐标为（5，0）或（1，0）；
（3）①当点P在线段BD上时，
如图，作PE∥CD，
由平移可知：CD∥AB，
∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，
∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
即∠OPC＝∠PCD+∠POB；
②当点P在线段BD外部时，
同理可得：∠POB＝∠PCD+∠CPO或∠POD＝∠POB+∠CPO；
综上，∠OPC＝∠PCD+∠POB或∠POB＝∠PCD+∠CPO或∠POD＝∠POB+∠CPO．

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