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2.1　曲线与方程
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系．2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3．掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)
1．通过曲线与方程的概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2．借助曲线方程的求法，培养学生的逻辑推理素养及直观想象素养．
1．曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示]　(1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
(2)充要条件是f(x0，y0)＝0．
2．求曲线方程的步骤
1．下列结论正确的个数为
(　　)
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；
(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0．
A．1　　
B．2　　　　
C．3　　
D．4
A　[(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y＝3，∴结论错误．(3)∵到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4)∵中线AD是一条线段，而不是直线，∴中线AD的方程为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误．]
2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)(　　)
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
B　[将点M的坐标代入直线l和曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．]
3．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是(　　)
A．一个点
B．两条互相平行的直线
C．两条互相垂直的直线
D．两条相交但不垂直的直线
D　[∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，
∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，
∴2x＋1＝±(y－1)，
∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．]
4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1,2)与动点P(x，y)满足·＝3，则点P的轨迹方程为________．
x－2y＋3＝0　[由题意＝(x，y)，＝(－1,2)，则·＝－x＋2y．由·＝3，得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0．]
曲线与方程的概念
【例1】　(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是
(　　)
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
③第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
(1)B　[根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错．]
(2)解：①过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5．因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5．
③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0．
1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．
2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
1．(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　)
A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0
B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
C　[根据曲线的方程的定义知，选C．]
(2)已知方程x2＋(y－1)2＝10．
①判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
②若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值．
[解]　①因为12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
②因为点M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
所以x＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，
即＋(－m－1)2＝10．
解得m＝2或m＝－．
故实数m的值为2或－．
用直接法(定义法)求曲线方程
[探究问题]
1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？
[提示]　只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？
[提示]　根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．
【例2】　在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．
思路探究：以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解．
法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上．
[解]　法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，
过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．
由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以()2＋()2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2．
由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a．
所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一．
因为AC⊥BC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
若本例题改为“一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．”如何求解？
[解]　设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|．
则|8－x|＝2，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48．
1．直接法求曲线方程
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0．要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
2．定义法求曲线方程
如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．
代入法求轨迹方程
【例3】　已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程．
[解]　设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，
即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
则x0＝x，y0＝．
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4．
所以，动点Q的轨迹方程是＋＝1．
代入法求轨迹方程的步骤
?1?分析所求动点与已知动点坐标间关系；
?2?用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；
?3?代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程.
2．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
[解]　设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得∴
代入y1＝3x－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1．
∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．
由方程判断曲线
【例4】　方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线的轨迹是(　　)
A　　　　
　　
B
C
D
D　[原方程等价于或x2＋y2＝4．
其中当x＋y－1＝0时，需有意义，等式才成立，
即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，
所以方程对应的曲线是D．]
(1)由具体的方程判断曲线的步骤为：
(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养．
3．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是________．
两个点(1,1)或(－1，－1)　[由题意所以或所以方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是两个点(1,1)或(－1，－1)．]
1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．
4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．
5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
1．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　
B．3
C．
D．
D　[因为点P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，所以代入曲线方程可得a＝，故选D．]
2．方程＝表示的曲线为(　　)
A．两条线段
B．两条直线
C．两条射线
D．一条射线和一条线段
A　[由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0，
∴有y＝|x|，|x|≤1．
∴曲线表示两条线段，故选A．]
3．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是(　　)
A．一条直线
B．一条直线去掉一点
C．一个点
D．两个点
B　[由题意知|AC|＝|BC|，则顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线(除去线段AB的中点)，故选B．]
4．动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－，求动点M的轨迹方程．
[解]　如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．
设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA＝，kMB＝(x≠±a)．
∵kMA·kMB＝－，∴·＝－，
化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a)．
∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a)．
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-2.2　椭圆
2.2.1　椭圆及其标准方程
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1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养．2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养．
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2．
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　　　　　　　
B．5
C．8
D．10
D　[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10．]
2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，
∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1．]
3．已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2作直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为________．
40　[由已知得a＝10，
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝40．]
4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．
－1或－　[原方程可化为＋＝1．
依题意，得即
所以k的值为－1或－．]
求椭圆的标准方程
【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1．
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．
(3)法一：①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
②当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为a＞b＞0，所以无解．
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1　　
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
[答案]　B
椭圆中的焦点三角形问题
【例2】　(1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．
(2)设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
思路探究：(1)→→
(2)在△PF1F2中应用余弦定理结合椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝10可以求得|PF1|·|PF2|，进而可求面积．
(1)120°　[由＋＝1，知a＝3，b＝，
∴c＝．
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°．]
(2)解：由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，
所以c2＝，所以c＝，2c＝5．
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
