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第三章
圆锥曲线的方程
3.1.2
椭圆的简单几何性质
学案
一、学习目标
1.掌握椭圆的简单几何性质，能利用简单性质求椭圆方程.
2.理解椭圆简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想.
3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题.
二、基础梳理
两种椭圆的简单几何性质
标准方程
焦点位置及坐标
焦点在x轴上
，
焦点在y轴上
，
图形
范围
，
，
对称性
关于x轴、轴对称，关于原点对称
顶点坐标
，，
，
，，
，
长、短轴长
长轴长，短轴长
离心率
三、巩固练习
1.椭圆的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
2.椭圆的长轴长、短轴长分别为(
)
A.2，
B.，2
C.4，
D.，4
3.若直线与椭圆有且只有一个交点，则斜率k的值是(
)
A.
B.
C.
D.
4.若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知椭圆的离心率为，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则椭圆的短轴长为(
)
A.8
B.6
C.5
D.4
6.若椭圆的离心率为，两焦点分别为，，M为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为(
)
A.
B.
C.
D.
7.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.如图所示，已知“黄金椭圆”的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为右顶点和上顶点，则(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
8.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
10.椭圆的短轴长为8，则实数__________.
11.设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围为__________________.
12.设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为___________.
13.若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为____________.
14.设椭圆的短轴长为4，离心率为.
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）设点是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线l的方程.
15.已知椭圆的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由椭圆的标准方程，可知，，所以，，离心率.故选B.
2.答案：C
解析：把化成标准形式为，得，，则长轴长为4，短轴长为.
3.答案：C
解析：由，消去y并整理，得，
由题意知，解得，故选C.
4.答案：A
解析：由已知，得，，所以，.
又椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为.
5.答案：A
解析：椭圆的离心率，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，即，可得，，因此，则椭圆的短轴长为.
6.答案：D
解析：，，设，则，.
又的周长为，，，，.
椭圆C的方程为，故选D.
7.答案：D
解析：设椭圆的标准方程为.由已知，得，，，
则，.离心率，，
则，，.
8.答案：A
解析：设的坐标为，的坐标为，故过且与x轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程可得，可设，，由题意可得的面积是的面积的2倍，故，即有，即，则，代入椭圆方程可得，即，，解得（负值舍去）.故选A.
9.答案：D
解析：由题意可得直线AP的方程为①，直线的方程为②，联立①②，得，如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则.
因为，，，所以，
即，即，所以.故选D.
10.答案：16
解析：因为椭圆的短轴长为8，所以椭圆的焦点在x轴上，所以，解得.
11.答案：
解析：当是椭圆的上、下顶点时，最大，所以，
所以，所以因为，，所以，则椭圆的离心率e的取值范围为.
12.答案：15
解析：在椭圆中，，，，所以焦点坐标分别为，，.
，当且仅当P在直线上时取等号，
当点P与图中的点重合时，有，此时取最大值，最大值为.
13.答案：
解析：设弦两端点分别为，.因为是线段AB的中点，所以，，将A，B两点代入椭圆方程，得，两式相减得，整理得，即.
14.解析：（1）因为离心率，所以，
又因为椭圆的短半轴长，，所以，，
即椭圆方程为，
因此，，
因为直线与椭圆有公共点，
所以，即，
解得.
（2）设，.
解法一：当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设直线方程为，
联立方程，
所以，解得，所以直线l的方程为.
解法二：，
，
所以斜率，所以直线l的方程为.
15.解析：（1）由题意得，解得，.
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：由（1）知，，，
设，，，则.
当时，直线PA的方程为，
令，得，从而；
直线PB的方程为，
令，得，从而.
所以
.
当时，，，，
所以
综上，为定值.

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