②－①，得3|PF1|·|PF2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以S＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝．
将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝30°”，其余条件不变，求△F1PF2的面积．
[解]　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，
所以c2＝，所以c＝，2c＝5．
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
30°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
②－①，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝75，所以|PF1|·|PF2|＝75(2－)，
所以S＝|PF1|·|PF2|·sin
30°＝(2－)．
1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．
3．焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
②在△PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2．
③设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan．
与椭圆有关的轨迹问题
[探究问题]
1．如图所示，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．
[提示]　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c．
所求点Q的轨迹方程为＋＝1．
2．如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？为什么？
[提示]　当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)．
(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
所求点M的轨迹方程为＋y2＝1．
【例3】　(1)已知P是椭圆＋＝1上一动点；O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．
(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
思路探究：(1)点Q为OP的中点?点Q与点P的坐标关系?代入法求解．
(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．
(1)x2＋＝1　[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1．
所以＋＝1，即x2＋＝1．]
(2)解：由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，R1＝1；Q2(3,0)，R2＝9．
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．
由题设有
|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，
所以|MQ1|＋|MQ2|＝10>|Q1Q2|＝6．
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3．
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1．
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法．例(2)所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程
F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
2．(1)已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
[解]　设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，
得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
∴＋y＝1．
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1．
故所求AQ的中点M的轨迹方程是
＋4y2＝1．
(2)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
[解]　以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
则2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4,2c＝|AB|＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3．
所以曲线E的方程为＋＝1．
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中，都有a＞b＞0的要求，如方程＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式＋＝1类比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．
3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．
1．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　)
A．椭圆　
B．直线　　　
C．线段　
D．点
C　[由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB．]
2．“2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[当方程表示椭圆时，应满足所以2因此应为必要不充分条件，故选B．]
3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13
B．12
C．9
D．6
C　[由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]
4．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
[解]　设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
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1
-2.2.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形．(重点、难点)
1．通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养．2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
2．离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．
(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
思考：(1)离心率e能否用表示？
(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？
[提示]　(1)e2＝＝＝1－，所以e＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))))．
(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同．
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)
A．(－1,0)，(1,0)
B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
D　[椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．]
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)
A．5,3,0．8　　　　　
B．10,6,0．8
C．5,3,0．6
D．10,6,0．6
B　[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故选B．]
3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)
A．8
B．7
C．5
D．4
A　[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8．]
4．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程是________．
＋＝1　[由已知a＝3，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆标准方程是＋＝1．]
根据椭圆的方程研究其几何性质
【例1】　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解]　由已知得＋＝1(m>0)，因为0，
所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，
短半轴长b＝，半焦距c＝，
所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，，离心率e＝＝＝．
用标准方程研究几何性质的步骤
?1?将椭圆方程化为标准形式.
?2?确定焦点位置.?焦点位置不确定的要分类讨论?
?3?求出a，b，c.
?4?写出椭圆的几何性质.
提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.
1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
[解]　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝．
(2)椭圆C2：＋＝1．
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④离心率：e＝．
利用几何性质求椭圆的标准方程
【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
思路探究：(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．
(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．
法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)．
[解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3．
∴椭圆的方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27．
∴椭圆的方程为＋＝1．
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1．
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3．
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1．
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
?1?利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程?对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程?；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程?组?求参数，列方程?组?时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等.
?2?在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.
提醒：与椭圆＋＝1?a>b>0?有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1?k1>0，焦点在x轴上?或＋＝k2?k2>0，焦点在y轴上?.
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1　　　　　
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
B　[由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．]
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
＋＝1或＋＝1　[因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1．]
求椭圆的离心率
[探究问题]
1．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？
[提示]　如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．
∵OP∥AB，
∴△PFO∽△BOA，
∴＝，
①
又P(－c，m)在椭圆上，
∴＋＝1．
②
将①代入②，得＝1，
即e2＝，∴e＝．
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e．
[提示]　由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝，
故AB所在的直线方程为y－b＝x，
即bx－ay＋ab＝0．
又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝＝，
∴·(a－c)＝．
又b2＝a2－c2，
整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，
即8－14＋5＝0．
∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝或e＝(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e＝．
【例3】　(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________．
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
思路探究：(1)△ABF2为正三角形?∠AF2F1＝30°?
把|AF1|，|AF2|用c表示．
(2)在焦点三角形中有|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，利用定义求出各量后可得关于a，b，c的不等关系，即可求离心率的取值范围．
(1)　(2)C　[(1)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由椭圆的定义，
可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，
所以e＝＝＝．
(2)由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
结合|PF1|＝5|PF2|得|PF2|＝．
在焦点△PF1F2中有|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
即4|PF2|≤|F1F2|＝2c，∴a≤2c，
∴≥，∴e∈，故选C．]
求椭圆离心率及范围的两种方法
?1?直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解.
?2?方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.
3．(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是(　　)
A．－1　　B．2－　　C．－1　　D．2－
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
(3)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
(1)A　－1　(3)　[(1)如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，得A，因为点A在椭圆上，所以有＋＝1　①，在椭圆中有a2＝b2＋c2　②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1．
(2)法一：如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝＝＝c，
由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1．
法二：注意到焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e＝＝＝＝－1．
(3)由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，
所以|OP|＝c≥b，即c2≥a2－c2，
所以a≤c，
因为e＝，01．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用，也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等．
4．椭圆的对称性(椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形)是椭圆的几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解．
1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则(　　)
A．a2＝15，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
D　[由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9．]
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)
A．　
B．　　　
C．　
D．
B　[由题意得：2b＝a＋c，
∴4b2＝(a＋c)2，
又∵a2＝b2＋c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，
即3a2－2ac－5c2＝0，
∴3－2·－5·＝0，
即5·＋2·－3＝0，∴e＝＝．]
3．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
　[由题意知0所以m＝．]
4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，其离心率为，长轴长为8．求椭圆的标准方程．
[解]　由题意知2a＝8，∴a＝4．
又∵离心率e＝＝，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
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-第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)
1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养．2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1．
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
[提示]　(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　
B．相切
C．相交
D．无法确定
C　[联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16＞0，
∴直线与椭圆相交．]
2．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)
A．2
B．±
C．±2
D．±2
C　[由消去y并整理得
2x2－2mx＋m2－4＝0．
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8．∴m＝±2．]
3．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．
(－，)　[∵点A在椭圆内部，
∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]
4．经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
　[由椭圆的方程知F1(－1,0)，
∴直线l的方程y＝tan
60°(x＋1)＝(x＋1)．
与椭圆的方程联立，并消去y得7x2＋12x＋4＝0．
由根与系数关系，知xA＋xB＝－，xAxB＝，
∴|AB|＝
＝eq
\r(4×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,7)))－\f(16,7))))＝．]
直线与椭圆的位置关系
【例1】　已知椭圆C的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若已知直线y＝x＋m，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？
思路探究：(1)由焦点坐标得到c，由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝6求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程．
(2)联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算Δ≥0得出m的范围．
[解]　(1)因为椭圆的焦点是F1(－，0)和F2(，0)，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，
所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
所以依题意有c＝，a＝3，所以b2＝a2－c2＝32－()2＝7，
所以所求的椭圆方程为＋＝1．
(2)由得16x2＋18mx＋9m2－63＝0，
由Δ＝(18m)2－4×16(9m2－63)≥0得m2≤16，则－4≤m≤4，
所以当m∈[－4,4]时，直线与椭圆C有公共点．
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离.
提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.
1．(1)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A．
B．－　　
C．±
D．±
C　[由得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，
解得k＝±．]
(2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________．
　[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以＋≤1，即m≥，又0故m∈．]
弦长及中点弦问题
【例2】　过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程；
(2)求此弦长．
思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
法二：点差法．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
[解]　(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝．
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解得k＝－．
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．
又A，B两点在椭圆上，
则x＋4y＝16，x＋4y＝16．
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0．
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．
∴＝－＝－，
即kAB＝－．
又直线AB过点M(2,1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝·
＝eq
\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))·＝2．
1．直线与椭圆相交弦长的求法
(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝
＝
＝·
＝
＝·(k为直线斜率)．
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
2．解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－．
2．(1)已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程为________．
x＋2y－8＝0　[由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0．
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以x1＋x2＝＝8，所以k＝－．所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0．]
(2)已知点P(4,2)是直线l：x＋2y－8＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．
　[设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
直线x＋2y－8＝0与椭圆交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①－②得＋＝0，
即＝－．
因为kAB＝－，AB中点为(x0，y0)，x0＝4，y0＝2，
所以－＝－2，即a2＝4b2．
所以该椭圆的离心率为e＝＝．]
(3)已知椭圆C的焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点．
①求线段AB的中点坐标；
②求△OAB的面积．
[解]　①设椭圆C的方程为＋＝1，
由题意a＝3，c＝2，于是b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
由得10x2＋36x＋27＝0．
因为该一元二次方程的Δ>0，
所以点A，B不同，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝，故线段AB的中点坐标为．
②设点O到直线y＝x＋2的距离为d，
则d＝＝．
又由①知x1x2＝，
所以|AB|＝
＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(18,5)))－4×\f(27,10))＝，
故S△OAB＝××＝．
　与椭圆有关的综合问题
[探究问题]
1．直线y＝kx＋1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x＝0，那么直线x＝ky＋1表示什么样的直线？
[提示]　直线x＝ky＋1，表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y＝0．
2．如果以线段AB为直径的圆过点O，那么可以得到哪些等价的条件？
[提示]　(1)设AB的中点为P，则|OP|＝|AB|．
(2)·＝0．
【例3】　如图所示，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程．
(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d>r，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若d法二：只需判断·的符号，若·＝0，则点G在圆上；若·>0，则点G在圆外；若·<0，则点G在圆内．
[解]　(1)由已知得，
解得
所以椭圆E的方程为＋＝1．
(2)法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点为H(x0，y0)．
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而y0＝．
所以|GH|2＝＋y＝＋y＝(m2＋1)y＋my0＋．
＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0，
所以|GH|>．
故点G在以线段AB为直径的圆外．
法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝，＝．
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而·＝＋y1y2＝＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝＋＋＝>0，
所以cos〈，〉>0．又，不共线，所以∠AGB为锐角．故点G在以线段AB为直径的圆外．
解决直线和椭圆综合问题的注意点
?1?根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论.
?2?在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单.
?3?不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视.
3．已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
[解]　(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．
则＝(a,1)，＝(a，－1)．由·＝8，得a2－1＝8，所以a＝3．
所以E的方程为＋y2＝1．
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3)．
直线PB的方程为y＝(x－3)，所以y2＝(x2－3)．
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．
由于＋y＝1，
故y＝－，
可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0．　①
将x＝my＋n代入＋y2＝1得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0．
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)·mn＋(n＋3)2·(m2＋9)＝0，解得n＝－3(舍去)或n＝．
故直线CD的方程为x＝my＋，
即直线CD过定点．
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点．
综上，直线CD过定点．
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是(　　)
A．点(－2,3)在椭圆外
B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内
D．点(2，－3)在椭圆上
D　[由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D．]
2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)
A．　　　　　
B．
C．
D．
B　[椭圆的方程可化为＋＝1，
∴F(－，0)．
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＝x＋．
由
得7x2＋12x＋8＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝＝．]
3．已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．
x＋2y－3＝0　[易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，
则＋＝1①，＋＝1②，
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋y1－y2＝0，
∴k＝＝－．
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0．]
4．焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．
[解]　设＋＝1(a>b>0)．
依题意，有a2－b2＝(5)2＝50．
①
由
消去y并整理，得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0．
因为＝，
所以＝．
所以a2＝3b2．
②
由①②，得a2＝75，b2＝25．
经检验，此时Δ>0．
所以椭圆方程为＋＝1．
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1
-2.3　双曲线
2.3.1　双曲线及其标准方程
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)
1．通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养．
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线　　　　　　
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
D　[由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP．]
2．双曲线－x2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±，0)
B．(0，±)
C．(0，±2)
D．(±2,0)
C　[根据题意，双曲线的方程为－x2＝1，其焦点在y轴上，且c＝＝2；则其焦点坐标为(0，±2)．]
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是(　　)
A．k>3
B．2C．k＝2
D．0C　[双曲线－＝1的焦点坐标为(±，0)，椭圆的焦点坐标为(±，0)，由椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，可得3＋k＝9－k2，因为k>0，所以解得k＝2．]
4．与双曲线－＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．
－＝1　[与－＝1具有相同焦点的双曲线方程为－＝1(－8＜k＜10)．]
　求双曲线的标准方程
【例1】　根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点A；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．
思路探究：(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．
(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．
(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．
[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)法一：∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．①
∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1．②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1．
法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为－＝1．
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0．
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1．
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；
(2)求出a2，b2的值．
2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解．
1．求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
[解]　由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，
F2(0,3)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程，
得－＝1．
又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1．
　双曲线的定义及应用
【例2】　已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
思路探究：(1)直接利用定义求解．
(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|．
[解]　(1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6．解得|MF2|＝10或|MF2|＝22．
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5．
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin
∠F1PF2
＝×64×＝16．
求双曲线中的焦点三角形PF1F2面积的方法
?1?①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1||PF2|·sin∠F1PF2求得面积.
2．(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
A　[|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选A．]
(2)已知定点A的坐标为(1,4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
9　[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4,0)．|PF|－|PF1|＝2a＝4，即|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|＝＝＝5，所以|PF|＋|PA|≥|AF1|＋4＝9，即|PF|＋|PA|的最小值为9．]
　与双曲线有关的轨迹问题
[探究问题]
1．到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？
[提示]　一支．
2．求以两定点F1，F2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？
[提示]　以直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系．
【例3】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin
A＋sin
C＝2sin
B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
思路探究：
[解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．由正弦定理，得sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin
A＋sin
C＝2sin
B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|．
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6．
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
?1?列出等量关系，化简得到方程.
?2?寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1．
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4．
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|．
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝．
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1．
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解．
1．已知双曲线的一个焦点F1(0,5)，且过点(0,4)，则该双曲线的标准方程为
(　　)
A．－＝1　　　　
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
B　[由已知得，c＝5，a＝4，所以b＝3．所以双曲线的标准方程为－＝1．]
2．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．－3B．k<－3
C．k<－3或k>－2
D．k>－2
A　[由题意可知
解得－33．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
16　[由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16．]
4．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线方程．
[解]　因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A点的坐标为(，4)或(－，4)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以解得
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1．
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-2.3.2　双曲线的简单几何性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(重点)3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)
1．通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养．
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝>1
渐近线
y＝±x
y＝±x
思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？
(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？
[提示]　(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．
(2)e2＝＝1＋，是渐近线的斜率或其倒数．
2．双曲线的中心和等轴双曲线
(1)双曲线的中心
双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
(2)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝．
1．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　)
A．(4,0)，(0,1)　
B．(－4,0)，(4,0)
C．(0,1)，(0，－1)
D．(－4,0)，(0，－1)
B　[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]
2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
D　[方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为－＝1(m＞0)，则a＝，b＝，取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0，所以＝，则m2＋9＝25．
∵m＞0，∴m＝4．]
3．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
(－，0)，(，0)　[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．]
4．离心率e＝，经过点M(3，－5)的双曲线的标准方程为________．
－＝1　[由＝，得c＝a，∴c2＝2a2＝a2＋b2，∴a2＝b2．
由点M(3，－5)在y＝－x的下方可知双曲线焦点在y轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1，将点M(3，－5)代入得－＝1，解得a2＝16．
所以双曲线的标准方程为－＝1．]
　根据双曲线方程研究几何性质
【例1】　(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)过点(，2)，过点(0，－2)的直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为(　　)
A．2　
B．2
C．4
D．4
(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
(1)A　[双曲线C的渐近线方程为y＝±x，则点(0，－2)到渐近线bx－ay＝0(或bx＋ay＝0)的距离d＝＝＝，得c＝3a，即b＝2a．由双曲线C过点(，2)，可得－＝1，解得a＝1，故双曲线C的实轴长为2a＝2．]
(2)[解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，
化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝．
顶点坐标为(－，0)，(，0)．
所以渐近线的方程为y＝±x＝±x．
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
?1?把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
?2?由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
?3?由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.
1．(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A．x2－＝1
B．－y2＝1
C．－x2＝1
D．y2－＝1
C　[A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令－x2＝0，得y＝±2x；令y2－＝0，得y＝±x．故选C．]
(2)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
B　[在双曲线中，离心率e＝＝eq
\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))))＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x．]
　利用几何性质求双曲线方程
【例2】　求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)；
(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6．
思路探究：(1)待定系数法求解．(2)由焦点在x轴上，设出双曲线的方程后，列方程组求解．(3)由渐近线方程为2x±3y＝0设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，进而求出λ得解．
[解]　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵双曲线过点P(，2)，
∴－＝1．
由题意得
解得
故所求双曲线方程为－＝1．
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，
∴e2＝＝＝1＋＝，
∴＝．
由题意得
解得
∴所求的双曲线方程为－＝1．
(3)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3．
当λ>0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
当λ<0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1．
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1．
1．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：
一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求解．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．
2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(2)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
[解]　(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2．
故所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
(3)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝．
①
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1．
②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝．
③
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1．
④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
　求双曲线的离心率
【例3】　(1)若双曲线
－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A．　
B．　　　C．　
D．
(2)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A．
B．2
C．
D．
思路探究：(1)渐近线经过点(3，－4)?渐近线的斜率?离心率．
(2)由已知条件画图?点M的坐标?代入双曲线方程．
(1)D　(2)D　[(1)由题意知＝，则e2＝1＋＝，
所以e＝．
(2)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，所以e＝．故选D．]
求双曲线离心率的方法
?1?若可求得a，c，则直接利用e＝得解.
?2?若已知a，b，可直接利用e＝得解.
?3?若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0?p，q，r为常数，且p≠0?，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解.
3．(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A．　　　B．　　　　C．　　　D．
(2)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
(3)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
(1)A　(2)2＋　(3)2　[(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，
则|F1F2|＝
＝m，所以C的离心率e＝＝
＝＝＝．
(2)如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2，
不妨令点P的坐标为(2a，－b)，
此时kPF2＝＝，
得到c＝(2＋)a，
即双曲线C的离心率e＝＝2＋．
(3)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝．因为AB的斜率为3，所以yB＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a，所以C的离心率e＝＝2．]
　直线与双曲线的位置关系
[探究问题]
1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？
[提示]　可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．
2．过点(0,2)和双曲线－＝1只有一个公共点的直线有几条？
[提示]　四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．
【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
思路探究：直线方程与双曲线方程联立方程组?判断“Δ”与“0”的关系?直线与双曲线的位置关系．
[解]　(1)联立方程组
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则
解得－＜k＜，且k≠±1．
∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，
x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2k,1－k2)))＋\f(8,1－k2))
＝．
又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±．
∴实数k的值为±或0．
直线与双曲线位置关系的判断方法
?1?方程思想的应用,把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点.
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点.
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.
?2?数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.
4．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[解]　由消去y得，
(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0．(
)
当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x＝5，故方程(
)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
①即－)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
②即k＝±时，方程(
)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．
③即k<－或k>时，方程(
)无实数解，即直线与双曲线无公共点．
综上所述，(1)当－时，直线与双曲线没有公共点．
5．已知双曲线2x2－y2＝2，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
[解]　设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，
则x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
由
两式相减并变形得＝2，
若存在，则直线l为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
联立得2x2－4x＋3＝0，
而Δ＝－8<0，方程无实根，
即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线．
1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
1．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x　　　　　　
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
C　[双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，因此渐近线方程为y＝±x．]
2．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2
B．
C．
D．1
D　[由题意得e＝＝2，∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1．]
3．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
－＝1　[椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36．即－＝1．]
4．已知双曲线C与椭圆＋＝1的焦点相同，且离心率为2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求双曲线的渐近线方程．
[解]　(1)椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，
所以c＝4．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝＝2，所以a＝2．
所以b2＝c2－a2＝12．
所以双曲线C的标准方程为－＝1．
(2)由(1)，知双曲线的渐近线方程为－＝0，即y＝±x．
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1
-2.4　抛物线
2.4.1　抛物线及其标准方程
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养．2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？
[提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝
x2＝2py(p>0)
F
y＝－
x2＝－2py(p>0)
F
y＝
思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？
[提示]　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．
1．抛物线x2＋8y＝0的焦点坐标是(　　)
A．(0,2)　　　　
B．(0，－2)
C．(0,4)
D．(0，－4)
B　[抛物线x2＝－8y的焦点在y轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．]
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)
A．1　
B．2
C．4　
D．8
C　[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4．]
3．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　)
A．y＝
B．y＝－1
C．x＝－
D．x＝
C　[由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－．]
4．抛物线y2＝－12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6,6)或(－6，－6)　[由y2＝－12x知p＝6，准线方程为x＝3，设抛物线上点P(x，y)，由抛物线定义可知－x＋3＝9，x＝－6，将x＝－6代入y2＝－12x，得y＝±6，所以满足条件的点为(－6,6)或(－6，－6)．]
　求抛物线的标准方程
【例1】　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；
(3)经过点(－3，－1)；
(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
思路探究：(1)(2)
(3)
(4)→
[解]　(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y．
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y．
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y．
(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．
1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系．
(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数．
(3)注意p与的几何意义．
1．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2　　　　
B．3
C．4
D．8
[答案]　D
　抛物线的定义的应用
【例2】　(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；
(2)已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标；
(3)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程．
(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
(3)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解．
[解]　(1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由＋3＝5得p＝4，因此抛物线方程为x2＝－8y，其准线方程为y＝2，由m2＝24得m＝±2．
(2)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|
＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|
＝4＋1＝5．
此时yP＝2，
代入抛物线得xP＝1，
∴P(1,2)．
(3)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y．
抛物线定义的两种应用
?1?实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
?2?解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
2．(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A．　　　　　　　　
B．3
C．
D．
A　[由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，
∴点P到准线x＝－的距离d＝|PF|，
易知点A(0,2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，
欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
∴其最小值为
|AF|＝
eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))＋?2－0?2)＝．]
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大．求点M的轨迹方程．
[解]　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
　抛物线的实际应用
[探究问题]
已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？
[提示]　以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．
【例3】　河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
思路探究：→→→→
[解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y．
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－．
又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．
求抛物线实际应用的五个步骤
?1?建立适当的坐标系.
?2?设出合适的抛物线标准方程.
?3?通过计算求出抛物线的标准方程.
?4?求出需要求出的量.
?5?还原到实际问题中，从而解决实际问题.
3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1
000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2．
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1．28，
即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1．28)，此时B点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7，
150×7＝1
050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1
050吨，而船最多还能装1
000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－．
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋．
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
1．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．6　　　　D．9
C　[法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y＝18p．又点A到焦点的距离为12，所以eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(p,2)))＋y\o\al(2,A))＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6．故选C．
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6．故选C．]
2．已知抛物线y＝mx2(m>0)的焦点与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则m的值为________．
　[将抛物线y＝mx2(m>0)的方程化为标准方程是x2＝y，所以其焦点是，因为抛物线y＝mx2(m>0)的焦点与椭圆＋＝1的一个焦点重合，因此－2＝，解得m＝．]
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
4　[把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4．]
4．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x－5y－36＝0上的抛物线方程．
[解]　因为焦点在直线3x－5y－36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A的坐标为(12,0)或．
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，求得p＝24，所以此抛物线方程为y2＝48x；
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，求得p＝，
所以此抛物线方程为x2＝－y．
综上所求抛物线方程为y2＝48x或x2＝－y．
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-
1
-2.4.2　抛物线的简单几何性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)
1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．
1．抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
3．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
[提示]　可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是(　　)
A．　　　　　　　　　
B．
C．1
D．
D　[抛物线方程可化为x2＝y，其准线方程为y＝－，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是．]
2．顶点在原点，对称轴为x轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是(　　)
A．y2＝16x
B．y2＝8x
C．y2＝±8x
D．y2＝±16x
C　[顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线方程有两个：y2＝－2px，y2＝2px(p>0)，由顶点到准线的距离为2知p＝4，故选C．]
3．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．
　[由题意得直线方程为y＝(x－1)，联立方程，得消去y得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝．]
4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
2　[F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1．
∴AF⊥x轴，
∴|BF|＝|AF|＝2．]
　抛物线几何性质的应用
【例1】　(1)等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　)
A．8p2　　　
B．4p2
C．2p2
D．p2
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程．
(1)B　[由抛物线的对称性质及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x，由得A(2p,2p)，则B(2p，－2p)，所以|AB|＝4p，所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2，选择B．]
(2)解：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，交点A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)，
则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2．(
)
由对称性，知y2＝－y1，代入(
)式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，
所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，
或点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，
得3＝2p或3＝－2p×(－1)，所以p＝．
故所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x．
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
?1?开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
?2?关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.
?3?定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦?又称为通径?长为2p；离心率恒等于1.
1．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．
[解]　(1)当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0)．
将点M(1，－2)代入，得m＝4．
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)．
将点M(1，－2)代入，得n＝－．
∴抛物线的标准方程为x2＝－y．
故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y．
准线方程为x＝－1或y＝．
　与中点弦、焦点弦有关的问题
【例2】　(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_____________________________________．
(2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线'E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
①求抛物线E的方程；
②求直线AB的方程．
思路探究：(1)设出A，B坐标，利用线段AB的中点的横坐标为p，求出抛物线的参数p．
(2)已知抛物线焦点可求p，利用中点求直线的斜率k．
(1)y2＝4x　[设抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－2px＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝2p．
又因为P(2,2)为AB的中点，
所以2p＝4，所以y2＝4x．]
(2)[解]　①由于抛物线的焦点为(1,0)，
所以＝1，p＝2，
所求抛物线的方程为y2＝4x．
②法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1　①，y＝4x2　②，
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，又x1≠x2，
所以＝2，
所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0．
法二：显然AB不垂直于x轴，
故可设弦AB所在的直线方程为y－1＝k(x－2)，k≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去x整理得ky2－4y－8k＋4＝0，
所以y1＋y2＝，
又M点是AB的中点，
所以y1＋y2＝2，
所以k＝2，
故直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0．
直线与抛物线相交的弦长问题
直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．
(1)一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|．
(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．
(3)“中点弦”问题解题策略两种方法
2．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
[解]　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0．
由
消去y，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0．
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋，
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋＝p，
解得k＝±2．
所以AB所在的直线方程为y＝2或y＝－2．
　直线与抛物线的位置关系
【例3】　(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　)
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
思路探究：(1)直线y＝kx－k过定点(1,0)，根据定点与抛物线的位置关系判断．
(2)直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断．
(1)C　[直线方程可化为y＝k(x－1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C．]
(2)解：由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由方程组(
)
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0．①
①当k＝0时，由方程①得y＝1，
把y＝1代入y2＝4x，得x＝，
这时，直线l与抛物线只有一个公共点．
②当k≠0时，方程①的判别式为
Δ＝－16(2k2＋k－1)．
a．由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，所以方程①只有一个解，从而方程组(
)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．
b．由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1于是，当－1从而方程组(
)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点．
c．由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1或k>．于是当k<－1或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(
)没有解，直线l与抛物线无公共点．
综上，当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点．
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线无公共点．
直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px?p>0?，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋?2kb－2p?x＋b2＝0.
?1?若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
?2?若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.
3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解]　因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0，①
(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－．所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是．
　抛物线性质的综合应用
[探究问题]
1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？
[提示]　两条直线的斜率互为相反数．
2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？
[提示]　法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，
法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－．∴最小距离为＝＝．
【例4】　如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
思路探究：第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来．
[解]　(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－．
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1．
1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？
[解]　由
解得或
由图可知，A(4,4)，B(1，－2)，
则|AB|＝3．
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d＝＝
＝|(y0－1)2－9|．
∵－2∴d＝[9－(y0－1)2]．
从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝．
故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为．
2．若本例改为：在平面直角坐标系xOy中，设点F(1,0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3,0)．如何求解？
[解]　(1)因为点F(1,0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线．因为|PQ|是点Q到直线l的距离，而|PQ|＝|QF|，所以动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0)．
　(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：x＝my＋1(m≠0)，则消去x得y2－4my－4＝0．于是，有yM＝＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1,2m)．同理，N．
因此，直线MN的斜率kMN＝＝，方程为y－2m＝(x－2m2－1)，即mx＋(1－m2)y－3m＝0．显然，不论m为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN过定点(3,0)．
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．
(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．
相交：①有两个交点：②有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；
相切：有一个公共点，即
相离：没有公共点，即
直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
C　[设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，通径为2p＝8，p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x．]
2．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝(　　)
A．30°　　　　　　
B．45°
C．60°
D．90°
D　[由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，则S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，所以|AB|＝8，|OA|＝|OB|＝4，所以∠AOB＝90°．]
3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
B　[当直线垂直于x轴时满足条件，当直线不垂直于x轴时，设直线方程为y＝kx＋1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线．]
4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．
[解]　由抛物线y2＝8x知，p＝4．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝|AB|－p．
由条件知＝3，则x1＋x2＝6，
所以|AB|－p＝6，
所以|AB|＝10．
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1
-第2章
圆锥曲线与方程
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
　圆锥曲线的定义及应用
【例1】　(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆　　　　　　　　
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
(2)已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)
A．
B．
C．
D．
(1)C　(2)B　[(1)把轨迹方程5
＝|3x＋4y－12|写成＝．
∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
(2)由e＝＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a，
又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，
|F2A|＝2a．
又|F1F2|＝2c＝4a，
所以cos∠AF2F1＝＝＝．故选B．]
“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
1．已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为(　　)
A．
B．
C．2
D．＋1
D　[直线y＝(x＋c)过左焦点F1(－c,0)，
由于其斜率为，
∴tan∠MF1F2＝，
∴∠MF1F2＝60°．
又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
∴MF2⊥MF1且|MF1|＝|F1F2|＝c，
|MF2|＝c．由双曲线定义得，
|MF2|－|MF1|＝c－c＝2a，
∴双曲线的离心率e＝＝＝＋1．]
　圆锥曲线的方程
【例2】　(1)已知椭圆与双曲线－＝1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋y2＝1
D．x2＋＝1
(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|(其中B位于A，C之间)，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝6x
D．y2＝2x
(1)A　(2)B　[(1)因为双曲线的焦点为(0，－4)，(0,4)，离心率为e1＝＝2，所以椭圆的离心率e2＝＝．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得
所以椭圆的方程为＋＝1．故选A．
(2)如图，过A，B分别作AD，BE垂直于抛物线的准线，垂足为D，E，G为准线与x轴的交点，
由抛物线的定义，得|BF|＝|BE|，|AF|＝|AD|＝4．
因为|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BE|，
则在Rt△BCE中，
∠BCE＝30°，
所以|AC|＝2|AD|＝8，所以|CF|＝8－4＝4，
所以|GF|＝＝2，即p＝|GF|＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x．]
求圆锥曲线方程的一般步骤,一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
?1?定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
?2?定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1?m>0，n>0?.
?3?定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
2．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
[解]　(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝．
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c．
由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2．
解得＝－2(舍去)，＝．所以C1的离心率为．
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1．
设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，
故＋＝1．①
由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3．
所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x．
　圆锥曲线的几何性质
【例3】　(1)如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A．　　　　　　　　
B．
C．
D．
(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
思路探究：(1)由椭圆可求出|AF1|＋|AF2|，由矩形求出|AF1|2＋|AF2|2，再求出|AF2|－|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．
(2)根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出，再求渐近线方程．
(1)D　(2)x±y＝0　[(1)由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2．因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝．
(2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝．因为e1·e2＝，所以＝，即4＝，所以＝．
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0．]
求解离心率的三种方法
?1?定义法：由椭圆?双曲线?的标准方程可知，不论椭圆?双曲线?的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2?a2＋b2＝c2?以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.
?2?方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法.
?3?几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆?双曲线?的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是(　　)
A．　　　　　　　　
B．
C．
D．
A　[ab＝c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝＝．]
　直线与圆锥曲线的位置关系
【例4】　已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
思路探究：(1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解．
[解]　(1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1．
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1得|m|<
．(
)
∴|CD|＝2＝2＝．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．
∴|AB|＝eq
\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))[m2－4?m2－3?])
＝．
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足(
)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－．
直线与圆锥曲线的三种位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x?或y?的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
?1?相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件.
?2?相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切.
?3?相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离.
4．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；
(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．
[解]　(1)由椭圆的离心率为，得a＝c，
由A(2,0)，得a＝2，∴c＝，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1．
(2)由e＝，设椭圆方程为＋＝1，
联立得6y2－8y＋4－a2＝0，
若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．
设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，
∴即∴≤a2≤4，
故a的取值范围是．
定点与定值问题
【例5】　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，以原点O为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线3x－4y＋5＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．若直线AF2与BF2的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解]　(1)由题意可得c＝1，即a2－b2＝1，
由直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，可得b＝＝1，
解得a＝，即椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线y＝kx＋m(m≠0)代入椭圆x2＋2y2＝2，
可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
即有Δ＝16k2m2－8(1＋2k2)(m2－1)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
由k1＋k2＝＋＝＋＝0，
即有2kx1x2－2m＋(m－k)(x1＋x2)＝0，
由根与系数的关系，
可得2k·－2m＋(m－k)·＝0，
化简得m＝－2k，
则直线的方程为y＝kx－2k，即y＝k(x－2)，
故直线l恒过定点(2,0)．
?1?求定值问题的常用方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
?2?定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.
求定点问题，需要注意两个方面：
一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向.
二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点?0，b?，若直线方程为y＝k?x－a?，则直线恒过点?a，0?.
5．已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
[解]　
(1)由题意得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
又c＝＝，所以离心率e＝＝．
(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，
则x＋4y＝4．
又A(2,0)，B(0,1)，
所以直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，
从而|BM|＝1－yM＝1＋．
直线PB的方程为y＝x＋1．
令y＝0，得xN＝－，
从而|AN|＝2－xN＝2＋．
所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|
＝
＝
＝＝2．
从而四边形ABNM的面积为定值．
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